Termeh (523129), страница 69
Текст из файла (страница 69)
(,19.! 5) Разложим потенциальную энергию в степенной ряд в окрестности положения равновесия: ® ( ) 9 2 9 3 Первый член в разложении П(9) равен нулю согласно (19.15); второй также равен нулю, поскольку в положении равновесия потенциальная энергия имеет экстремум; четвертый и последующие члены отбрасываем, так как в силу предположения о малости колебаний потенциальная энергия должна содержать члены не выше второго порядка малости. Тогда 5б4 ' 77( ) 2 1' З'ПЪ Обозначим —, через с и назовем его каазиунругим ко~д г! П(а) = — са (19.16) 2 Достаточным условием устойчивости положения равновесия, в соответствии с изложенными выше теоремами Лагранжа и Кельвина, является наличие в положении равновесия локального минимума потенциальной энергии.
Для минимума функции необходимо равенство нулю первой производной и положительность второй. Тогда условие с>0 (19,17) является достаточным условием устойчивости положения равновесия колебательной системы с одной степенью свободы. Составляющая обобщенной силы от диссипативных снл (19.9) равна " — „дг„ 0л =,)'.Р'" — "=-Х Учитывая тождество Лагранжа, д-.
и ЬР— =-~ Ьг— вытекающее из (19.10): дг„ д9 получаем н . дг„д ийг~ д нЬР д мй~ч~~ а =-ХЬ.'. — "= —.Х " = — Х ' ' = — Х ' " д9 дд„, 2 д9„, 2 д9„, 2 Введем функцию, называемую диссинативной функцией Рзлен Ф= — ) ЬЯ =-"~ Ь и, 2„, 2еи (19.18) 565 зффициентом. Единица измерения с определяется единицей измерения обобщенной координаты: если д в м, то с в Н/м, если д в рад, то с в Н. м .
Окончательно имеем тогда Ф=-Ьд'. (19.20) 2 Диссипативная функция Рэлея по своему определению (см. (19.18)) не может быть отрицательной, однако в частном случае консервативной системы она может равняться нулю при ненулевой скорости обобщенной координаты. Поэтому обобщенный диссипативный коэффициент может быть большим или равным нулю (Ь > О). Для выяснения механического смысла диссипативной функции Рэлея рассмотрим теорему об изменении кинетической энергии для колебательной системы, на которую воздействуют только потенциальные н диссипативные силы: " 'И " 'Ь~л — =Х вЂ” Х— Ж,, »В „., »В (19.21) Здесь 0 =-— дФ (19.19) д9 Подставим в диссипативную функцию Рэлея (19.18) выражение для скорости (19.10): 1" г 1 дг,, 1 Ф=-ЯЬ»Р» = — ~Ь» — 9 = — В(д)д 2», 2ьи ~д9! 2 С коэффициентом В(д) поступим так же, как с коэффициентом А(д) в выражении кинетической энергии, т. е.
разложим его в степенной ряд в окрестности положения равновесия (д = О), а затем учтем только первый член, поскольку диссипативная функция Рэлея уже содержит в себе величину второго порядка малости д . Обозначим В(0) через Ь. Коэффициент Ь называют обобщенным диссипативным коэффициентом. Единица измерения Ь, как и коэффициентов а и с, определяется единицей измерения обобщенной координаты: если д в м, то Ь в Н с/м, если д в рад, тоЬвН с м. Окончательно получаем 566 И йц аП йц дП с(г ог дц ог ог и сй(дк йу дФ . ~ — = ад — = — ц =-В(ц)цц =-гФ. ог от дц Подставив (19.22) и (19.23) в (19.21), получим йт йп — =- — -2Ф, <Й й (19.22) (19.23) й(Т+ П) йЕ й —,й- ' где Š— полная механическая энергия. Таким образом, удвоенное значение диссипативной функции Рэлен есть скорость уменыиения полной мехонической энергии системы.
Составляющую обобщенной силы от сил Р,(г), зависящих от времени и действующих на систему извне, можно получить стандартным способом, полагая, что вариация обобщенной координаты Ьц не равна нулю, вычисляя сумму элементарных работ от сил Р,(г) на перемещениях, определяемых Ьц, и относя полученное значение к Ьд: ,')',М, 0(г)=' ' Ьц (19.24) Учитывая (19.13), (19.14), (19.16), (19.19), (19.20) н (19.24), заплюем уравнение Лагранжа второго рода в виде а(ат') дФ дп — ~ —,~+ — + — = Д(г), абзац,) ац ац ац'+ Ьц+ сц = а(г), (19.25) 567 где а > 0; Ь с 0; с > 0 .
Уравнение (19.25) представляет собой дифференциальное уравнение малых колебаний любой линейной колебательной системы с одной степенью свободы. Разделив каждый член этого уравнения на обобщенный инерционный коэффициент а, получим по аналогии с рассмотренными выше примерами 9+ 2е9+а д= — Яг),, (19.26) г 1 а где 2в=Ь/а; а =с/а. 19З. Свободные движения линейной системы с одной степенью свободы Свободные движения в колебательной системе возникают при отсутствии внешнего воздействия Я(г) = 0) после начального возмущения.
