Stoer, Bulirsch - Introduction to Numerical Analysis (523187), страница 83
Текст из файла (страница 83)
Вазез «ЬЬ з!ш!!аг ргорегпез сап Ье !оспа' а!зо 1ог ГЬе зрасез $, апо' 5, (зее Х!аша! (!9б8)]. ТЬе еггог езИгпа!е о1 ТЬеогеш (7.5.23), соо, сагпез очег. (77.!2) ТЬеогегп. Е ег у Ье йе ехасг за!идол с! (7 7.1), (7.7.2), алд 5 а 77 л(гег(!телз(ела! зрасе оЯилсг!олз зисй йаг (7.7.7), (7.7.9) Ьо1г(з/от аП и е 0з. Еот Йе аРРтох(таге зо!иг(ол из «!ГЬ т(из) = шш„,з т(и) оле йел Ьаз Йе езП таге !Г !)из — У(! < юпГ -- 2 ))0зи — 0УУ()хх.
пз» з У з=~ !Ьте почч айзЬ !о шг((са!е пррег Ъоппг(з !ог 2 )п1 ,'> ))0зи — 0зу)),' муз !=г !и ГЬе сазе оГГЬе зрасез 5 = 5„1 = 1, 2, 3, г)ейпег( ш ГЬе аЬоче ехашр1е о1 !г(апйп!а!ег( ге8(опз Гз. ТЬе Го!1очч)п8 !Ьеогеш Ьо!Из: (7.7.13) ТЬеогеш. Е,ег хз Ье а гт(алдиГагег( тед(ол мгй гт(алди(аггел У . Г.ег Ь Ье йе тахилит зи(е Гелдй, атГ 0 Йе зтаИета алд(е, о/ аИгт(алдГез осситт!лд Гл,У . Тйел Йе/оИоМлд Гз гтие: (1) Г/уе С~(Щ атГ ! — < Мх /от аП 1 < й 1 < 2, х е (2, дзу(х» хх) дх; дх; Йел Йете ех(згз а/илсг(ол й е Я, ичгй (а) (й(х) — у(х)( < Май /от аП хе Й, (Ь) (0!й(х) — 0;У(х) ( < 6Мх Ь/з)п 0 /от 1 = 1, 2 авГ /от аП х е Те, Те.У. (2) Г/'у е СЩ ат( ! — — < Мз /от аП 1 < Ь/, й < 2, х е й, дзу(х„хх) дх; дх! дх, Йел Йете ех!згз а й е аз чч!ГЬ (а) (й(х) — у(х)( < Мз Ь~ /от х е Г,з, (Ь) (01й(х) — 0!у(х)( < 2МзЬ~/з)п 0/от! = 1, 2, хе Т, Те У.
559 7.7 чапапопа! мегсгогзе сот Рагс!а! 17!стегепгса! Рппапопе (3) ГГУЕ Се[12) а и! д у(х,, хг) — < Ме Гог 1 < г, /, Ес, ! < 4, х е й, дх, дх; дх, дх, 4 Йеп Йеге ех!яь а й е 5з пг!гп (а) ! й(х) — у(х) ( < 3МеЕг 7(взп 0 3ог х е Г2, (Ь) (Ргй(х) — Рг у(х) ~ < 5МаЕг'Ев!п 0 ~от ~' = 1, 2, х е То, Т а У . [Неге, То пзеапв йе !пгепог оГ гЬе гпапд!е Т. ТЬе !птпгасюп х е То, т е х ш гье евгппагев (ь) гв песеввагу ьесаиве йе Гггв! с!епчаг!Чев Рз й тау Ьаче !шпрв а1опд йе в!сЕев оГ гЬе гпапд1ев Т.) 5!псе Гог и а 5„! = 1, 2, 3, гЬе Гипсгюп Р,и Рз оп!у р1есезч!ве сопг1пиоив, апсЕ япсе ~',Р,и — 07У~)~~ = ',! ~ [Р,и(х) — Озу(х))~ гЕх тек т С:= ~ 1 гЕх 'о < Стах !Рги(х) — Ргу(х) !г, .ге те те ге Егоп! еасЬ оГ йе евгппагев д!Чеп ипс1ег (Ь) йеге 1ттесЕ!а!е!у ГоПозчв, ч!а ТЬеогеп! (7.7.12), ап иррег Ьоипс1 Гог йе доЬо!еч попп !(ив — у(! оГ йе еггог и, — у Гог йе вресга1 Гипс!!оп врасев 5 = 5„г = 1, 2, 3, ргоч1сЕесЕ оп!у йа! йе ехас! во1шюп У ваг!вйев йе с!1Пегепг!аЪ!1!гу аввитрс1опв оЕ (7.7.13): !г ()ив, — у!! < С„Мг— 1,г 1и — У!! <С М яс!~ яп 0 !з !!иьз у1~ < СзМа ТЬе сопвгапгв Сг аге !пс!ерепс!еп! оГйе гпапди!агюп Х оГй апсЕ оЕ у, апс! сап Ье врос!йес! ехр!Есй!у; йе сопвсапгв Мг, Ь, 0 Ьаче йе вате теапшд ав ш (7.7.13).
