Termeh (523129), страница 64
Текст из файла (страница 64)
(18.23) 2 Подставив (18.23) в общее уравнение динамики (18.15) и разде- » лив обе части выражения на — »й, получаем 2 и , '(г'» — т„а ) Ьа =О. (18.24) » ! Массы точек и приложенные к системе активные силы заданы и не изменяются, поэтому Ьа» = — Ь вЂ” — а» Подставляя вариацию ускорения Ьа„в (18.24), находим г и (~ (㻠— т„а„) — — а„= Ь »=! 1т — — — а„= О. 525 координаты точек которой удовлетворяют голономным связям, наложенным на систему. В момент времени г положение точки определяется радиус-вектором Р» (»), а в момент времени» + Й— радиус-вектором и»'(г+»ггг) = г»" (г)+ Р»'(г)г(г+ — а»'(г)»ггг + ..., (18.21) 2 1з " т„(г Выражение,~ — — — а = У введено Гауссом и назы- „1 21т„ вается принуждением.
Принуждение является мерой отклонения действительного движения от того движения, которое совершала бы данная система, если начиная с некоторого момента времени она двигалась под действием только активных сил, а связи были бы отброшены. Условие (18.24) можно записать так: ЬУ =О. Принцип Гаусса формулируется так: нри действительном движении механической системы с идеальными связями принуждение 2 принимает значение, наименьшее из всех возможных значений нри движениях, совместимых с наложенными связями.
Принцип Гаусса можно рассматривать как модификацию принципа Даламбера-Лагранжа, в которой используется понятие экстремальности некоторого выражения, называемого принуждением. Пример 18.П. Определить ускорение материальной точки, которая движется под действием силы тяжести по гладкой плоскости, наклоненной под углом а к горизонту (рис. 18.16). Начальная скорость точки равна нулю. Рис.
18.16 526 Рещение. Возможные траектории точки располагаются в наклонной плоскости, и возможные перемещения АС; = — а,бг . При свободном движении под 2 2 действием силы тяжести перемещение точки за такой же промежуток времени — ! равно АВ= — ВВР. Наименьшим из отрезков АС, будет отрезок АС,, распо- 2 ложенный вдоль линии наименьшего ската. Так как АС, = — а,б| и АС, = АВз!пан — Вз!па Й, з 2 2 то а, =Вз!па Проюволная В(ВС!) 0 оа~ если а, =ез!па 18.5.
Уравнении Лагранжа второго рода Вывод уравнений Уравнения Лагранжа второго рода представляют собой дифференциальные уравнения движения несвободной механической системы, составленные в обобщенных координатах. Рассмотрим движение системы, состоящей из У материальных точек, относительно инерциальной системы отсчета.
Наложенные на систему связи — голономные, удерживающие, идеальные. Если некоторые связи не идеальные, то соответствующие им реакции следует добавить к действующим на систему активным силам. Общее уравнение динамики для такой системы имеет вид (à — таге'! Ьр =О.
ам (18.25) 527 Такой же результат можно получить при использовании принуждения. Для данной задачи оно пропорционально квадрату длины отрезка ВС,: 4 ! ВС, = — !В +а, -2а,яз!па). 2 бг 2 2 2 Пусть система имеет и степеней свободы.и ее положение определяется д„ц„..., д„обобщенными координатами г» = = ф(91, 92, ..., д„,Г). Возможное перемещение Ьйточки в д- бр« =~„— «бд,. (18.2б) ьа да! Подставляя (18.26) в (18.25) и изменяя порядок суммирования, получаем ~ ~Г, — »-,'»",— "".~ — »~1Ц, =й. (18.27) Ф»., 4й д9, ~ "— д» В этом выражении ,'>„Г« — = Я вЂ” обобщенная сила, соот- Ф ветствующая 1-й обобщенной координате. Преобразуем выраже- ние — » — — — — 㻠— — г» (18.28) л д —.
