Stoer, Bulirsch - Introduction to Numerical Analysis (523187), страница 87
Текст из файла (страница 87)
П ТЬе сопГГ!Гюпв оГ ТЬеогетв (8.2.б) апг1 (8.2.9) аге а!во впГВс!епг Гог йе сопчег8епсе оГ ГЬе хгапвв-Бе)Г)е! теГЬод. %е вЬопг ГЬгв оп1у Гог йе вггоп8 гопг япп сгпеПоп. Юе Ьаче, ечеп тоге ргесве!у: (8.2.12) ТЬеогет. УУ' 1ац) > 2 1а,а1 Уог ай г' = 1, 2, ..., л, аег йе Саивв-Бей)е) пгеГЬогУ Гв сопиегдепГ, апгУУигГЬегпгоге 'Гвее (8.1.б)) !пЬ„(УГ) < 1пЬ„(,У) < 1.
Раоог. 1.ег кц:=!пЬ„(УГ, к,:= 1иЬ„(У). Ав а!геае)у ехр!о!Гег) гереагег)1у, йе аввшпргюп оГ ГЬе йеогегп нпрйев 1У1е<к е<е, е=(1, „,1)г, Гог ГЬе гпаГПх У = Г. + ГУ. Ггот йгв, Ьесапве 1.У1 = 1Е,1 + 1ГУ1, опе сопс!пг(ев (8.2.13) 1 !l 1 е < (кг У вЂ” 1 Г.1 )е. Хочг Г. апг) / Г. ! аге Ьой 1огчег Гг)ап8п!аг пгагпсев ъиГЬ чапЬЬГп8 ГГ!а8опа1.
Рог впсЬ ГпаГПсев, ав Ь еая1у чег!ГГей, Г". = ! Ц" = О, во Гьаг (У вЂ” Г.) ' апг1 (У вЂ” / 2.1) ' ехвя апг1 О < 1(У вЂ” Ц-'1 = 11 + Г. + " + Гт- г1 < У+ )У.1+" + )Г.!"-' = (У вЂ” 12.1)-'. 579 Я.З Ко!ахапоп Мейоея Ми!6р!у!п8 (8.2.13) Ьу йе поппейа6че гиагг(х (У вЂ” !Ь!) ', опе оЬга!пя, Ьесаияе Н = (У вЂ” Ь) 'ЕУ, !Н!е < (У вЂ” /Ь!) '!УУ!е < (У вЂ” !Ь!) '(У вЂ” !Ь| + (ке — 1)У)е = (У + (к — 1)(У вЂ” !Ь /) ')е.
Ь!ояг, (У вЂ” )Ь )) ' > У апй к„< 1, яо !Ьаг ГЬе сЬаЫ оГ !пег!па!Шея сап Ъе соп6пиед: ~ Н ~ е < (У + (ке — 1)У)е = ке е. Вп! ГЫя гиеапя к„= 1пЪ (Н) = 1иЬ ( ~ Н ~ ) < ке, ая ягая го Ъе яЬоюп. 8!псе 1иЬ„(Н) > р(Н), 1иЬ„(.У) > р(У), ГЫя ГЬеогегп гиау яи88ея! !Ье сопУесгпге ГЬаг цпг(ег !Ье аяяшпр6опя оГйе йеогеги а1яо р(Н) < р(У) < 1, !.е., 1и иеа. о! ТЬеогеги (8.2.4), ГЬа! йе Сапяя-Бе(г(е! гие!Ьод сопчегдея аг 1еая! ая Гая! ая йе УасоЬ! гиейод. ТЫя, Ьоюееег, ая ехагир1ея яЬояг, 1я по! ггпе ш Пепега!, Ьпг оп!у ипйег Гпг!Ьег аяяигирбопя оп А. ТЬпя, е.8., ГЬе Гойоалпй ГЬеогегп Гя ча!Ы, ягЫсЬ че я!а!е юйоиг ргооГ 1Гог а ргооГ, яее Чагйа (19б2)1.
