Termeh (523129), страница 74
Текст из файла (страница 74)
19.18 Подставив числовые значения, получим х = -е~ "'(О 015соз!! 991, + 0 037з!п!199сз)+ 0 037з!п(8гз -0 1) . Процесс перехода от установившихся вынужденных колебаниИ с амплитудой 0 к установившимся вынужденным колебаниям с амплитудой 1,5 В представлен на рис. !9.!8, б. Продолжительность переходного процесса на втором интервале движения составляет примерно 7 с.
Используя, как и на первом интервале, только частное решение, получим параметры в конце второго интервала являющиеся начальными условиями для третьего интервала движения: гз = 200 с; х(200) =1,51)з)п(рг — у) = -0 0275 и; х(200) = 1,51)рсоа(рг — у) = -0,2015 м/с. Ни клремьем интервале (продолжительность более 400 с) решение при отсутствии возмушаошей силы можно записать в виде уравнения затухаюших колебаний х=в '(Сцсозю 1, +С„з(пег,), где гз = г -400 с . Определив произвольные постоянные Сц и См из начальных условий дая этого интервала по формулам (19.35): Сдз = -0,0275 м; Сц = -0,018 м, получим следующее решение: х = -вала(00275соз!199гз + 0 018з!п!1991,) . Процесс перехода от установившихся вынужденных колебаний с амплитудой 1,511 к состоянию покоя представлен на рис.
19.18, в. Его продолжительность составляет примерно б с. Вынуисденные колебании в случае нериодической возмущающей силы Часто в технических задачах возмущающая сила является периодической, но негармонической. Примеры такой силы приведены на рис. 19.19. й(г) 0(г) Рис. 19Л9 601 38 Зве !б Дифференциальное уравнение движения механической сис- темы в этом случае может быть представлено в виде ау+ Ьф+ сд = Д(т), где Я(т) = Я~+ Тв); Тв — период возмущающей сильь Ограничимся случаями силового и кинематического возбуж- дений.
Пусть функция Ят) удовлетворяет условиям Дирихле, т. е. она ограничена, имеет разрывы первого рода и конечное число экстремумов на конечном интервале. Тогда Д(т) можно разложить в ряд Фурье: Ят) = Я, + ,'),(а„соз прт+ Ь„зш прт), (19.57) (19.56) ао 1 т, где Я, === ) Д(т)Ж; Тв о 2 В а„= — ) Ят) соя прто(т; Ь„= в о 2 го = — )'Ят)з(ппрЫ (п =1,2, Тв о Тригонометрический ряд плитудной форме (19.57) можно представить в ам- (19.58) где Д„ =,~а~ + Ь~; р„ =пр; 13„ =атс18(а„(Ь„) . Отдельные члены этого ряда называют гармониками; значениям п=1,2,3...
соответствуют гармоники первого, второю, третьего н т.д. порядков. Подставив (19.58) в (19.56) и разделив каждый член полученного выражения на а, получим дифференциальное уравнение в канонической форме: Ч + 2а9 + тот 9 = Д + Х ~„зш(р„т+ 0„) . а! Решение этого уравнения, как и в случае гармонической возмущающей силы, можно представить в виде суммы общего решения однородного уравнения, характеризующего свободное движение, и частного решения неоднородного уравнения, характеризующего установившиеся вынужденные колебания. В силу линейности дифференциального уравнения частное решение будет представлять сумму пя С <> Ччн =Чч,н +,~.,Ячн н! где д~'„~ = Я>/с — смещение центра установившихся колебаний от положения равновесия при До ~ О; д~"„~ =)З„з)п(р„г+13„— Т„); 2.1„, т„— амплитуда и сдвиг фазы и-й гармоники установившихся вынужденных колебаний, определяемые по формулам (19.51), (19.52) после замены в них р на р„.
В силу кратности частот установившиеся вынужденные колебания будут периодическими с периодом Тв, однако закон изменения дчн во времени не будет соответствовать закону изменения вынуждающей силы. Здесь действуют следующие закономерности. С одной стороны, последовательность амплитуд Д„представляет собой дискретный линейчатый спектр с тенденцией уменьшения Д„с ростом л.
