Stoer, Bulirsch - Introduction to Numerical Analysis (523187), страница 92
Текст из файла (страница 92)
Неге, Гу апсс Е аге ОеП|пед аз ш |Ье всапссагс) ссесотров(6оп (8.1.5) оГ А, йас Ь, А = Гу — Š— Ет. Хосе |Ьас йе Гас|от Ь = (1/оэ)17 — Е оГ В |в а 1овчег спап8п!аг п|аспх йас !з ав врагве ав йе таспх А: Ве1о|ч йе йа8опа1 Ь св попхего ас йе ва|пе роя6опв ав А. Апо|Ьег тоге 8епега1 ргорова1 )в 6ие со МецеппЬ апсс чап 6ег Чогя (1977): ТЬеу ргоровесс со ссесепшпе йе ргесопй6опег В апсс Ьв СЬо!ез1су с(есотрояс)оп Ъу йе во-саПед !асотР(еге СЬа(ев)су Гас|от!за!(оп оГ А.
8И8Ы1у тоге Еепега! |Ьап ш 8есбоп 4.3, ие сопзЫег Ьеге СЬо1ев1су ссесотроя6опз оГйе Гопп В = ЬШ.т, счЬеге Ь |в а 1оччег спап8п!аг таспх |ч(сЬ са = 1 апс)0 св а рояле-6еП|шсе йа8опа! |паспх. %1|Ь йе Гпсотр1есе СЬо1ев1|у ссесотров!с!оп Ь Ь ечеп ровяЫе со ргевспЬе |Ье врагв|су в|гас|иге оГ Ь, О|чеп ап агЪ|сгагу зес 6 ~ ((1, Г)~ / < | ~ л) оГ |пйсев сч!сЬ (|, |) а 6 Гог аП |, |с ы ровяЫе со Ппд ап Ь чбй 614 З Пегабче Метпоба Гог Ше зо!пбоп ог Г,агзе Зуатепв ог 1а!пеаг Еаоа6опа Рог!ипате!у, М птагпсез осспг чету ГгетГпепг!у ш арр1!сабопв апд тЬеге аге зппр!е зп0!с!епт сптепа Гог А то Ье ап М птатпх.
Рог !пзтапсе, апу птатпх А = А мчгЬ аи > О, ао < 0 Гог ! ~ ! 1Ьаг а!зо за6зйев йе ЬуротЬезез оГ ТЬеогеш (8.2.9) (ечеа)г готе зшп сптепоп) !з ап М тпатпх (е.8., йе тпатпх А (8.4.5) оГ гЬе шоде! ргоЫеш). ТЫз тз ргочег$„аз ш тЬе ргооГз оГ ТЬеогешз (8.2.9) апб (8.2.12), Ъу зЬотч!п8 йе сопчег8епсе оГ йе Хешпапп зепез А- =(Г+,Г+,Г +" )ГУ- >О (8.7.12) 1псопгр!ете СЬо)ев)гу г астоПхабоп. Рог! = 1,2,...: А:= а — Х' да!'а гог У = ! + 1, ..., и: 1йи — 2 а=~ Ие!уа!и (Г (1, 1) а гг, 10 ойегипве.
ТЬат !з, тЬе оп!у г(!йегепсе, сошрагет( то йе огб!пату СЬо!езЬу а!8опйпт, !з гЬаг 10 = 0 !з зет ег!па! го хего аг йе "ГогЬкЫеп" роя6опз (Ь !) ф 6. 8.8 ПГЕ АКОГ!(111п О1 ВГГГГЕГПаП (ОГ (11Е ЯО1111!Оп О(' (11Е Р!8СГЕ11УЕС1 РО!8Юп ЕЦ!Га(ГОП $1!8Ы!у 8епегаЬг)п8 йе шобе! ргоЫеш (8.4.1), чге сопзЫег гЬе РоЬзоп ргоЫеш [сошраге (8.6.1)] — 脄— и„. + пи =Г(х, у) !от (х, у) и Г2, и(х, у) = О Гог (х, у) е дат (8.8.1) оп йе гесгап81е Г2:=((х, у) !О < х < а, 0 < у < Ь) а й~ и!!Ь Ьоппг)агу дат.