д-. Так как г» = ~1 — «ф, + — », то авдее,. ' Й ' дф( дд,. Равенство (18.29) называется первым тождесн»еем Лагранжа. Заменив на основании этого тождества производную дг» д㻠— на — в первом слагаемом выражения (18.28), получим д9, ٠— 㫠—" = — г»вЂ” Следовательно, „'1 т» 㻠— » = — — ,'5, »» = — —, (18.30) 528 где Т вЂ” кинетическая энергия механической системы С другой стороны, "дг .
дг, ,,Яд, ' дг д~„д~г„, д г„, д г„, д г'„ Сопоставляя (18.31) и (18.32), заключаем, что Это второе тождество Лагранжа. С учетом данного тождества получаем (й 1,йу, ) ,, дд, йу, ~», 2 ! дд, Подставляя в общее уравнение динамики (18.27) выражение для обобщенной силы Д, а также результаты преобразований (18.30) и (18.33), находим ,'1 Я вЂ” — — + — бо, =О. (18.34) Вариации обобщенных координат независимы между собой, поэтому условие (18.34) будет выполнено, если равны нулям множители при всех бо,, т. е.
если ззз .и 529 Преобразуем теперь производную — — Я . Так как (г~а~, !' дР(, г„= г,(о„д„..., д, г), то ~ — "~ — функция обобщенных коор- динат и времени. Поэтому, с одной стороны, Н (дг„~ д'Р„, д'г„, д'г,, д'г, Й ( дд, ) дд,йу, дд,дд, дд„дд, " дйд, И (дТ~1 дТ (18.35) аг да, да, Уравнения (18.35) называются уравнениями Лагранжа еторого рода. Число этих уравнений равно числу степеней свободы.
В уравнения Лагранжа не входят заранее неизвестные реакции идеальных связей. Если силы, действующие на систему, потенциальные, то дП Я = — —, 1=1,2,...,л. 1 В таком случае уравнения Лагранжа второго рода принимают следующий вид: й(дт1 дт дп юг~а~,! д8, д,' Функция, равная разности кинетической и потенциальной энергий механической системы, называется функцией Лагранжа: й=Т вЂ” П. Так как потенциальная энергия системы является функцией толь- дТ. дТ ко обобщенных координат, то — = —.
При использовании а8, а8, функции Лагранжа уравнения (18.35) имеют вид й ГдЬ1 дТ. (18.36) аг ~д(1, ! до, Обобщенная координата, которая явно не входит в выраже- ние функции Лагранжа, называется циклической коордаиатой. дА Если о — циклическая координата, то — = 0 и из (18.36) нада~ дА ходим первый интеграл — = С .
Таким образом, если в качестдд, ве обобщенных удается выбрать циклические координаты, то вместо системы дифференциальных уравнений второго порядка получаем уравнения первого порядка. ззо Структура уравнений Кинетическая энергия механической системы, состоящей из -'2 Ф материальных точек, определяется по формуле Т = — У,и„г 2 ьи Если данная система с голономными нестационарными связями имеет л степеней свободы, то г„= г„(д„дз, ..., д„, 1) и скорость х-й точки л д~, д,. г, =~) — "ф, + — '. ,,д~, ' Принимая во внимание выражение для г„кинетическую энергию системы можно записать так: Ф аЯ д1„1л л и г Т=-~ и„~ ~ — д, + —" = — 'Я ~~ А„д,д, +~~> В,(7, +-С, 2», 1„1й), ' д1 2,,;, "' ',, '' 2 (18.37) где к дг дг к дг дг и А„=~и, —" — '; В, =,') и, — '.— '; С=,')„и„~ — '! .
дО, д8,' ',, д„, д' „., 11,дг!' дгя Если наложенные на систему связи стационарные, то — Я = О дг и тогда В, =О, С=О. В этом случае кинетическая энергия системы является однородной квадратичной формой обобщенных скоростей: й о Т =-~,"~,Аад, А . 2мз., ё'/ Производные от кинетической энергии (18.38), соответствующие левой части уравнений Лагранжа, равны дТ л —,=~„Аад,; Ф 1-1 Н(дТ) " „" ~Ив (1А, ~ Так как 531 Ия ° дА„ й п.,д9п ' то ~! !'дТ'! п п п дА, ~ ~=~-Ап,—,+~~- д9г ~м зпл п=| Йп дТ 1 п п дА„ — = — ~х„' — 'д,д, .
