Stoer, Bulirsch - Introduction to Numerical Analysis (523187), страница 89
Текст из файла (страница 89)
1п ГЬеве савеь, Ыос1с тезЬос$8 Ьпп8 геа! ас$чапза8ев. г ог йе шос$е1 ргоЫепз (вес Бес!)оп 8.4), ге1а6че зо ГЬе раг66оп 81чеп ш (8.4.5), йе вресзга1 гас$шв р(.У,) сап а8азп Ье с$езепшпес$ ехр!зс1$1у. Опе Пас!8 л сов УГУ+ 1 и 2 — соь— М+! рог йе соггевропсПп8 ор6ша! Ыос1с ге!ахабоп пзезЬск$ опе Ьав авутрзо- 6саПу Гог УзУ вЂ” со р(Н„(оз~)) ав р(Н(шД" «Пй к = /2. ТЬе пшпЬег оГПега6опв $8 гес$псес$ Ъу а Гасзог /2 сопзрагес$ зо йе огсПпагу орзппа! ге!ахазюп пзейос$ (ргооГ: все Ехегсзве 17). 597 8.6 Тйе АггГ-МеГГгосГ оГ Реасегпап апсГ КасГггогд 8.6 ТЬе АО1-Ме111ос) о('РеасеГпаГГ аГ!д Вас!1(ого ППП Гавгег сопчег8епсе йап гп ге1ахааоп теГЬое18 !в оЬГа(пее( чг(ГЬ ГЬе А Ш пгеГЬодк (а!Гегпагш8-ГГ(гесгюп ппрйсгг Ьегааче тегЬог$8) Гог ГЬе Пегааче согпригагГоп оГ ГЬе ко1иаоп оГ а кукгезп оГ!Гпеаг ег!Иагюпк гчЫсЬ аг(кек Гп гПГТегепсе гпеГЬогЬ, Ргот атоп881 йе тапу чааап18 оГ ГЫв теГЬод гче с(ексПЬе Ьеге оп!у йе ЬгкгопсаПу Пгкг тегЬое( оГ ГЬ(к суре, гчЫсЬ гк с(ие го Реасегпап апд КасЬГоге( (вее Чаг8а (1962) апг( Уопп8 (1971) Гог ап ехров1- Г(оп оГ ГиггЬег чаг!апкк).
'еЧе !Пик!гаге ГЬе теГЬоГГ Гог йе Ьоипс(агу-ча1пе ргоЫет — и„„(х, у) — и,,(х, у)+ пи(х, у) =Г(х, у) ГогО < х, у < 1, (8.6.1) и(х, ч) = О Гог (х, у) е дй, Й:= ((х, ч)~О < х, у < 1) оп йе ппгГ вг1паге, гчЫсЬ оп ассоипг оГ ГЬе Гепп еги Гк оп!у вП81П!у пгоге Пепега! ГЬап ГЬе тое(е1 ргоЫегп (8.4.1). %е аьвшпе гп ГЬе Гоаоъч(п8 йаг ет гв сопкгапг апе( поп-пе8ааче. 13гап8 ГЬе кате гавсгеахааоп апг( йе вате погагюп ак Гп Бесаоп 8.4, Гп р1асе оГ (8.4.4) опе поги оЬСагпв ГЬе кукгепг оГ 1шеаг ес!Иагюпк (8.6.2) го, = гп г г = гГо — — г; „,, = О Гог О < Г, / < гЧ + ! Гог йе арргохгтаге ча1пеь г;; оГ йе ча!мек ии = и(х;, у,) оГ гье ехасг ко1И- Поп.
То ГЬе с(есотрок!Г!оп аг 4го — г;,; — г,.„, — г,.;, — г;,, + ИЬ го аа [2ги — г,, — г... Д + (2ги — г;, — г, г) + (И!Гав;,) !пго чаааЫек ччЬ!сЬ аге !оса!ее( оп ГЬе кате Ьог(хоп!а! апг( чегггса1 Ппе (ьее Р!8иге 29) оГ ваа, гекРесаче!У, йеге соггевРопг(к а Г(есогпРоГППоп оГ ГЬе гпагах А оГ йе кукгепг оГ ег1иааопь (8.6.2), Аг = Ь, оГ йе Гогт А = Н + е'+ г..