ТЬеве евгппагев вЬопг, е.д. Гог 5 = 5з, гЬа! гЬе еггог (Е.е., Ьв 5оЬо!еч попп) доев го гего!йсе гЬе сЬгп! розчег оГ гЬе йпепевв Ег оГ йе гпапди!а!!оп. %е зч!!1 по! ргоче ТЬеогегп (7.7.13) Ьеге. РгооГв сап Ье Гоипс1, е.д., ш 71ата1 (1968) апсЕ гп Сгаг1е! апс! 9ЧадвсЬа! (1971). 9!ге оп!у ЕпсЕ!саге йа! йе врес!а! Гипсгюпв й е 5г, г = 1, 2, 3, оЕ йе сЬеогет аге оЪга1пес! Ьу Епсегро!агюп оГ у: Рог 5 = 5г, е.д., опе оЬгагпв йе Гипсгюп й е 5г Ьу !псегро!ас!оп оГ у а! гЬе рогпгв Р е 9' оГ йе спапди1агюп (вес аЪоче): й(х) = ~г у(Р)ир(х).
Р ар 7 Огб$лагу $$$$гоголба$ Ео$оаг$ооя Ап (трог!апг абчапга8е оГГЬе йпйе-е!е$пеп1 пгегЬоб 1$ех гп 1Ье Гас1 $Ьа1 Ъоипбагу-ча!ие ргоЫета сап Ье !геа!еб а!5о $ог ге!айче!у сотр1$са1еб ге81опх Г), ргоча(еб Г) сап 5НП Ье 1г)ап801а1еб. Фе гегпаг1$, $п абб(1юп, ГЬа1 по! оп!у сап ргоЫета ш й' о! ГЬе хрес(а! Гопп (7.7.1) Ье айас1себ Ьу 1Ьехе те!Ьобх, Ьиг а15о Ьоппбагу-ча!ие ргоЫета $п Ь(8Ьег-б)тепхюпа! храсе5 апб Гог тоге 8епега! ЙГГегепг)а! орегагогх ГЬап 1Ье Еар!асс орега!ог. А бега(!еб ехро51!(оп оГ 1Ье Еппе е!епгепг тегЬоб апб й5 ргасйса! ипр1епгеп1а1юп сап Ье Гоипб $п 81гап8 апб Г)х (1973), Обеп апб йеббу (1976), БсЬхчагг (1988), апб С)аг!е! апб Г.)опх (1991).
Ехексгаех еОк СнАРгек 7 !. 1.е! А Ье а геа! б(ааопа11хаЫе л х л та!пх чо1!Ь !Ье геа! еЬОепча!лев 2„..,, 2„ апб гпе е1кепчес!огх е„..., с„. Ночч сап !Ье хо!и!юп хе! оГ !Ье хух!ет у'= Ау Ье беяспЬеб гп !еппх оГ !Ье 2, апг$ с,? Ночч ь гпе хресга1 хо!тюп у(х) оЫагпеб чч1!Ь у(0) = уо ° уо е й"? 2. $3е!ептппе !Ье хо!и!юп оГ !Ье !Ыпа!-ча1ие ргоЫепг у' = о'у, у(0) = уо еб!Ь уо е й" апб 1Ье л х л та!пх е= ', ' 1, хай. Нглг! Бее!о ГЬе $0Ь сотропеп1 оГ !Ье хо!и!Гоп чес!ог у(х) гп !Ье Гоги! у„(х) = р„(х)е'*, р„а ро1упопиа! оГ беагее < л — Е 3. Сопгббег !Ье нииа1-ча1ие ргоЫет у' = х — хо, у(0) =- О.