(8.2.14) ТЬеогеап (йге(и, КояепЬег8). УУ'йе гааге!х,У = У. + Г/ !я поппедайие, йепУот У агкУ Н = (У вЂ” У) 'УУ ргесгяе(у опе оУ гбеУоУУонтд те(айопя Ьо! Ь: (1) р(Н) = р(.У) = О, (2) О < р(Н) < р(У) < 1, (3) р(Н) = р(У) = 1, (4) р(Н) > р(У) > 1. ТЬе аяяппр6оп у > О 1я яа6яйегГ ш раг6сп!аг (яее (8.1.5), (8.1.б)] К ГЬе гиагпх А Ьая роя(г(че сйадопа! е)егиеп!я апгГ попроя111че оГГ-гУ!адопа1 е1е- шеи!Я: ап > О, аа < О Гог ! ЯЯ Ус. %псе й!Я сопгй6оп ЬаРРепЯ го Ье Яайайед ш а!яиоя! аП яуягегия оГ Ппеаг егГпа6опя еЫсЬ аге оЫайед Ъу 61ГГегепсе арргохппабопя го 1теаг гййегепба! орегагогя (сГ., е.8., алеся!оп 8.4), ГЫя !Ьеогеги ргоийея Ги гиапу ргас6са! саяея йе я18п(йсапг УпГоггпа!!оп ГЬаг йе Оапяя-Яе(йе) гиегЬо<$ сопчегйея Гаягег йап йе УасоЪ! гпейод, П опе оГ йе гячо сопчегйея а! ай.
8.3 КЕ1аХа11ОП МЕ113ОС18 ТЬе геяпйя оГ йе ргеч!опя яес6оп яидйеяг!оо(гЫ8 Гог яипр!е гиагг(сея В Гог еЫсЬ ГЬе соггеяропгйп8 йегайхе гие!Ьод (8.1.3) сопчегйея регЬаря я6П Гаягег ГЬап ГЬе Оапяя-Яе(г(е! те!Ьог(, р(У вЂ” В 'А) < р(Н). Моте йепегайу, 580 Х Гсегаиче Месхосгг Гог Гсге Бо!ыаоп оГ Гагае Зугсетг оГ Г.гпеаг Ессиассопь опе сап сопяс(ег с1аххех о!хи!ГаЫе гпаГНсез В(со) с(ерепс(1п8 оп а рагатесег со апс( Ггу Со сЬооье СЬе рагатесег со Гп ап "орПгпа1" вау, Г.е., хо йас р(à — В(со) 'А) аз а Гппсйоп оГ со Ьесогиез аь япаП ах роьяЫе. !п ГЬе те(ахат!оп тесЬосЬ (ВОЯ тесЬг(х) опе хспсПех йе ГоПовш8 с(ахх оГ гпасНсек В(со): В(со) = -- ГУ(à — соГ.). 1 (8.3.1) Неге а8а(п ве пхе йе посаПоп (8.1.5) — (8.1.6). ТЬ(х сЬо(се га оЪса(пес( йгоп8Ь йе ГоПов(п8 сопяПегаПопя Ппррохе Гог ГЬе (! + 1)хг арргохппаггоп х" " ве а1геасГу Ьпов йе сотропепсз х'," ", Гс = 1, 2, ..., ! — 1.
Аз т ГЬе Оапхх-Бе(ГГе! гиесЬос1 (8.1.8), ве ГЬеп с(ейпе аи апхйагу сГиапг(су х,'"" Ьу (832) а;хсу+и = — ~г агххгсг+и — ~аххсог+ ЬГ, 1 <у < п, г > О, с<у г>у вЬегепроп хчге "Гх с(егепп(иес( йгоп8Ь а сегга(п ачега81п8 оГ х," апс( х'," ", ч!г. (8.3.3) х"+ ":= (1 — со)х" .+ сох'" " = хор + со(хсГ+ и — х"). г Г ! У' г Г Е!ппЬгаг(п8 ГЬе апхйагу с!пап!(гу х,'"" Ггогп (8.3.3) Ьу гпеапх оГ(8.3.2), опе оЬГа1пх (сг адх.