Неге, Н, Г', г. аге г(ейпее( йгои8Ь ГЬегг асгюпв оп а чешог г: (8.6.3 ) 1(гч = г.г. гчо = ИЬ го г, гк а гаа8опа! та!ах гч(ГЬ поппе8ааче е!етепгк; Н апе( Р аге Ьо! Ь вупппеГПс апг( ровгаче с(ейп!Ге. 11 ко!Пеев го вЬокч ГЬгк Гог Н:! Г йе го аге огг(егее( 598 3 ГГегаГГае Майора Гог Гае Бо!а!оп оГ Г.агве ЗуаГета оГ Гаоеаг Ецоааопз Гп соггевРопс1епсе го йе гоев оГ $2а (вес Р!8пге 29), л = [гп, в „.. аг гцо ..., в,„, ва„, ..., гаД, йеп — 1 — 1 2 Виг ассогг$пщ Го ТЬеогегп (7.4.7) йе гпагг$сев 2 — 1 — 1 — 1 — 1 2 апГ$ Ьепсе аВо Н, аге ров!1!че г$ейп$ге. Рог $' опе ргосееГГв ьппйаг!у.
Апа!ойопь г$есогпров!$$опв оГ А аге аЬо оЬга!пеГГ Гог Ьоппг$агу-ча!ие ргоЫегпв аГЫсЬ аге сопв!ГГегаЫу пюге 8епега! йап (З.б.1). !п йе АР1 гпеГЬоГ$ оГ Реасегпап апг$ КасЬГогГГ йе ьуЯеГп оГег$паг!опв ш ассогг$апсе мчГЬ йе ГГесоГпров!Г!оп А = Н + р + Е, В пою ГгапвГоппег$ ес$п$ча!епг!у !ого (Н + аЕ + г1)г = (г1 $' аЕ)в + Ь апГ$ а1во ($'+ аЕ + гГ)г = (г1 — Н вЂ” ~аЕ)г + Ь. Неге г Ь ап агЫГгагу геа! ппГпЬег. %!ГЬ йе аЬЬгегйайопь Н,:= Н + —,'Е, $',:= $' + 4Е, опе оЬга!пв ГЬе !Гегайоп а!8ог!Ипп оГ йе АР$ гпеГЬог$, (8.6.4а) (Н, + г;е,1)вп+ "Я = (г,.~,1 — $;)гаГ + Ь, (8.б.4Ъ) ($', + г;„1)вп "= (г а, 1 — Н, )вв+ оп + Ь С!уеп ваГ, опе йгвг согпрпгев во+ "" Ггогп ГЬе йгвг оГ ГЬеве ег$иаг!опв, ГЬеп впЬвйгпГев ГЬГв ча!пе !пго ГЬе весопг$ апг$ согпрпГев г" ".
ТЬе Г$папГ!Гу г;„, В а геа! рагаГпесег яЫсЬ гпау Ье сЬовеп г$йрегеп$1у !гогп вгер го вгер. %Г$$Ь япгаЫе огг$еппй оГ йе уапаЫев во ГЬе гпагпсев Н, + г,. „1 апГГ $', + гГ,, 1 аге рояле ГГейп!Ге гпгйайопа1 ГпаГг!сев (аввппип8 г,„) 0), ьо ГЬаг ГЬе 599 8.6 Тае АОС-Мпсхпа пс Реасегппп апа Каспгпга вувсешв оГ есСпасюпв (8.6.4а, Ь) сап еая!у Ье во!чесс Гог г" "" апд г" " чса а СЬо1ев(су ссесошрояс!оп оГ Н, + г...1 апсс У, + г,„1.