Неге и > 0 гз а сопяапг апг) Г: Г! и д(2 — й а сопбппопз Гппсбоп. Р!веге!!х!п8 (8.8.1) !и йе пята! ччау, опе оЫа!пз !ог йе арргохппаге ча!иез то оГ и(х,, Ут), х; =! Лх, У, = У' ЛУ, евх:= а)(Р + 1), ЛУ:= Ь)(гГ + 1), 1Ье ег!па6опз — г,,, + 2то — г;„пу — геу, + 2 и — гау,, — — — '-+ — - '- —: — + ого = Го =Г(х;, у) Лх 2 Гог А = 1У(à — .Г). Са!чеп ап !пбех зес 6 аз еагИег, гЬе !псошр1есе СЬо1ез)гу Гасгопхаг!оп оГ а роз!т!че-т)ейп!те М шатпх А ргот)псез йе Гасгогв Гу апд Г. оГ а роя!Нег(ейп!те ша!Нх В = Г.ГУГ.г арртохипа6п8 А ассогг)!п8 Со йе Го!1омлп8 гп!ез (сГ. йе рго8гатп Гог гЬе СЬо!ез!су а18опйгп 8!чеп аг йе епт( оГ Бес!гоп 4.3): 8.8 ТЛе А!вот!тхет от Воаеатап Гот тЛе Бо1аиоа от тЛе Етттететтдеа Рогатое ЕцнатГоа 615 Гог! = 1, 2, ..., р, ! = 1, 2, ..., 9.
То8ейег тч$$Ь йе Ьоипт)агу ча!иев го ! — гат т ! — 0 Гог 1 = О, 1, ..., т$ + 1, ге о:=г;,,:=0 Гог т = О, 1, ..., р+ 1, опе йив оЪтатпв Гог йе ип$тпотчпв гд г, = (г,, гдт,, г,]г а Впеаг вувтетп оГ ет$иат$опв тчЬ)сЬ сап Ье тчпттеп тп йе Гопп !сГ. (8А.5)] (8.8.2а) Мг = Ь тч(ГЬ А ! ! А ! Ь, Ь (8.8.2Ь) М = ! ! А =ь„ Аг, + гд ! = 2, З, ..., ц — 1, (8.8.3) г, , + Аг; + гт + т —— Ь, г,, +Аг, =Ь,, Гготп йе йтее сопвесиВче ет$иат)опв гт,+Аг,,+ гт =Ь, =Ь, ! г,,+Аг +где, г, + Аг,е т + гт~д = Ьге „ тчЬеге ! = Г, Гв йе р х р ипЬ птатпх, А В а р х р Негпп!тап тпсВа8опа! птатпх, апт$ М сопвиив оГ 9 Ыос(т готчв апт$ со!итппв. !и йе!авт Гетч уеагв, вечега! чету ейесВче птетЬот(в Гог во1ч)п8 (8.8.2) Ьаче Ьееп ргоровет$ итЬ1сЬ аге вирепог ечеп то йе АР! тпейск1 (вее Бес!(оп 8.6).
А!! ГЬеве птетЬот$8 аге гет$истюп птетЬск$8: ехр!отттп8 ГЬе вреста1 в!гост иге оГ йе тпатпх М, опе гет$исев йе во!ит)оп оГ (8.82) гесигв(че!у со ГЬе во!итюп оГ вувтетпв оГ ет$иат(опв мтЬ(сЬ аге гбпп1аг!у втгистигет$, Ьит Ьаче оп!у Ьа! Гав тпапу ип)тпотчпв, апт$ ю йь итау виссевв)че!у Ьа!чев йе питпЬет оГ ип$тпотчпв. Весаиве оГ Ьв вппр!тсЬу тче т)евспЬе Ьеге оп!у опе оГ йе Гтгвт оГ йеве птетЬГЛ$8, йе а18опйтп оГ Випетпап (1969) !вее а!во ВигЬее, едо!иЪ, апт$ $ч$$е!воп (1970)]. р'ог ге!атет$ птетЬот$8 вее а!во Нос$тпеу (1969) апт1 БтчаггтгаиЬег (1977).