Биррохе !че ихе Еи(ег'х те!Ьоб чч1!Ь х!ергбхе $! !о сотри!е арргохлпа!е ча1иек гг(х,; $!) Гог у(х,), х; =//о Е(пб ап ехр!!с!1 Гоппи1а Гог эг(х,; Ц апг$ е(х,; $!) = !$(х;; $!) — «(х!), азн1 хЬоче !Ьа1 е(х; $!), Гог х Охеб, Еоех !о хе!о ах $! = х/л — О. 4. ТЬе 1п1!Га!-ча1ие ргоЫет у = /у, у(о)=о Ьах гпе поп!г(ч1а! ко1шюп у(х) = (х/2)х. Арр!каиоп оГЕи1ег'х те!Ьоб Ьогчечег у1е1бх гг(х; $!) = 0 Гог а11 х апб $! = х/л, л = $, 2, .... Ехр!ага ЕЫх рагабох. 5. Г.е! гг(х; $$) Ье !Ье арргох!лоаге хо!лОоп Гигп15Ьеб Ьу Ев!ег'х пгегпоб Гог ГЬе липа!-ча1пе ргоЫет «(о) = $.
561 Екегдвев Гог СЬаргег 7 (а) Опе Ьав гг(х; Гг) = (1 + Ь)*'". (Ь) 8Ьогч гЬаг гГ(х; Гг) Ьав 1Ье ехрапгдоп гг(х; )г) = ,'Г г,(х)$г' гчиЬ го(х) = е*, =а ччЬ!сЬ сопчегдев Гог (Гг ) < 1; 1Ье г;(х) Ьеге аге апа!уйс Гппсиопв гпг$ерепдепг оГ й. (с) $3егегпипе г;(х) Гог! = 1, 2, 3.
(г$) ТЬе г,(х),! > 1, аге 1Ье во!и1$опв оГ гЬе 'ииг!а!-ча!ие ргойегпв г'; и(х) .г,'(х) =.г;(к) — ~ ' ' —;, г;(0) =О. , =, (/г е 1)! 6. БЬогч 1Ьаг 1Ье пгод)йед Ечдег гпегЬог$ ГигпЬЬев 1Ье екасг во1идоп оГ1Ье д!ГГегепйа! ег$иаг!оп у' = -2ах. 7. 8Ьочг гЬаг гЬе опе-вгер пгегЬод 8)чеп Ьу Ф(х, у; й):= 8($гг + 4$гв + Ггз] Гг,:=Г(х, у), Ь й Ггг'=ф+ у+ Ггг) 2' 2 Ггв:=Г(х + )г, у е Ь( — Ггг + 2)гг)) (" вопр!е Кигга Гоггпи!а") и оГ гйгд огдег.
8. Сопв!дег 1Ье опе-вгер гпегЬод 8$чеп Ъу Ф(х, у; Гг):=Г(х, у) е д(х+ 9, у+вг$$Г(х, у)), ччЬеге д(х, у):= Г(х, у) в- ~ — Г(х, у)) . $(х, у). д lд БЬочг 1Ьаг !г Ы а гпегЬод оГ огдег 3. 9. $$ГЬаг доев гЬе 8епега! во!игюп оГ 1Ье гИГегепсе ег$иаг!оп игч г — — и,~ г + иг, ) > О, 1оо$г!йе? (гог ич = О, и, = ! опе оЫа$пв ГЬе "РГЪопасс! вег$иепсе".) 10.
!п гЬе гпегЬодв оГ Адагпв-Мои!гоп гуре, Ьдчеп арргокипаге ча)иев г$, г, ..., г$ Гог у(х г), ..., у(х ), опе согпригев ап арргохипаге ча!ие г$„г Гог у(х,,), х ч г е (а, Ь), 1Ьгои8Ь гЬе Го!!очг!пд йегадче ргосевв [вее (7.2.6.7)): гГгге2, агЪигагУ; Гогг=О, 1, ...: 4:г"='РФ- ):=дг+ Ч)1 оХ(х„.), Чг," )+ КгГг+ " +)$ к -чв 562 7 Ого!вагу ЕП8егеппа! Е<1ивпоав БЬо!ч: гог Ге г г(а, Ь) йеге ех(вгв ап Ьо > 0 висЬ йа! Гог а(! (Ь( < Ьв гЬе вег1иепсе (гг"',,) сопчег8ев !о!вага ап гГ „гч11Ь «1„,, = Ч'(ггг,,). 11.