Е1ишпас!п8 г" ов', опе оЬсашв Ггопс (8.6.4) (8.6.5) га+" = Т„„ггп + д, „(Ь) счссЬ Т„:=(Ус + г1) '(г1 — Н,)(Н, + г!) '(г! — У,), (8.6.6) д,(Ь):=(Ус + г!) '(1+ (г! — Н,)(Н, + Н) ')Ь. Рог СЬе еггог Г',:= хш — г Ь ГоПосчв !гопс (8.6.5) апс! йе ге!агюп г = Тп„г+ д„„,(Ь), Ьу язЬсгассюп, сЬас (8.6.7) Х, = Тп„Го апсс сЬегеГоге (8.6.8) Ав си ге!ахаПоп шесЬос!в, опе спев со сЬоове йе рагашесегв г; ш впсЬ а счау йаг йе шейосс сопчег8ев ав ГавС ав ровяЫе. 1п чсесч оГ (8.6.7), (8.6.8), йсв шеапв сЬас йе г, аге со Ье гсесегшспесс во йас йе врессга! гас!сов р(Т,„... Т„) Ьесошев ав вшаП ав ровяЫе. %е Пгвс счапс со сопясСег йе саве ш счЫсЬ йе вагпе рагашесег г, = г гв сЬовеп Гог аП ! = 1, 2, .... Неге опе Ьав йе ГоПосчсп8: (8.6.9) ТЬеогепз.
Ггпгсег йе аввитрс!ап сбаг Н, ала У, аге роядпе деЯпСге опе Ьав р(Т) < 1)ог аП г > О. Хосе йас йе авяипрВоп ь вассвйес! Гог очаг вресса! ргоЫеш (8.6.!). Ргош ТЬеогесп (8.6.9) сс ГоПосчв сп рагПси!аг сЬас еасЬ сопяапс сЬо!се г; = г > О !еассв со а сопчегдепс ссегассче шейосс (8.6.4). Раоог. Ву аввшпргюп, 1; апсс Н, аге роя!иге ссеГспсге; йегеГоге (У, + г1) ', (Н, + г1) ' ехаи Гог г > О, апс! Ьепсе аЬо Т, оГ (8.6.6). ТЬе пзасНх Т,:=(У, + г1)Т(У, + г!) = 1(г1 — Н, )(Н, + 81) 'фг1 — !',)(!', + г1) ') 18 япп1аг со Т,; Ьепсе р(Т) = р(Т).
ТЬе шагпх Н:=(г! — Н, )(Н, + г1) Ьав йе е18епча!пев à — Л. г + 2!' счЬеге 28 = Лг(Н, ) аге СЬе ес8епча!иев оГ Н,, счйсЬ аге РоЯПче ЬУ аввшпР- сюп. 8!псе г > О, 28 > О, и ГоПосчв йас г — Лг †' < 1, г+ Л! 8 Ьегааче МеппмГа Гог Гпе яо!оПоп оГ Еагае ауагетпа оГ Егаеаг ЕапаГГопа апг1 йпа р(Н) < 1. Втсп «Г!ГЬ Н, а18о Н В НепшВап, ге!агпе Го ГЬе Епс!!ГГеап попп !!.
))г опе Ьаа (аее Бесйоп 44) 1«Ьг(гг) = р(Н) < 1. 1п йе ааГпе ачау опе Ьаа 1«Ьг(г') < 1, Р:=(г! — 1~,)($; + г!) ', апг! йище '18ее ТЬеогеГп (6.9.1)) р(Т,) < 1«Ьг(Т,) < 1«Ьг(Й) 1«Ьг(1') < 1. П Рог йе тоГГе! ргоЫеп! (8.4.1) пюге ргесВе агагетепГ8 сап Ье табе.
ТЬе чесгога гГа ", 1 < Гс, ! < !Ч, 1псгогГисед Гп БесВоп 8.4, «чГЬ (8.6.10) гГа:=8!П вЂ” — -ат — — —, 1 < Г,/ < ГЧ, !а7 !Ч+ 1 !Ч+ ! аа ь еаЯ1У чепГГед, аге е!8епчесгога оГ Н = Н, авГ 1' = !'и апг! йпа а18о оГ Т,. ТЬеге!оге, йе е!8епча!меа оГ Т, сап Ье ехЬ!ЫгеГГ ехр!!с!!!у.