ТЬе Го11отч$п8 оЬвегчаВоп 18 еввептта! Гог йе гет$истюп тпейот$ оГ Випептап: 1п ГЬе вувтепт оГ етртаВопв (8.8.2), тчпттеп оит тп Ги!! ав 616 В Иегапче Меи)ода Гог (Пе Яо!пиоп ог Г.агае Бупегпе оГ Мпеаг Е()па()опа опе сап, Гог аП ечеп / = 2, 4, ..., е!ип)па(е йе чапаЫев г,, ап(Г г;,, Ьу виЬ(гас(!п8 А (Гтев ГЛе весоп(Г е(Гиа((оп Ггот йе яии оГ йе ойегв: гу д + (2à — А')г) + г„ч д = Ь;, — АЬ) + Ь),, гог (Г о(Ы, опе йив оЬ(а)пв йе ге((исе(Г вувгет (8.8.4) Ь! + Ьд — АЬд Ь, + Ь, — АЬ4 О гд Г Г' 2à — А' О Ьч-д + Ьч АЬч-1 1ог гд, г4„....
Опсе а во!тюп оГ (8.8.4) ().е., йе виЬчес(огв гд, п)1й ечеп Гп(д(сев) 15 $(поп)п, йе чесгогв г„гд, ... п)1(Ь о(Ы (и(Г(сев сап Ье (Ге(егт)пе(Г Ггоп) (Ье Го!!оп)(п8 е(рга(юпв, ч(Ь)сЬ !тте(Г(аге!у Го!1очг Ггот (8.8.3) Гог у=Г,З,...: А О гд г5 А (8.8.5) О А Ьч — гч 1и ГЫв чгау, йе во!иг(оп оГ (8.8.2) гв ге((исе(( (о йе во!иОои оГ йе вув(ет (884) (ч1(Ь Ьа! Г йе питЬег оГ ии((поп)пв ап(Г воьве(Гиеп( во!шюп оГ (885), ).Гочг (8.8.4) адат Ьав (Ье вагпе в(гаси!ге ав (8.8.2): М"'г"' = Ь"' п)1(Ь М"' = А(1), 2Г 41 г(1) 1 (11 д Ь(" 1 Ь(" д Ь, + Ьд — АЬд Ьд + Ь5 — АЬ4 г 4 гсо = Ьсо = г, (1) 41 Ь(" ч! Ь, 1+Ь,— АЬ, во йа( йе ге()ис(1оп ргосе((иге !иги ()евсг)Ье(Г сап а8а)п Ье арр11е(Г Го М"', егс.
1и цепега1, Гог (Г:= (Го:= 244 ' — 1, опе оЬ(а(пв 1и йив ччау а ве(Гиепсе оГ та(пеев Аги ап(Г чесгогв Ьо' ассог(Г(п8 Го (Ье Го!!о(ч)и8 ргевсг(р(1оп: 2à —,41 Г 2à — Ад Г ! А" ' Г О ! А"' ! Е О А'и ь! гд ь Ь вЂ” г — г 5 4 6 8.8 ТЛе А>аог>>Л>п оГ Вппе>пап Гог >Ле 8о!«Поп пГ !Ле Р>пеге>>ге>Г Роппоп Ецппооп 617 (8.8.6). ГтГГаГ>гаГГоа> Риг А>о>, А; Ь!и>, Ь Г = 1, 2, ... Чо до'=д = 2! 1 1. Рогг=0,1,2,...,(à — 1; Риг (1) Аи ":=2! — (А")2 (2) Ь'" ":= Ьи! + Ьи! — А "Ьи!, 2 2>' — 1 2>41 2> Г = 1, 2, ..., 2" ' — 1 =: Ц„>.
Ми+ "г'+ и = Ьи ог, !чг>!Ге« оп! ш Гп!1, Аи+" Г 0 Г А"" 0 ! Аи+" ип 1> 1 г'"" г,' Ь>'"" ! Ь! +1> 2 г 4 +1 Ь";" 4" > 118 по!пГюп гиг и !>пп>е>1!аГе1у Гпгп!8Ьеп йе 8ВЬчесГога «>!!Ь ечеп >п!!!се8 оГ йе 8о1п!юп гго оГ йе соггегроп!!>п8 пуп!его оГ е!1паГюп8 М"гга = Ь>о !п 8!аде г, гга 1 41> гг 1 гга ие>> 4 2 г!о и41> 4.— 1 4+> >чЬ!(е йе 8пЬчесГогп !ч>ГЬ осЫ !пе)!сеа оГ ги' сап Ье оЬГа>пег! Ьу го(ч!п8 йе ее!па!юп8 Ага 0 Ага 1 ги> з Ага г" 0 агап> ГЬе Г(аГа А"', Ь", ргоГ)псед Ъу (8.8.6), йе 8о!пГ>оп г:= г'и' оГ (8.8.2) 18 йпа йпа11у оЬГа>пег( Ьу йе Го!!о!ч!пц ргосе>!пге; (8.8.7).
