Termeh (523129), страница 78
Текст из файла (страница 78)
Если положение равновесия устойчивое, то в силу (19.97) 2 г Л(0)=с„с22-с12 >О. Если в =и, =с„/а„,то 628 Следовательно, решение (19.98) будет иметь смысл не при любых значениях в, а только при тех, которые удовлетворяют условию (19.100). Раскрывая (19.100), получим (сп -в'ап)(с22 -в'а2,) — (сгз -в'ап)' =О, (19.101) 2 — — а2! <О, С1, 12 а11 Л(л1 ) = — сп 2 2 если оз =л2' =с22/а22,то Л(Л2) = С12 2 2 с — — а' <О. Гз ио Наконец, в силу того, что ана„- а12 > О, при оэ -э 2 2 Л(оэ') -+ График функции Л(оэ ) в предположении, что л, < л,, представлен на рис.
19.31. 11(е1~) Рае. 19З1 629 Найденные из (19.100) — (19.102) значения оз называют собственными частотами калебаиий системы. Собственные частоты системы нумеруют в порядке возрастания, они не зависят от начальных условий и полностью определяются параметрами колебательной системы (квазиупругими и обобщенными инерционными коэффициентами). Из рассмотренного следует: 1) если положение равновесия устойчивое, то оба корня частотного уравнения положительные; 2) первая собственная частота системы всегда меньше меньшей парциальной частоты, а вторая — больше большей. Отметим, что для колебательных систем с упругой связью (агг — — 0) Л(л,') =Ь(л,). В этом случае график функции Ь(ю'), представляющий собой параболу, оказывается.
симметричным относительно вертикали, проходящей через точку ог' =0,5(л1 + лг), и справедливо равенство (19.103) Запишем два частных независимых решения, соответствующих частотам ог, и огг, в виде йц — — Ац яп(ог,г+ а,); Чгг = Агг зш(оггг+ гх1)' (19.104) 9„= А„яп(оггг+ аг); д = Агг яп(оггг+ аг), где второй индекс соответствует номеру частоты, или номеру «гона колебаний. Отметим, что константы Ац, А„ и Ап, Аг, не являются не- зависимыми. Действительно, подставив решения в уравнения движения, мы получим вырожденную систему (19.99), у которой одно уравнение будет иметь коэффициенты, пропорциональные коэффициентам другого уравнения. Так, для частоты ог, имеем г г (сц — ог, ац)Ац + (сгг — ог, ага)А„= 0; г (си — ю,а,г)Ац +(сгг — ю,агг)Аг, =О, откуда (19.105) Аг, =Чг|Ац, г г сц — ог, ац с,г — ог, а,г где г) г1 г г с1 — ог,а„с, — а,агг Аналогично и~~у~ее~ для огг: (19.106) Агг =т)ггА,г, 630 2 Сн Огип Са — Оэиа где пае†с!2 О2Й12 С22 Ози22 С учетом (19.105) и (19.106) частные решения (19.104) будут иметь Вид дн = Ап Яп(О,г+ а, ); 9„=~1мАп в(п(О,г+а,); да — — А„в(п(О,г+ а,); 9 =ЧяАа яп(О,г+а,).
Эти решения называют главными колебаниями. Они пред- ставляют собой гармонические колебания с частотами О, и О, соответственно. Коэффициенты Ч„, Чм называют коэффициен- тами распределения амплитуд. Они характеризуют соотношение между амплитудами в главных колебаниях, или формы гливных колебаний. Коэффициенты распределения амплитуд, а следова- тельно, и формы главных колебаний, как и собственные частоты, определяются параметрами самой колебательной системы, т.е.
обобщенными инерционными и квазиупругими коэффициентами, н не зависят от начальных условий. Поэтому формы колебаний называют так же, как и частоты, собственными формами колеба- ний при колебаниях по соответствующему тону. В выбранной нами структуре частных решений содержатся пока не определенные произвольные постоянные А„и Аа, по- этому для получения общего решения достаточно частные реше- ния сложить: Ч1 =Ч11+йа =А„яп(О,в+а,)+Аа в)п(О,г+аэ); (19.107) Ч, =Ч„+Чж =ЧмАн з1п(Щг+а,)+Ч„Аа в(п(О,~+а,).
Общее решение содержит четыре неопределенные величины А„, А„, а, и а,. Воспользуемся начальными условиями (19.96). Подставляя (19.107) в (19.96), получаем систему дю - — А„яп а, + Аа в)п аз; дэв =ЧмАн в(па, +Ч„Аа з(па,; 9Π— — О, Ао'соз а, + О,Аа сова,; 9эв =Ч„О,Ан сова, +Ц„О,Аасозаз, б31 из которой определяем Ап, Ако а., и а,. Отметим, что при произвольных начальных условиях обе константы Ап и Ап получаются отличными от нуля. Это означает, что изменение во времени каждой обобщенной координаты будет представлять собой сумму гармонических колебаний с частотами оэ, и оэ„а такая сумма представляет собой не только не гармонический, но и в общем случае не периодический процесс.
Для того чтобы процесс был одночастотным и гармоническим, необходимо специальным образом подобрать начальные условия. Начальные отклонения и скорости должны быть связаны между собой через один из коэффициентов распределения амплитуд. Например, если выполнить условия д„=Ч„д„, дм = з)„9ю, то в соответствии с (19.107) константа А„= О, и в системе возникнут одночастотные гармонические колебания с частотой го,. Для этого достаточно, чтобы только начальные отклонения были связаны одним из коэффициентов распределения амплитуд, а начальные скорости равнялись нулю, или наоборот. Возможен и другой подход — найти новые обобщенные координаты О, н 62, называемые нормальньиии, или главнвиии, для которых при любых начальных условиях движение будет одночастотным и гармоническим.