= адх + со г апхг а х г атххг + Ь. г<! г>г 1<!<и, г>0. !и тагпх по!акоп СЬ!х Га ес!Ыча!епг Го В(со)хо е и = (В(со) — А)хсо + Ь, вЬеге В(со) Гх ГГейпес( Ъу (8.3.1) апс( 1 В(со) — А = — ГУ((! — со)! + соЦ. Рог ГЬ!х игеСЬос! ГЬе гаге оГ соичег8еисе, ГЬеге(оге, Га с(егегпппес( Ъу йе хресгга! гас(шз оГ йе пгаспх (8.3А) Н(со):=à — В(со) 'А = (! — соГ.) г[(1 — со)Г+ оэГУ). Опе са!Ь со йе те!аког!оп рататесет апс( арса!се о! ооетге!ахаПоп !!со > 1 апс1 ипс(етте!ахассоп ГТ со < 1. тог со = 1 опе ехасс1у гесочегь ГЬе ОапххБе(с(е( гпеГЬос(.
'чСГе Ье8!п Ъу Пег!п8, т рагс вПЬопс ргооГ, а Гев срга!ПаПче гехи!гх аЬопг р(Н(со)). ТЬе ГоПов(п8 йеогепг ьЬовх ГЬас ш ге!ахас!оп гпесЬос(х оп!у рагапсегегь со в(СЬ 0 < со < 2, аг Ьехг, 1еас( Го сопчег8епг гпеСЬос(я 582 8 ссегааге Ма!!гас!а Гог йе Бо!оаоп ос хасае ауоегоа о! Гппеаг Ее!час!опт %'е Гггх! кЬогч йа! йе е!8епча!пея Л оГ А '(2 — А) а!! 1Ге !п йе (пгепог оГ йе п8Ь! Ьа!Г р!апе, Ке Л > О. 1пс(еес(, гГ х ь ап ес8епчесгог Гог Л, гЬеп А '(2 — А)х = Лх, х" (2 — А)х = ЛхпАх. Та)с!п8 йе соп!п8аге согпр!ех оГ йе 1ая! ге!акоп 8!чек, Ъесапхе А = А", х" (2В" — А)х = Лх" Ах.
Ву ас(йг(оп, Ь Го!!огчх йа! х" (В + В" — А)х = Ке ЛхггАх. Вп! почч, А апс! В + В" — А аге рохЬ(че с(ейп(ге апс( гЬиь Ке Л > О. гос йе гпагпх Д:=А '(2 — А) = 2А ' — 1 опе Ьаь (Д вЂ” 1)(Д + 1) ' = 1 — В 'А = Н(со). [ОЬьегче йа! В ь а попа!п8п!аг !пап8и!аг гпагпх; йегеГоге В ' апс( гЬпх (Я+ 1) ' ех!а!.! 1Г р Ы ап е!8епча!пе оГ Н(со) апс( х а соггевропсВп8 е!8епчесгог, гЬеп Ггогп (Д вЂ” 1)(Д + 1) 'х = Н(со)х = рх К Го!!огчх, Гог йе чесгог у:= (Д + 1) 'х + О, гЬа! ((2 — 1)у=НЮ+1)у, (1 — иЮу = (1 + р)ус 8!псе у ~ О, гче пюх! Ьаче гг ~ 1, апс( опе йпа!!у оЪга!пв 1+ гс Яу =- — -у 1 и !.е., Л= (1+ Ге)/(1 — !с) Гь ап е!8епча!пе оГ Д = А '(2 — А). Непсе, р = (Л вЂ” 1)1(Л + 1). Гсгг ! гг !' = гсрс опе оЬгаЬгк !Л!'+ 1 — 2 Ке Л !Л!'+! + 2 Ке Л* апс( х!псе Ке Л > О Гог О < со < 2, !Гг) < 1, !.е., р(Н(ог)) < 1.