В зависимости от закона изменения Д(~) ряд Фурье может сходиться достаточно быстро как, например, для силы, предо'гавленной на рис. 19.19, а, так и относительно медленно (в случае импульсной нагрузки, приведенной на рис. 19.19, в). Сама механическая система при зтом ведет себя как фильтр: пропускает практически без искажения гармоники с частотами, много меньшими собственной частоты ш, усиливает гармоники с частотами, близкими к резонансной, и не пропускает гармоники с частотами, много большими ш.
Из-за зтого возникают амплитудные искажения . Последнее обстоятельство, кстати, всегда позволяет ограничиться конечным числом гармоник ц,. С другой стороны, при наличии вязкого сопротивления у гармоник оказываются различными фазовые сдвиги, что при суммировании приводит к возникноввнию фазовых искажений. Таким образом, при выборе л, возможны две ситуации: б03 1) р=2п/Та <в. В этом случае какое-либо значение р„ может оказаться близким к в (резонансный режим) и из-за возрастания Х„доля этой гармоники в частном решении будет значительно больше остальных, поэтому ио должно быть больше и, соответствующего резонансному режиму. 2) р = 2к~Тв > в. В этом случае резонанс невозможен, коэффициенты динамичности монотонно убывают с увеличением и и можно ограничиться достаточно малым ир. Вынужденные колебания в случае ироизвольной возмущающей силы При отсутствии вязкого сопротивления (в=О) дифференциальное уравнение вынужденных колебаний имеет вид 9+ в~9 = — Яг). (19.59) а В соответствии с методом вариации произвольных постоян- ных представим решение (19.59) в виде у=С,(г)созвг+С (г)япв~, где С,(г), С,(г) — искомые функции времени.
Дифференцируя по времени, получаем д = С,(г)созвг+ С,(г) зт вг — С, (г)взт вг+ С,(г)всозвг. ТаК как неизвестные функции две — С,(г) и С,(г), то в соответ- С,(г)созвг+ С,(г)япвг=О. Тогда д =-С,(г)вяпвг+С,(г)всозвг. Продифференцировав 9 по времени: (19.61) (19.б2) стени с методом вариации произвольных постоянных их можно связать дополнительным условием, потребовав, чтобы выражение для 9 имело тот же вид, что и при постоянных С, и С, т. е. приняв ф = — С,(г)вял аг+С,(г)всозаг— (19.63) — а~[С,(г)созвг+ С,(г)япаг1 и подставив (19.60) и (19.63) в (19.59), получим 1 — С, (г) яп аг+ С, (г) соя аг = — Щг).
(19.64) ав Уравнения (19.61) и (19.64) представляют собой неоднородную алгебраическую систему относительно С, (г) и С,(г), не- вырожденную при любых значениях в, поскольку определитель системы А=соя'аг+з1п~аг=1. Решая систему по способу Крамера, находим 1, 1 С,(г) =- — Д(г)зшаб С,(г) = — Д(г)созаг. иа ав Откуда следует ! С,(г) = Н, — — ~Щт)ипатам; (19.65) С,(г) = Н, + — ~фт)созаЫг, аао где т — текущее время от 0 до 0 Н,, Н вЂ” произвольные постоянные, равные значениям С, и С при ~=0 и определяемые из начальных условий (! 9.29). В соответствии с вырвкениями (19.60) и (19.62) Н = 90' Нз = Чоlа.
Подставив с учетом начальных условий (19.65) в (19.60), получим 9 = д, сов аг+ — яп аг+ Чо г + — япаг~Д(т)созвЫт — созаг)Д(т)япви1т . аа 0 0 Множители яп а! и созвг, стоящие перед интегралами и независящие от переменной интегрирования т, можно внести под знаки интегралов. Тогда 605 й=й соввг+ — япвг+ Фо в / + — ~Ят)(япвг соват — соваг в)пат)Ж= аа Чо = до соваг+ — яп аг+ — ~Ят) япа(г — т)ат. М ав, Если сила Д(г) начинает действовать на покоящуюся систему (до =О, до = 0), то решение имеет вид ! д = — ~Ят) я и в(г — т)г1т .