В соответствии с (19.25) дифференциальное уравнение движения в этом случае имеет вид ад + Ь9+ сд = 0. Свободные колебании линейной консервативной системы В случае консервативной системы Ь = О, поэтому дифференциальное уравнение движения принимает форму 9+а'9=0, (19.27) где а =с/а . Запишем решение уравнения (19.27) в виде 9 =С, созаг+С, зшаг. (19.28) Произвольные постоянные С, и Сз определим из начальных условий: прн г=О 9=90, 9=9в (19.29) Отсюда С~ =Чо'* Сз =Чо/а.
Введем новые произвольные постоянные А= С,'+С,'; а=агс18 — ' (19.30) Сз и представим решение (19.28) в так называемой амплитудной форме: (19.31) д = Аз1п(аг+ а) . 568 Произвольные постоянные А и а в соответствии с (19.30) выражаются через начальные условия следующим образом: г А= до+~ — ); а=агсф —, чо, Чооз оз '?о При определении а следует учитывать, что если 9ь >О, то а находится в 1 или 1У квадранте, а если 9ь < 0 — то во 11 или Ш, и, следовательно, к вычисленному главному значению арктангенса необходимо добавить к.
Прн 9ь =0 а=к/2, если д, > О, и а = -к/2, если д, < 0 . Зависимость д(?) представлена на рис. 19.5. Рис. 19.5 Гармоническими называют такие колебания, при которых обобщенная координата изменяется во времени по закону синуса или косинуса. Как следует из (19.28) и (19.31), свободные колебания линейной консервативной системы с одной степенью свободы являются гармоническими. Их характеристиками являются: оз — «руговая, или ииклическая частота, измеряемая в секундах в минус первой степени (с '); озг + а — фаза колебаний; а †начальн фаза колебаний; А — амнлитуда колебаний; Т вЂ” период колебаний — время в секундах, за которое фаза колебаний изменится на 2к Т = 2к/в = 2кз/а/с .
569 В инженерной практике используют величину, обратную периоду колебаний, называемую частотой колебаний 1 оэ Т 2л и измеряемую в герцах (Гц). Отметим, что круговая частота ю, период колебаний Т и частота тт не зависят от начальных условий, поэтому их называют собственными характеристиками колебательной системы (например, собственная частота колебаний). Свойство независимости частоты и периода колебаний от начальных условий— свойство изохронности колебаний — связано с линейностью дифференциального уравнения и, следовательно, с допущением о малости колебаний. Приееер 19.4.
В кривошипно-ползунном механтпме, расположенном в вертикальной плоскости, кривошип ОА, представляющий собой однородный стержень длиной 1 = 0,49 м и массой тл, = 3 кг, через шатун АВ, также однородный стержень массой т =бкг, связан с ползуном В массой лт =3кг (рис. 19.6В С ползуном скреплена пружина, жесткость которой с,. При вертикальном положении кривошипа ОА пружина не деформирована. Трение в шарнирах и опорах ползунз, а также вязкое сопротивление среды не учитывать. Найти, при какой жесткости с, пружины вертикальное положение кривошипа будет устойчивым.
Для значения с, = 5с, получить уравнение движения кривошипв, если в начальный момент времени его повернули на угол, равный 3' против направленая вращения часовой стрелки, и отпустили без начальной скорости. Решелиа Выберем в качестве обобщенной координаты угол отклонения ф кривошипа, считая его малым. Кинетическая энергия кршюшипа таз Т1 1оееое — тл11 ф ° 2 6 Шатун АВ в положении, соответствующем ф=о, совершает мгновенно- поступательное движение, т.е. его угловая скорость равна нулю. При отклонении кривошипа от вертикали можно записать (см.
рис. 19.6) А() = ОА сов ф = АВвш а или, дифференцируя по времени, -ОАвшф ф=АВсова.а. ОАз)пф ф АВсоза 570 Рис. 19.6 Так как ф и ф малы, угловая скорость а будет иметь второй порядок малости и, следовательно, при вычислении кинетической энергии шатуна его движение можно считать поступательным, т. е. "я =гс =ел =1Ф. Тогда суммарная кинетическая энергия +мг+~Ь 19 .
м! э 2 2~,3 Сопоставив это уравнение со стандартным выражением (19.13) для кинетической энергии в системе с одной степенью свободы, получаем обобщенный инерционный коэффициент а = (т~ /3+ мэ + шэ )1 При вычислении потенциальной энергии учтем деформацию прулшны и опускание центров тяжести кривошнпа и шатуна С учетом малости ф деформация пружины Х = 19 . Поскольку центры тяжести кривошнпа С, и шатуна С при движении механизма находятся на одной гориэонтали (см. рис. 19.6), их опускание 57! )з' = -1(1 — сов ф) . 1 2 Тогда П=-(п1 ф -(м,+лз )81(1-созф)). 1! 2 з 2 Учитывая в разложении соя ф величины до второго порядка малости: созф 1,рз/2 получаем П = — ~с,! --(м, + ль)81~р, г с, = — (м, + т ) — = 90 Н/м. Я 2 1 Поусловию с, =5с, =450Н/м.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