гог ап ппроггап! с1аах оГ пгагпсех йе пюге с!па!!!а!(че авхеп(опт оГ ТЬеогегпя (8.35)-(8.3.7) сап Ъе сопя(с(егаЫу вЬагрепей ТЬВ ь гЬе с1ахх оГ гпа!пеев гч(гЬ ргорегсу А Гпггос(псес( Ьу Хопп8 [нее, е.8., Хопп8 (1971)], ог Ьх 8епега!1ха!Гоп с(ие го Чаг8а (1962), йе с!аах оГ соияхгепс!у огсГегесГ гпагпсеи [атее (8.3. 1О)!. 583 в.З ке!ахя!оп меинмЬ (8.3.8) Гуейп(г!оп. ТЬе та!пх А Ьав ргорепу А !Г йеге ех!в!в а регпшгаооп таспх Р впсЬ йа! РАРг Ьав йе Гопп РАРг т 01 М1 О,, О, сПа8опа! та!пеев.
М2 01 ТЬе пьоя 1троггапс Гас! аЬоп! гпа!пеев ю!!Ь ргореггу А !в 8!чеп !п йе Гооочг!п8 йеогегп; .Г(а):=аО+ а '11, ае С, а ~0 иге !т(ерелИепг оГ а. Ркооу. Ву ГУеоп!г!оп (8.3.8) гЬеге ех1в!в а регпш!аооп Р висЬ гЬа! РАРт = (О, М,1 ~ =0(1 — Г.- Ц, 0г 0 Ох Ох'М, 0 О О-,'М, Неге О, апг( О, аге попяп8п1аг сПа8опа! та!с!сев. Рог а ~ О, опе пои Ьав ~0~'М 0 '0 'М 0 = 5,,1(1)5, ' аП!Ь !Ье попяп8п1аг соа8опа( тагпх о1 -~О ~0 а!2!' ТЬе та!пеев .1(а) апг( .Г(1) аге япп!аг, апо Ьепсе Ьаче гЬе вате е!8епча!пев. П Гоооечп8 ч'аг8а (1962), а та!пх А ччЬ!сЬ, ге1аоче го йе г(есотровЬ!оп (8.1.5), (8.1.6), А = 0(1 — Е.
— Ц, Ьав!Ье ргореггу йа! йе е!8епча1пев оГ !Ье та!пеев /(а) = аГ. + а Г! Гог а ~ 0 аге !пдерепс!еп! оГ а, Ь саоео (8.ЗАО) сопяяепг!у оп(егег(. (8З.9) 'ТЬеогет. Рог еиегу л х п тагпх А Мга ргорег!у А опг( ад + О, ! = 1, ..., л, йеге ех!вгв а регтигагГоп тогпх Р зиса йаг йе г(есотровГгГоп (8.1.5), (8.1.6), А = О(! — Г. — Г!), оГ'гЬе регтигег( пиипх А:= РАР Ьав йе Го!!очи!и!! ргореггу: Тае евделио!иев оГ йе тагпх 585 8.3 Ке1ахайоо Ме!Ьоав Рог )ггег)пс)Ые л х л гпагпсев А !ч!1Ь попчашвЫпй йайопа1 е!егпеп1в аа ~ О апо г)есогпровй!оп А = Гу(à — Г. — Г!) !1 гв ойеп саву 1о Ппг) оп1 чейе1Ьег ог пог А Ьав ргореггу А Ьу сопв!г)епп8 Гйе 8гарЬ 6(2) аввос)агег) чгПЬ 1Ье гпагпх 2 = Г.