1?ве !Ье еггог евгипа!ев Гог гпгегро1а0оп Ьу ро1упопна1в, ог Гог Ь1ечггоп-Со!ев Гоппи!ав, !о вЛо ч гЬа! гЬе Адашв-Мои1гоп шейог1 Гог ц = 2 1в оГ гЬггг) оггГег апг! 1Ье МОпе шейо0 Гог гг = 2 оГ ГоиггЬ о!де!. 12. гог Ц = ! апд гг = 2 г1е!егпипе гЬе ссейс1еп!в )1а 1и Ь1Увггошв'в Гогпш!ав гГР+! ггг ! + Р!с.уг 1 ГГ!!.Гг — 1) гГр г = гГг — ~ + 7!(Ввс.уг+ 18вгур — ~ + Фвв.гг Л' 13. СЬес)г ччЬе!Ьег ог по! 1Ье 11пеаг ши!1)вгер те!Ьой Ь гвг — ггг 4 = — (8уг г — 4?г ! + 8/г в) Ь сопчег8еп!.
14. 1.е! 8г(!) = О, апд а!ваше гЬа! Гог гЬе соейсгепгв вп ФЫ вЂ” — = У -гИ + У вЂ” вГг +'''+ УгГг+Уо Гг — 1 опе Ьав (У,,( > (У,,) » " (Ув(. Гусев 8г(гг)ваг(вГУ йевгаЫ!11УсопдЬюп? 15. ГУегегпипе а, (1, апд у висЬ йа! Фе!1пеаг ппг1гйгер шегЬог! пг" — 87+ (87. ЧУ+!) = В((!+в Л>!)+ УЛ.Л Ьав оггГег 3, 1в гЬе тегЬод гЬив Гоипд в!аЫе? 16. Сопва8ег йе ргее0сгог шейся 8(чеп Ьу 8!. в 4 о 8!. + пв г0 = Ь(Ьв Лхп 8!) + Ьг Х(х!. и 8!. г)) (а) Гуе!егш1пе ас, Ьв, апг1 Ь, ав а Гипсгюп оГ а, висЬ !Ьа! 1Ье шегЬод Ьав оп1ег а! 1еав! 2. (Ь) гог вЫсЬ а,-ча1иев Ь йе пвегЬог! гЬив Гоипд вгаЫе? (с) 1ч'Ьа! вресва1 шегЬгх)в аге ойа1пе0 Гог а, = 0 апд а, = — 1? (0) Сап аг Ье во сЬовеп !Ьа! !Ьеге гевиПв а вгаЫе шегЬо0 оГ огг1ег 3? 17.
Зиррове гЬе шегЬог) Ь ц! „4 9п„, — 1Опу = - (13Г! „+ 9д Ь арр!ве0 го !Ье гш0а1-ча!ие ргоЫеш у'=О, у(0)=с. Ее! 1Ье вгаг0п8 ча1иев Ье ггс — — с апд гг, = с + ерв (ерв = пвасЬгпе ргес(в!оп). 'вчЬа! ча!иев гГ! аге го Ье ехресгег( Гог агЬг!гагу вгерв1хе Ь? 18. рог гЬе во!и6оп оГ гЬе Ьоипдагу-ча!ие ргоЫеш у" = 100у, у(0) = 1, у(3) = е 563 Езегспев Гог СЬаргег 7 сопк)бег гйе 1пгйа1-ча1ие ргоЫеш у" = 100у, у(0) = 1, у'(0) = к, чч)гЬ во!игюп у(х; з), апгГ Легегю)пе з = 3 пегайче!у висЬ гЬа! у(3; 3) = е Аышпе ГиггЬег гйа! з Ь сошригед оп!у ч»1гЬ1п а ге!айче еггог в, 1.е., !па!сад оГ з опе оЫагпк 3(1+ в).
Ночч !агае Ь у(3; к(1+ к))?!п гЬгк саве, ы гЬе кнпр1е вЬоойпй пгегйог1 (ав гГевсг)Ьег1 аЬоче) а вшгаЫе гпегЬог1 Гог гйе ко!шюп оГгйе Ьоипдагу-ча1ие ргоЫеш? 19. Сопя!?ег гЬе иийа1-ча1ие ргоЫеш у' = к(у + у ), у(0) = з. (а) 13егегш1пе гЬе ко!игюп у(х; з) оГ гЬгк ргоЫет. (Ь) 1п чгЬГсЬ х-пе)аЬЬогЬоод Г/,(О) оГ 0 и у(х; з) г?ейпе<$? (с) Рог а а)чеп Ь + 0 йпгГ а Гг > 0 висЬ гйа! у(Ь; к) ехпав Гог а1! ) к ( < lг.