(0) Гтг!а!Ггагюи: Оегегтте га' = г',"' Ьу ао!и!лд ГЬе ау!Гет о/'едиаг>от> Аа'га' = Ь>" = Ь"'. 1 (1) Рогг=)с — 1,Гà — 2,...,0: (а) Риг гг):= г," ", Г = 1, 2, ..., д„> = 2" ' — 1 (Ь) Рог Г = 1, 3, 5, ..., д, еотриге ГЬе чесгаг г>.' Ьу .!а!>дпд (2) Риг . >п> Рог еасЬ 8!а8е г + 1, г = О, 1, ..., 1! — 1, опе !Ьпа оЬГа>пг а ауп!еп> оП!пеаг еГ!Ва!!опп 618 в Петайче Мозолив Гог йе яо!наов оГ еагвч Зупепа оГ Г.йпеаг Еичвсюпв 1п йе Гопп (8.8.6), (8.8.7), 1Ье а!8ог!ГЬт ь вВ1! ипваГ!вГасвогу, ав Ь Ьав вегюив пигпепса! с$га~чЪасГгв.
1п ГЬе йгвг р!асс, йе ехрИсЬ сотриваГ!оп оГ А"" = 2/ — (Аго)' гп (8.8.6) (1) В чегу ехрепяче: ТЬе гг1йа8опа! тагг!х Аеи = А, ав г Гпсгеавев, чегу гГи!сГг!у гигпв тго а депве тагг!х (Аа' !в а Ъапг! тагг!х илгЬ Ьапй эЫгЬ 2' + 1), во йаЬ йгвг!у, йе согпригабоп оГ (А")', апд весопд!у, гЬе во!ийоп оГ гЬе вувгегпв оГ Ьпеаг егГиаг!опв Гп (8.8.7) (1Ь) чч!1Ь !псгеав!п8 г Ьесоте пюге апд тоге ехрепяче. 1п адй!!оп, Ь В еая1у зееп йаг йе та8п!гиде оГ ГЬе тавг!сев Агп 8гоив екропепВа11у: гог ГЬе пнх1е! ргоЫет (8.4.1), е.8., опе Ьав — 4 1 1 — 4 4 4еи 1 1 — 4 ((Ая'(! > 4, )!А")) ге !!А» ")(в > 4~ во 1Ьаг Гп йе согпригаВоп оГ Ь,'"' " !п (8.8.6) (2) опе Гпсигв виЬвгат1а! 1оввев оГ ассигасу Гог 1аг8ег чаГиев оГ г, в!псе, !п 8епега1, ()А"ЬЯ !) >) ))ЬЯ, )), !!ЬЯ, /!, апо гЬеге1оге йе !пГоппагюп сопгаГпег1 Гп ЬЯ „ЬЯ, „ччЬеп регГогпип8 йе асЫ!1!оп т (8.8.6) (2), 8евв !овГ.
ВогЬ гГгавЬасГгв сап Ье ачоИег( Ьу а ви!гайе геГоппи!агюп оГ йе а18ог1гЬт. ТЬе ехр!кЬ сотригаг!оп оГ А'"' ь ачокГег( гТ опе ехр1о!гв йе Гас! гЬаг Агп сап Ье гергевепгегГ ав а ргог!исг оГ спгВа8опа! тагг!сев: (8.8.8) ТЬеогепх Опе Бав, Гог а!! г > О, и Аа'= — П[ — (А+ 2 сов О'," Г)), в=! гчЬеге У;"':=(27 — 1)к/2" ' Гог7' = 1, 2, ..., 2'. Ркоок Ву (8.8.6) (1), опе Ьав, цчгЬ Аиа = А, Аа' " = 21 — (Агп)в, во йаГ йеге ехьт а ро!упопиа! Р,(Г) оГ де8гее 2' висЬ йаГ Агп = р„(А).