Опе йпг18 Н гоп=рго", = р„г гг'="г Тга'" = ра ага" Г (8.6.11) «чГЬ (8.6.12) А« "= —. -' ", р„:=4 япг ГГ г ГГ . Л г+ГГГ г+ГГ ' " 2(ГЧ+1)' ао йа! 2 р(Т,) = тах г+ ГГ, (8.6.13) Ву а ГГ!аспаа!оп оГ ГЫ8 ехргезаюп (аее Ехегс!ае 20) опе йпа1!у йпг18 а геа«Ь оГ Чаг8а, СО8 г и !Ч+ 1 ппп р(Т) = р(Н(со~)) = 1+ яп ГчЬеге Гаа сЬагасгегггеа ГЬе Ьея (огГ!!пагу) ге!ахагюп теГЬог$1сГ. (8.4.7)). 1п оГЬег !чогГ18, йе Ьеа! АГУ! теГЬод, ааяппГп8 сопагап! сЬоГсе оГрагатегега, Ьаа йе аазпе гаге оГ сопчег8епсе Гог йе тоГГе! ргоЫеГп аа йе орйпа! огг!!пагу ге!ахагюп тейог1.
8!псе ГЬе 1пГ!!ч!Г!па! Вегагюп 8Гер !и йе АР1 теГЬог! Га а 8геа! ГГеа! тоге ехрепвгче йап Гп ГЬе ге!ахаВоп теГЬоГГ, ГЬе АЕП теГЬог1 !чои!ГГ арреаг Го Ье ГпГепог. ТЬЬ ы сегга!и!у !где !Г Гог а!! ЬегаВоп яера опе апГГ йе аапГе рагазпегег г = г, = г, =" ь сЬоаеп. Но!чечег, ГТ опе та!Геа псе о! йе оргюп Го сЬооге а аерагаге рагатегег г; ш еасЬ агер, йе рГсгиге сЬап8еа Гп Гачог оГ йе АР1 пГейод. рог йе тоде! ргоЫет опе сап аг8«е, е.8., аа Го!!о!ча: ТЬе чесгога г« "аге е!8епчес!ога оГ аб Тае Аг|$-Ме|$|од о| Реасетап апе Каса!ого Т„Гог агЪ||гагу г, в!!Ь соггехропоПп8 е|8епча1«е 1|а " !и (8.6.12); йеге- Гоге, йе га " аге а!8о е18епчес|огх оГ Т„... Т„|п (8.6.8).
1п|$ее|$, Т ...Т га"=||а" га", и. т ' =$|п,'...,г, вЬеге |,,| ' (г|-И,)(г,— М,) и,.;..„,:= Ц-- (|+И)(г, +М) СЬоох!п8 г,:= р|, 1 = 1, 2, ..., М, ве Ьаче 1|,'", '| „= О Гог аП 1 < Гг, 1 < Х, хо |Ьа|, Ьу йе Ппеаг Гпг(ерепг(епсе оГ йе га ", Т„ ... Т„ = О. %1|Ь |Ь18 хрес|а! сЬо|се оГ йе г| йе АО1 |пе|Ьо|$ Гог йе |по|$е! ргоЫеп| |егпппа|ех айег 1|1 8|ерх в!!Ь йе ехас| ао!шюп.
ТЫ8, о! сопгае, !8 а Ьарру со(по!|!елее, вЬ|сЬ |8 |$«е |о |Ье !оПов|п8 еааепПа! аххшпрг!опх: (1) Н, ап|$ У, Ьаче |и сопппоп а хе| оГ е|8епчес|огх вЫсЬ храп йе вЬо!е 8 расе. (2) ТЬе е!8епча1«ех оГ Н, ап|$ $; аге $|повп. Опе саппо| ехрес|, оГ сопгхе, йа| йехе ахвшпрПопх «пП Ье ха!!88е|$ |и ргасйсе Гог ргоЫе|пх ойег йап (8.6.1), (8.6.2); !и раг||сп!аг, опе вГП Ьаг|$! у $|пов йе ехас| е!8епча)пех о| оГ Н, ап|$ г| оГ Уо Ъп| оп!У, а| Ъеаг, 1о|чег ап|$ пррег Ъопп|$8 м < |г|, г| < 1$1ог йехе е!8епча1иеа. !|!ге во«И !Йе |о с(еа! в|й !Ь!8 |ПШа|юп ап|$8!че Пга! а сН|еПоп Гог йе ча!ЫПу оГ (1). (86.14) ТЬеоге|п. гог |во Негт1|рал тагг!сея Н, ат1 $', оГогг(ег п йеге ехи| и Ппеаг!у 1лг(ереп|1елг (огйодопа!) вес|ой го ..., г„, вл1с)| аге соттоп е1депоесгогь о( Н, ал|$ $;, (86.15) Н, г; = и;г;„$; г| = с|го 1 = 1, 2, ..., л, 1Гал|$ ол1у у Н, соттигез ипй У,: Н, $', = У, Н,.