20. ЗЬочч гЬа! аышпрйоп (3) оГ ТЬеогеш (7.3.3.4) зп гйе саке л = 2 В по! ваг1вйед Гог гЬе Ьоипг1агу сопйййопв у,(а) = с,, у,(Ь) = сз. 21. (3пдег гЬе авкишргюпк оГТЬеогеш (7.3.3.4) ргоче гЬа! Е:= А + ВС, ... С, гп (7.3.5.10) Ь попа!пап)аг. Н!а!! Е = Рв(Г + Н) Н = М + Рч 'В, г (2 — Г). 22. ВЬо» Ьу ап еггог апа1увь (ЬасМзчагд апа1уяк) гйа! гЬе ко1ийоп чесгог оГ (7.3.5.10), (7.3.5.9), виЬ?ес! го гоипг11па еггогк, сап Ье Гпгегргегег? ак гЬе ехасг гезий оГ (7.3.5В) зч)гЬ зйд)ггГу реггигЬед г1аЫ-Ьапд вЫев Е! апд реггигЬегГ 1ав! ецнагюп (А + Ег) Лз, + Ег Лзз + ".
+ Е, Лз, + (В + Е ) Лз = — Е 1иЬ(Е;) япаИ. 23. Гс! ВЕ(к) Ье гЬе шагйх гп (7.3.5.5). Ргоче; !Ге!(ВЕ(з)) = !Ге!(А + ВС, ... С,). Рог гЬе ючегве (ВЕ(к)) ' йпгГ ехр1(сй1у а десошрок111оп го ЫосЬ па!Пеев М, 5, Т: (ВЕ(к)) ' = К5Т зч1!Ь 5 ЫосЬ-йааопа!, Я ипй 1оччег ЫосЬ гпапйи1аг, апгГ 5, Т сЬовеп во гЬа! 5Т ВЕ(з) В ипп!оччег Ыос1г !Напри!аг. 24. Ее! Л е й" Ье агЬгггагу. Ргоче: 1ГЛз,:=Л апд Лзз,?' = 2,..., а! Ь оЬга)пед Ггош (7.3.5.9), гЬеп .- Г) кайвйев (ВЕ(з) Е) Лз = — Егр+ Ег((А + ВС, ... С,) Л вЂ” гч). 7 Ога!лагу Гу!ГуегелГ!а! ЕгГлаГ!олз ТГшя, 1Г Л и а чо!обои оГ (7.3.5.10), гЬеп а!вауе (0Е(г) .
Е)г Ьа < О. 25. Сопка5ег гЬе Ьоипг!агу-ча!ие ргоЫегп у' =Ях, у) в11Ь гЬе херагагед Ьоипг!агу сопйг1опе у (а) — а у„(а) — а„ «„„(ь) — ))„, ТЬеге аге!Ьие й пой!а! ча!иеч апг! л — lг гепийа! ча!иеа вЫсЬ аге 1сповп. ТЬе 1пГоппагюп сап Ье ичег) го гег1исе гЬе оппеле!оп оГ гЬе чуьгега оГ сапа!)опе (7.3.5.8) (1г соигропеига оГ Ьз, апгГ л — Гг согпропепге оГ Лг аге лего). Еог гл = 3 сола!гас! ГЬе ьучгега оГ есГиагюпь Гог!Ье соггесбопь Ьзо 1п!е8гаге (игбп8 гЬе 81чеп 1пГогиьаВоп) Ггога х, = а го х, ае ве11 аа Ггогп хе = Ь го хг (" соипгег аЬоог)п8"; чее Е!Ваге 28).
хг хэ=Ь а =х1 ЕЬВиге 28 Соипгег аЬооВп8. 26. ТЬе а!сага сопсепггаВоп оГ а аиЬагга!е т а крЬеПса! се!1 оГ гайана 1 !и ап епхугпе са!а!усев геасВоп ь гГексг1Ьес$ Ьу гЬе ко!ирои у(х; а) оГ гЬе Го11ов1п8 чй8и!аг Ьоипйагу-ча!ие ргоЫегп (сГ. Ке1!ег (1968)): 2у' у х а(у + Гг) ' у(О)=О, у(!) = 1, а, Гг рагатегега Гг = 0.1, 10 з < и < !О '. АЬЬои8Ьу'!е г8п8п1агаг х = О, гЬеге ехгкь а ао1и!Гоп у(х) вЫсЬ и апа!уйс Гог ата!! )х ). !п ьрЬе оГ ГЬга ечегу пипкПса) иие8гайоп гаегЬой Га1! ь пеаг х = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