(8.8.9) ЕчЫепг!у, гЬе ро1упогпга1в Р, ваг!вГу Ро(г) = г р,+,(г) = 2 — (р,(г))~, во 1ЬаГ Р, Ьав ГЬе Гопп Р,(г) = — ( — г)'+ ". (8.8.10) 620 В Пега6че Ме!»оев Гог (пе Бо!п6оп оГ Гагае Яув(еп)в оГ Гапеаг Еппа6опв Ьу !пгго(?пс!п8 )п р!асс оГ йе Ь," ойег чесгогв ри', (?(Г), у = 1, 2, ..., (?„ п)Ь!сЬ аге ге1аге(1 Го ГЬе Ь,'о )п ГЬе ГоПо)ч!п8 )чау: (8 8Л3) Ь," = А"РЧ' + (?(Г), у = 1, 2, ..., (?„ ап(1 п)Ь!сЬ сап Ье остр»ге(1 т а пшпег!саПу тоге вгаЫе таппег ГЬап йе Ь,'-'.
Уесгогв р,", (?(Г) и)!ГЬ йеве ргорегПев аге 8епегаге(! гесигвп(е1у ав ГоПо(чв: (8.8.14). ?пГГГ»Ьгагуоп) Риг р(о':= О, (?)(~):= Ь, = Ь(о), у = 1, 2, ..., (?о. Рогг=0,1,...,У( — 1: Соп)риге?ог?'= 1,2, "„(?,г(: (1) Р(' ) '= Р21 (.4 ) [Р21- ! + Р21'+ ! (?21?' (2) (?Г+ '):= (?(2) 1 + (?2)(.1 — 2Р("+ ').
ЬуагигаПу, ГЬе со)при(аПоп о? р,'"" (п впЬвгер (1) ап)о»ига Го Пгвг (Гегег)п(тп8, ав )пвг (Гевсг!Ье(1 [вее (8.8.12)), йе во1пгюп и о? йе зув(е)п о? е(Гпаг!опв 4'»= Р2)-!+ Рву+1 — ~?2) » » » (.) и)!ГЬ ГЬе аИ о? йе Гасгог!га(!оп оГ А во !и ТЬеогет 8 8 8, ап(! йеп сот риПп8 р' +" !гот и Ьу гпеалв о? Р(ге 1) — Р» 1 ' 2) 1.ег ив ргоче Ьу !п(?исг!оп оп г ГЬас ГЬе чесгогв р(', (?(', (Гейпе(1 Ьу (8.8.14), ваПв?у йе ге!аПоп (8.8.13). гог г = О, (8.8.13) Гв Гг!ч!а1. %е авыипе тс!пегие!у ГЬаг (8.8.13) Ьо!(!в Ггие Гог зоп)е г > О. Веса»во оГ (8.8.6) (2) ап(? Аи( и = 2? — (Аи')', п)е ГЬеп Ьаче '4 [Р2)е1 + Р21 — 1 (?2)1 + Ао+'~р21+ (?2)-1+ (?2)г) — 2Ргу А(""р(2)) + (А") '[[2? — Аи ")[Р2)г! + Р2',-1 — (?23 + (?21-1 + (?22+1 — 2Р21 (г) (г) » .4'" п[Р21 — ( 4") '[Рву' - ! + Р21 + 1 (?21)) + 42) ! + (?21.(! 2Р( »» (."1) А("')Р" 1)+(?( ) ~у 8.8 7Ъе А(воптт оГ Воле!пап Гог Ше яо!ппоп оГ П>е Раегег)аеа Ро(а!оп Ецпа(поп 621 Ву (8.8.13) (ие сап пою ехргевв ГЬе ()ес(огв Ь," )п (8.8.7) >п (еппв оГ(Ье р(/', с/о) ап(1 оЬ(а!п, !ог ехал>р1е, Ггоп! (8.8.7) (1Ь) Гог г/(Г) ГЬе вув(егп оГес!иаВопв А'>г(Г) = А')р" + 8(Г) — г") — ге) г/ / — ! /е! вЫсЬ сап Ье во!че(! ав ГоПосев: ГЗе(егш)пе (Ье во1и(>оп и оГ А')и = й(г> — г(') — г(г) 'г/ / — ! /е! (опе ивев Ьеге а8а)п йе Гас(ог!га(!оп оГ ТЬеогегп (8.8.8)! ап(Г ри( г(Г):=и+ р".