Termeh (523129), страница 72
Текст из файла (страница 72)
е. гйп(РГ+ 13) . Хо в — р Если р < в, то установившиеся вынужденные колебания будут совпадать по фазе с возмущающей силой, если же р > в, то вынужденные колебания будут находиться в противофазе (сдвинуты по фазе на к ) по отношению к возмущающей силе. Введем амплазлуду Р вынужденных колебаний: Р=)О)= (19.4б) !"'- 'Г Тогда установившиеся вынужденные колебания можно представить в виде а = Рз(п(рг+ 15 — т), (19.47) где 7 — сдвиг па фазе вынужденных колебаний от колебаний возмущающей силы, Оприр<в; у= лприр>в. Разделим числитель и знаменатель (19.46) на в'.
Принимая во внимание, что Д,/в' =Д,/с=Р„(где Р— статическое смещение системы от положения равновесия под действием постоянной силы, совпадающей по величине с амплитудой Я,), по- лучаем Р=Р 1 г~' 587 где я = р(в — коэффициент расстройки, или относительная частота вынужденных колебаний. В у 1 2.= ~1-г~ ) называют коэффициентом динамичности.
Коэффициент динамичности показывает, во сколько раз амплитуда вынужденных колебаний при гармоническом воздействии больше статического смещения. 2. Резонанс. В случае совпадения частоты возмущающей силы с частотой свободных колебаний (собственной частотой) возникаег явление резонанса. При отсутствии сил вязкого сопротивления в случае резонанса амплитуда вынужденных колебаний, нарастая во времени, стремится к бесконечности. Это объясняется тем, что, если колебания происходят с собственной частотой, то инерционные силы уравновешиваются квазиупругими (ар' =с) при любых амплитудах колебаний.
Возмущающая сила оказывается при этом неуравновешенной и увеличивает амплитуду колебаний. Будем искать частное решение уравнения (19.41) при р = в в виде д„, = Огсоз(рг+ Д) . Определив 9„, = — 20рзш(рг+ ~3) — Юр' соз(рг+ ~3) и подставив его вместе с д, „в (19.41), получим — 2Орзш(рг+ ~3) =~' з1п(рг+ ~3). Отсюда О= — г" /2р и, следовательно, д, =- — соз(рг+ 13) = — зш(рг+ 13- — ) . (19.48) Х,г Лг . Я 2р 2р 2 Анализируя решение (19.48), можно сделать вывод, что, с одной стороны, вынужденные колебания при резонансе смещены по фазе от возмущающей силы на к/2 . С другой стороны, можно замеппь, что вынужденные колебания при резонансе происходят с нарастающей пропорционально времени амплитудой.
Зависимость д, „(г) представлена на рнс. 19.13. Рис. 19.13 Отметим, однако, что в реальной колебательной системе, вопервых, всегда имеется сопротивление, во-вторых, при достижении больших амплитуд колебаний нарушается допущение о их малости н становятся существеннь1ми нелинейные восстанавливающие силы. Все это приводит к тому, что амплитуда колебаний при резонансе в реальной колебательной системе хотя и может достигать больших значений, но не является неограниченно возрастающей. Резонанс, сопровождающийся нарастанием амплитуды колебаний пусть до конечных, но больших значений, может сппь причиной разрушения конструкции или возникновения опасных напряжений, сокращающих срок ее службы. Поэтому при проектировании машиностроительных конструкций надо, по возможности, избегать резонанса.
Инерционное возбуждение колебаний В случае инерционного возбуждения колебаний А =Хор ~ 589 где 7, =Я,/ар, и измеряется в тех же единицах, что и обобщенная координата. Тогда амплитуду Ю вынужденных колебаний (см. (19.46)) можно представить в виде 7ор - г 2 2 , =Ус, =Хо2.. ~е5' — р ( ~1 — г ~ где Х„„— коэффициент динамичности ири инерционном воз- буждении колебаний, 1 2 3 в 1 2 3 б Рвс. 19.14 590 )1-г~ ) Коэффициент динамичности Х показывает, во сколько раз амплитуда колебаний при инерционном возбуждении с конечной частотой р отличается от амплитуды вынужденных колебаний при бесконечно большой частоте р — «сс ( г -+ сс ). Зависимости коэффициентов динамичности Х и Х и сдвига по фазе у ст коэффициента расстройки г представлены на рнс. 19.14.