ркоок (1) Гго|п (8.6.15) П !оПовх |Ьа| Н,Уг;=агг|=УН,г, ГогаП|=1,2,...,л. 8!псе !Ье г; Гоп« а Ъа|68 !п С", П ГоПова а| опсе |Ьа| Н, У| = $',Н,. (2) Сопчегхе!у, 1е| Н, $:, = $',Н,. 1.е| Л, «" 2, Ье йе е|8епча!пех оГ $', в||Ь йе пш!Пр!|с|||ех о(Л.;), 1= 1, ..., г. ТЬеп, ассогсПп8 |о ТЬеогеп| (6.4.2), йеге ехпаа а оп||агу п|а|Нх $/ вПЬ Л,:=ипУ,Н= 8 11егапче Ме111осв Гог Фе Бо!паоп оГ Гагае Буввеп1в оГ Гапеаг Еввпаввопв вЬеге ГГ 18 а ппЬ пва1нх оГ оп!ег о(21).
ггогп Н, !', = 1; Н, П ГоПовя пптебнаге!у йаг НГЛг = Лг Н„в)й йе тагнх 2Г1:= ииН, и. ЪЧе рагн- Гюп Н1 апа!оаопя!у го Лг: Н!т Н, Н11 Н12 Н21 Н22 Не! Нв2 Ву шп111р!у(па опг Н1Л„= Лггув, опе оЫавпя Нц — — 0 Гог 1 ~ /, япсе 21 + 22 ТЬе Нп аге Неггп)1)ап Гпаггкея оГ огг)ег о(2,). Ааа)п Ъу ТЬеогегп (6.4.2) ГЬеге ехаа пшгагу Гпаггкея 01 оГ огГГег о(2,.) япсЬ йаС й!!Нпбв Ьесогпея а гнадопа! таСНх Л1. гог йе ппиагу и х и гпаГПх и= [ япсе НГ, = 0 Гог 1' ф Г, йеге ГоПов йе ге!а1юпя ] (иО)" н,(иО) = Опй, О = л„= н,(иО) = (иО)л„, (ий)11уио) = о"л, о = л, ьуии) = (ий)л„, яо ГЬаг ГЬе со1шппя г,:= (ии)е1 оГ йе ппаагу та1Пх Г/О = [2„..., г„! сап Ье ГаЬеп ая и сопппоп огйоаопа! е(аепчесгогя оГ Н, апГГ К1. ( ) !)п(оггппаге!у, ГЬе сопсПГюп Н, Ггв = $'1 Н, Гя гаГЬег яечеге.
Опе сап яЬов [яее Чагина (1962), Уоппа (1971)! йаг 11 гя яаг(яйеГГ оп1у, еяяепг(аПу, Гог ЬоппГГагу-ча!пе ргоЫепвя оГ йе Гуре — — ~ р,(х) — ) — —. ~ рв(у) — -- — ) + ои(х, у) =Г(х, у) д Г ди(х, у)1 д / ди(х, у)1 д ! ' д ) ду! ' д ) Гог (х, ч) е Г2, и(х, у) = 0 Гог (х, >) а двв, о > 0 сопягапг, р,(х) > О, рв(у) > 0 Гог (х, у) е Гг, à — О; à — 21 Т 2; = — ' — — -' 2; Гог аП г > О, Г = 1, 2, ..., и, г+о; г+2, вПЬ гесгапап1аг г)ота(п вв апг) йе папа) гнясгебгагюп (гесгапап!аг аг(ГГ, его.). Нечего!еяя, ргасоса1 ехренепсе вгй ГЬе АР! гпеГЬов1 яеегпя Го япааеяг йаг йе ГачогаЫе сопчегцепсе ргорегоея вЬГсЬ сап Ье ргочеп Гп йе сопппшанче саяе Ггег1пеп11у аге ргеяепг а!яо Гп йе попсошгппгаг)че саяе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