дд, 2...,дд, Подставляя эти выражения в уравнения Лагранжа, получаем п и и дА 1 п п дА ) Аяд, + '~ '~ — "9,дп — — ~1 — 'д,д, =Я, ...,д9п ' ' 2...,д~У, ' ' ' (!8.39) 1=1,2,...,п. Обобщенные силы являются функциями обобщенных коор- динат, времени и, возможно, обобщенных скоростей, поэтому каждое из уравнений Лагранжа имеет второй порядок. Порядок уравнений не изменится и при нестационарных связях, так как в этом случае в выражения (18.39) войдут слагаемые, зависящие только от обобщенных координат, скоростей и времени.
Таким образом„уравнения Лагранжа второго рода для меха- нической системы с голономными связями представляют собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений порядка 2п относительно обобщенных координат. Последовательность действий при использовании уравнений Лагранжа второго рода для решения задач аналитической дина- мики следующая: 1) определить число степеней свободы системы и выбрать наиболее удобные обобщенные координаты; 2) вычислить кинетическую энергию системы в ее абсолют- ном движении и выразить эту энергию через обобщенные коор- динаты д, и обобщенные скорости д,; 3) вычислить производные от кинетической энергии, входя- щие в левую часть уравнений Лагранжа; 4) определить обобщенные силы, соответствующие выбран- ным обобщенным координатам; 5) подставить все вычисленные величины в уравнения Ла- гранжа. 532 Пример 18.12. Механическая система, показанная на рис.
18.17, состоит из однородною круглого цилиндра 1 массой м, и радиусом г, однородного стержня 2 длиной 1 и массой мг, к которому в точках А и В шарнирно прикреплены ползуны 5 и б массами и, н м, а также пружин 3 и 4, коэффициенты жесткости которых с, и с„соответственно. Цилиндр без скольжения катается по горизонтальной плоскости. К нему приложена пара сил с моментом М, (1) .
Пренебрегая сопротивлением качению цилиндра, трением в шарнирах и направляющих, а также массой пружин, составить дифференциальные уравнения движения системы. Решенин Система имеет две степени свободы. В качестве обобщенных координат выберем перемещение г центра масс цилиндра 1 и угол ф поворота стержня 2. Полагаем, что при з = О и ф= О пружины 3 и 4 не деформированы. Уравнения Лагранжа второго рода для данной системы имеют вид (1840) Кинетическая энергия системы складывается из кинетических энергий цилиндра 1, стержня 2 и ползунов 5 и б: Т= Тз+Т, ьтг что. Движение цилиндра плоское, поэтому г 1 г ~~ = — шло+ — 3ггР~ 2 ' 2 м,г ! Так как о =з,,1 г = — ' и ог = —, то о ог 2 ! г 3 Т,= — т! 1 Кинетическая энергия стержня 2 определяется по формуле 1 г 1 )г мггд+ 3шогг.
2 2 Скорость центра масс стержня гн = юг0Рг, где Рг — МЦС стержня. Принимая во внимание, что 0Рг = 1/2, 3ш =тг1~/12, огг =Ц, получаем Т = — м1ф . 1 г г 6 Ползуны движутся поступательно и, следовательно, г 1 г 1 г г г. Тг — — мгтл = — мгхл = — Фг! сов ф ф 2 2 2 г 1 г 1 г г .г То = — могн = ябув — ш61 згп ф'ф 2 2 2 533 Таким образом, кинетическая энергия системы, выраженная через обобщенные координаты н обобщенные скорости, равна Т = — ~ — е1з + — тг! ф +т11 соз ф ф +тб1 з!и ф ф ! . 1 3 г ! г г г г .г г ° г г 2(2 ' Вычислим производные от кинетической энергии системы: дТ 3 . 41(дТ) 3 ..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