Коэффициенты динамичности Х и Х„„имеют разрывы при г=1, что соответствует резонансу. При г=О 1=1, что соответствует статическому воздействию на систему, а Х =О, поскольку при нулевой частоте отсутствует инерционное возбуждение. При г -+ со, Х -+ О, а Х„„— «1. Сдвиг по фазе у не зависит от способа возбуждения. Вынужденные колебания нри наличии вязкого сонротивленил При гармоническом возбуждении, согласно (19.25), дифференциальное уравнение движения имеет вид а9+ Ь9+ сд = Я, яп(рг+ 13), нли д+ 2е9 + а'д = Д, яп(рг + ~3) . (19.49) Силовое и кинематическое возбуждения колебаний Решение (19.49) будем искать в виде суммы (19.42) общего решения однородного уравнения д+2а9+а 9=0 и частного 2 решения неоднородного.
В 9 19.3 было показано, что общее решение однородного уравнения может быть представлено в зависимости от соотноше- ния между е и а водной изтрехформ: д„=е "(С, соза11+С, япа1г) при в<а; д„=е "(С, +С,г) при е=а; (19.50) д„=е "(С,е +Сзе ) при е>а. Для определения частного решения уравнения (19.49) вос- пользуемся методом комплексных амплитуд.
Известно, что 1ое" и" ' = Хо соз(рг+ Р)+ фо я1п(ре+ ~3), (где 1 — мнимая единица) и, следовательно, ~о з1п(рг + 13) = 1ш уоед"'а1 . Поэтому можно ввести вспомогательное уравнение у+ 2еу+ а'у = ~,ен'"'а1, найти его частное решение у„„, а затем, воспользовавшись линейностью вспомогательного уравнения, для которого справедлив принцип суперпозиции, получить 9„„как 1п1у,„. задав у„„в виде у„„= Сед~'91, где Π— комплексная ам- плнтуда, получим 591 (а' — р' + 2а1р)0 = А, откуда Уо Уо (а' — р'+2яр) 0 е" Здесь ; у =агсгй, .
(19.51) 2ар а' -р Тогда б = Ое "; у„„=.0е'~~'~ ~~, где 0= (19.52) Отсюда д„„= 1ту„„=.0з(п(рт+ 13-у). (19.53) Общее решение (19.49) будет иметь вид у=е "(С, сова,г+С, з(па,г)+0яп(рг+13 — у) при е<а; д=е "(С, +С,г)+0яп(рг+13 — у) при а=а; (19.54) д=е "(С,е" +С,е и)+0яп(р1+13 — у) при с>а, где С, и С, — константы, определяемые из начальных условий (19.29) с использованием полного решения (19.54). Структура общего решения (19.50) однородного уравнения такова, что при любых отличных от нуля значениях а с течением времени из-за наличия множителя е " оно стремится к нулю, и в решении (19.54) остается только частное решение. В этом случае говорят об усишновившихел вынужденных колебаниях. На основании решения (19.53) можно сформулировать основные свойства установившихся вынужденных колебаний: 1) это незатухающие колебания; они длятся так долго, как долго действует возмущающая сила; 2) эти колебания не зависят от начальных условий; 3) при гармоническом возбуждении они происходят с частотой возмущающей силы; 592 4) эти колебания отстают по фазе от возмущающей силы на величину у, изменяющуюся, как будет показано ниже, от О до я.
Амплитуда Ю установившихся вынужденных колебаний и сдвиг по фазе у зависят в силу (19.51) и (19.52) от соотношения между частотами р и в и от коэффициента затухания е. Проанализируем эти зависимости, называемые амилитудночастотной и фазочастонтойхарактеристиками. Для большей общности результатов перейдем к безразмерным параметрам. .Безразмерным коэффициентом затухании а называют от- ношение а' = 2а/в. Если в «в и, следовательно, Т, и Т, то безразмерный коэффициент затухания можно связать с логарифмическим декрементом колебаний: 2еТ,Т 2аТ,Т ЬТ Ь а — — — — — — — в вТТ, 2яТ, яТ, я Добротностью Д называют величину, обратную а': Д=1/а =в/2а.
Очевидно, что при малом затухании добротность, как и безразмерный коэффициент затухания, может быль выражена через логарифмический декремент колебаний: Д = л/Ь . Разделив числитель и знаменатель амплитуды (19.52) на в', получим 1)=Ю„Х. Здесь 13 =Я,/с, а 1 Х= ,6:*'7. Р'.* (19.55) 593 393ш, в — коэффициент динамичности при наличии вязкого сопротивления. Исследуем зависимость коэффициента динамичности Х от я и И, представляюшую собой амплитудно-частотную характеристику системы в безразмерном виде: при я=О 1=1; при е-+!о Л-+О; при г = 1 Л = 1/Ы = Д .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