ав „ Слагаемое 9о соваг+ — в1паг описывает свободные колебания, Чо в возникающие в результате начального возмущения. При наличии вязкого сопротивления дифференциальное уравнение движения будет следующим: д + 2в9+ в д = — Яг) . 1 (19.66) а Ограничимся важным для инженерной практики случаем ма- лого вязкого сопротивления (в < а). Сделаем замену переменных: д=е "у; (19.67) д= — ее "у+е "у; д=в'е "у — 2ве "у+е ~у, где у — новая переменная. После подстановки д, д, 9 в (19.66) имеем г о -о е "у+(а' — в')е ~у= — Яг).
а Разделив на е ~ и учитывая, что а — в =а,, находим 2 у + в, у = — Д(г)е" . а Решение полученного уравнения аналогично решению урав- нения (19.59) с заменой а на а, и Щг) на Яг)е": 606 у = Н, сова!г+ Н, яп а!г+ — ~Ят)е" яп а! (г — т)Ж. ав! 0 Умножая в соответствии с (19.б7) на е ~ и внося е" под знак интеграла, получаем ! 9 = е~ (Н! сова!г+ Н0 з1п в!г)+ — ~Я(т)е " ' япа!(г — т)а!т, ав! где Н,, Н вЂ” произвольные постоянные, определяемые из начальныхусловий (19.29), Н, = 90,' Н, =(90 + е90)/а! . Слагаемое ЧО+ ЧО е "(90 сова,г+ япа!Ф) а! описывает свободные затухающие колебания, возникающие в результате начального возмущения, а ! д = — ~Д(т)е " 'япа!(г — т)а!т аа! 0 есть решение в случае, когда движение начинается при нулевых начальных условиях или при произвольных начальных условиях, но по истечении времени, равного Зте.
19.5. Основы теории регистрирующих приборов Рассмотрим принципы работы некоторых приборов, предназначенных для регистрации переменных во времени физических величин. Ограничимся случаем, когда измеряемая величина является периодической (и, следовательно, может быть представлена в виде суммы гармоник) либо, в частном случае, гармонической. Практически все приборы в качестве одного из основных элементов имеют пружину того или иного типа, деформация которой, порождаемая воздействием измеряемой величины (непосредственно или через систему датчик — усилитель — преобразователь), и определяет показания прибора.
607 Рис. 19.20 Простейшая схема прибора представлена на рис. !9.20, где 7— сила, определяемая измеряемой величиной х; у — показания прибора, пропорциональные деформации пружины под действием силы Р . Показания прибора есть у = Я(х) . Основным требованием, предъяв- ляемым к прибору, является соответствие его показаний измеряемой функции. В идеале должно выполняться условие у(1) = Кх(1), где К вЂ” постоянная величина.
Отметим, что получить такой результат практически невозможно, если не ввести ограничений на измеряемые процессы и не подобрать для них прибор. Действительно, каждый прибор дает искажения, и сделать эти искажения минимальными можно только для определенного по частотным характеристикам процесса. Остановимся на приборах двух типов: квазистатических и сейсмических. Квпзистатическими называют такие приборы, принцип измерения переменных величин у которых тот же, что и при измерении постоянных (статических) величин. Идеальным прибором такого типа была бы пружина со стрелкой без массы, представленная на рис.
19.20. Однако в действительности и стрелка, и некоторые другие части приборов обладают массой и движутся при измерении физических величин, поэтому нельзя пренебрегать как инерцией подвижных частей, так и возникаюшим при движении вязким сопротивлением. То есть необходимо рассматривать прибор как некоторую колебательную систему с одной степенью свободы, подверженную силовому воздействию измеряемой величины. Одним из самых распространенных квазистатических приборов является ииейфовый осциллограф, предназначенный для оптической записи колебаний тока, в который преобразуется измеряемая величина.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