Анализируя решение (19.107), убеждаемся, что исходные и нормальные координаты должны быть связаны соотношениями 9,=0,+Е,; Чг =ЧгА +Чгзйз ° (19.108) 6зг Можно показать, что переход от исходных координат к нормальным приводит квадратичные формы кинетической и потенциальной энергий к каноническим. Подставим ~у, и дз, выраженные согласно (19.108) через О, и 0, в квадратичные формы кинетической и потенциальной энергий системы с двумя степенями свободы (19.91): 1 Т= — [(ац +2а12Ч21 +аггЧ2!)6 +2[а! +а!2(Чп +Ч )+ 2 '2 г + аггЧгЛгг]0!Ог + (ац + 2апт)22 + аггЧгг)07 ] ~ 1 П= — [(сц + 2с„Ч„+с„Ч2,)О, + 2[си +с!2(Ч„+т1„)+ 2 2 г + сггт)2Л22 ]0,6, + (сц + 2сьгт)22 + сггт)22)02 ], и покажем, что коэффициенты а! -— ац +ацг(Ч2, +Ч )+ +а»ЧгЛ22 " с12 = с!1+ бег(Чг!+Чгг)+сггЧгЛгг входлпгне в вы ражения для кинетической и потенциальной энергий, равны нулю.
Из выражения (19.105) для коэффициента распределения амплитуд Чп имеем 2 ет! (аггЧ2, +ац) =сц+с!2Ч21; г ог! (аггЧм + агг) = сьг + сггЧм. Умножив второе равенство (19.109) на т)22 и сложив с первым, находим (19.111) 2 ог1 [ац + а!2 (Чг! + Чгг) + '222Ч2!Ч22] = С1! + Сгг (т\2! + Чгг) + С22Чг!Чгг. Точно таким же путем из выражения для коэффициента Чгг получаем, что г егг [ац + а12 (Ч21 + Ч 22 ) + !222Ч21Ч 22 ] = Сц + С!2 (Ч21 + Чгг)+ С72Ч2!Ч22 ' Вычтем (19.110) из (19.111): 2 2 7 2 (огг ог!)[ам+а!2(Ч21+Чгг)+аггЧ2!Чгг]=(огг от!)а!г =О.
Так как огг мог,, то а',2 =О. Тогда из выражения (19.110) или (19.111) следует, что с,'2 = О, а значит, квадратичные формы кинетической и потенциальной энергий будут каноническими: Т = — (а,62 + а262); П= — (с,02 + с2622), (19.112) 2 г. где а, =ам + 2а!2Ч2! + аггЧп' аг =ац + 2а!2Ч22 +аггЧгг', с, = г = си + 2с!2Ч2! +сггЧ2,; сг =си + 2с 2Чгг + сггЧ22. 40 бак. !б 633 Подставив выражения (19.112) для Т и П в уравнения Ла- гранжа второго рода, получим уравнения малых колебаний сис- темы в нормальных координатах а,О, +с,О, =0; а,О, +с,О, =О, 2, причем с,/а,то),; с /а то) .
Выразив с помощью (19.108) О, и О, через д, и 92: % Ч229в . Ч219в 92 в,=: в,= Чгв Чгг Чы Чгг можно из начапьных условий для д, и д получить начальные условия для нормальных координат. Нормальные координаты находят широкое применение при решении задач о вынужденных колебаниях при произвольном возмущении, при наличии или отсутствии вязкого сопротивления, а также при решении задач о свободном движении в неконсервативных системах.
Пример 19.11. Два одинаковых математических маатника длиной 1 и массой т соединены между собой пружиной, имеющей жесткость с (см. рис. 19.27). При вертикальном положении маятников пружина не деформирована В начальный момент времени левый маатник отклонен на угол В и маятники отпущены без начальной скорости. Исследовать движение системы.
Ретеиие Дифференциавьные уравнения малых колебаний системы были получены в примере 19.8 (см. (19.93)). Дифференциальные уравнения парциальных систем имеют вид т(гф+ (т81+ с(2)вр = О т1~((в+(т81+с1~)вр=о. В силу симметрии задачи (маятники одинаковые) парциальиые частоты совпадают; т81+ с1 я с Л, =Лг= = — + —.
12 1 т Зададим решение в виде (19.98) ф= А, в!п(он+а); ву = А, з1п(озг+а) и, подставив его в уравнения движения, получим алгебраическую систему относительно А, и А,: (Фв81+с1~ -т(~ю~)А, -с12А2 =О; -с12А, е(т81+с1~ -т(гюз)А =О. Частотное уравнение имеет вид бзя (т 1+с(г т!гюг)г (с(г)г (ия! -т1гюг)(те(+ 2с12 -т(~а~) = О, Отсюда г тФ М г тд+2с! Л с о\1 = — — — — ', юг-- г +2 12 и12 ! и Отметим справедливость утверждения (19.103): л, -в1 =го -лг =с/т. Два частных решения (главные колебания) имеют вид 1Р, = А„вш(ю,г+а,);1Р, = А12 в!п(юг!+аз); гуг = Аг, в)п(ю г+ а, ); гуг = А„в!п(го г+ а, ) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