+ К Рог 1Ыв, опе ехапппев 1Ье!епПГЬв в",, в1,', ... оГ аП с!овес опепгед рагЬв (опеп1е!Г сус!ев) Р,- Р, - Р„,- "- Р„Р~=Р, !п 6(,/) вЫсЬ !еа!Г Ггогп Р, го Р, . Г:!епог!п8 Ъу 1, Гйе Пгеагевг сопппоп йгйвог оГ Гйе в",, в!!, ..., Гю = 8сг)(вю вх " ) 1Ье ПгарЬ 6(У) )в сайед 2-сусйс !П, = 1х = " = 1„= 2 ап!Г гчеа)г!у 2-сусйс К ай 1; аге ечеп. ТЬе Гойо!ч)п8 Гйеогегп 1Ьеп Ьо!с)в, !чЫсЬ !че вгаге чч!1Ьопг ргооГ. (8ЗЛ1) ТЬеогегп. Ал !ггейис!Ые еагг!х А Ьав ргореггу А ф'алй ол1у (Г 6(У) !в гчеах(у 2-сусйс.
Еххми.и. То !Ье та1пх 1Ьеге Ье!опав гйе таге!х и!1Ь 1Ье агарЬ 0(у) ы соппесвед, во 1Ьаг у, апд Фпв а1во А, 1в !ггедпс!Ые (вее Бес!гоп 8.2). Япсе 6(у) 1в ечЫепг!у 2-сус!ал А Ьав ргорег!у А. ТЬе в!Пп)йсапсе оГсопв!вгепг!у огг)еге!Г гпа1г!сев [ап!Г ГйегеГоге Ъу (8.3.9), Ьхйгес11у а1во оГ и!а!пеев !чПЬ ргореггу А1 Иев зп Гйе Гас! Гйаг опе сап ехрйс(йу вйоч Ьогч 1Ье е)8епча!пев )г оГ 2 = Г. + Гу аге ге!агег) го Гйе е18епча!пев 2 = Цго) оГ Н(ш) = (1 — охГ.) '((1 — го)1 + га(1): - [ 4 — 1 Π— 1 — 1 4 — 1 ΠΠ†! 4 †! — 1 Π— 1 4 О 1 О 1 1 О 1 О О 1 О 1 1 О 1 О 586 В Иегагве Мегиооа Гог (Г(е Зо!пиоп оГ Сагае Буагепл оГ С(пеаг Еппагзопз (8З.12) 'Игеогет (Чоип8, Чаг8а).
У.ег А Ье а сола!в!ела!у ог(Уеге(У лэаггУх (8.3.10) ааУ оэ в О. ТЬеп: (а) ГлгГГЬ Уг, аЬо — Уг Ь ап е!детаГие оУ о = У. + СУ. (Ь) Уу уг Ь ал еГдетаУие оУ',У алг( (8.3.13) (Л ( ш 1)г Лшг~~г йел Л Ь ап еэдеппа!ие оУ' Н(ш). (с) УУ'Л в 0 Ь аа еГдетаУие оУ'Н(ш) ап(У (8.3.13) ЬоЫв, йеп уг Ь ал еГдепоа)ие оУ',У. Ркоок (а): 8!псе А ь сопяяепг!у огг(егегГ, йе тагПх У( — 1) = — У,— СУ = —,У Ьав ГЬе вагпе е!8епча!иев ав,У(!) =,У = У. + СУ. (Ъ): Весаиве г(ег(У вЂ” гоУ,) = 1 Гог аП ш, опе Ьав г(ег(ЛУ вЂ” Н(го)) = г(ег[(У вЂ” гоУ.)(И вЂ” Н(ш))] (8.3.14) = ГУег[ЛУ вЂ” ЛгоУ. — (1 — оэ)У вЂ” шЦ = г(ег((Л + оэ — 1)У вЂ” ЛшУ.
— соСУ). ЪГов 1ег Уг Ье ап ещепча!ие оГ.У = У. + СУ ап(1 Л а во1иПоп оГ (8.3.13). ТЬеп Л + го — ! = чУЛш,и ог Л + го — 1 = — чУЛгоУг. Весаиве оГ(а) ве сап аввшпе в(ГЬоиг 1овв оГ 8епега!Ьу йа! Л+ ш — 1 = чУЛ уг. 1Г Л = О, йеп оэ = 1, во йаг Ьу (8.3.14), г(ег(0 У вЂ” Н(1)) = (1ег( — СУ) = О, г.е., Л эв ап е(8епча(ие оГ Н(ш).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
