Termeh (523129), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Положение такой системы в пространстве определяется обобщенными координатами а„а„..., у„, и радиус- вектор )с -й точки есть функция обобщенных координат: '~ ='и(%>Чз - Чл~т). Возможное перемещение каждой точки системы ю дк бг„=,~ — бо, . -1 Й! Подставляя выражение для бг„в условие (18.7) равновесия сис- темы, получаем: ',)" — "8~7, = О. После изменения порядка суммирования это условие принимает вид ;)„~~ Ä— 'Уд, =~ О,бд, =О.
(18.1О) Так как обобщенные координаты независимы, то их вариации Ь7„бд„..., б(1„тоже независимы между собой. Поэтому условие (18.10) будет выполнено, если равны нулю обобщенные силы, соответствующие'всем обобщенным координатам системы: Д, =О, 1'=1,2,...,п. Таким образом, условия равновесия механической системы можно сформулировать так: длл равновесия системы, подчиненной голономным удерживающим связям, необходимо и достаточно, чтобы обобщенные силы, соответствующие всем обобщенным координатам системы, были равны нулю. Если силы, приложенные к точкам механической системы, потенциальные, то д(7 дП 0 = — = —. д(1, д7, ' 518 В этом случае условия равновесия имеют вид — = О или — = О, !' =1 2,..., и.
(18.11) дП дП дц, дц, Выражения (18.11) являются необходимыми условиями существования экстремумов функций П и П. Таким образом, при равновесии системы, находящейся под действием потенциальных сил, все частные производные от силовой функции и потенциальной энергии по обобщенным координатам равны нулю. Принцип Даламбера — Лагранжа. Общее уравнение динамики Рассмотрим систему, состоящую из 1ч' материальных точек. В соответствии с принципом Даламбера, приложенные к каждой точке активные силы, реакции связей и силы инерции в любой момент времени образуют уравновешенную систему сходящихся сил. Эта система снл удовлетворяет условию равновесия Р„ч- Я„+ Ф„= О, (1 8.12) где Г„и ߄— равнодействующие активных сил и реакций связей, приложенных к к-й точке; Ф„= — т,а„. Умножим обе части уравнения (18.12) скапярно на возможное перемещение бг„й-й точки и просуммируем полученные для всех точек системы произведения.
В результате имеем и '~ (Р„+ Я„+Ф„) бг~ =О. (18.! 3) й=! Это уравнение называется общим уравнением динамики. Выражение (18.13) является условием, которое должно выполняться для любого совместного со связями движения системы под действием заданных активных сил. Общему уравнению динамики соответствует принцип Даламбера — Лагранжа: при движении механической системы в любой момент времени сумма работ активных сил, сил реакций связей и сил инерции на любом возможном перемещении из занимаемого положения равна нулю. Принцип Даламбера — Лагранжа является вариационным н дифференциальным, потому что в нем рассматривается возможная работа активных сил, сил реакции и сил инерции в произвольный, но фиксированный момент времени.
Отметим, что усло- 5!9 вне (18.13) выполняется только для истинного движения системы. Общее уравнение динамики можно записать и в других формах. Раскрывая скалярные произведения, получаем я „'1 [(г»,+Л, +Ф )Ья»+(Р +Я» +Ф„)бу»+ »-! +(Р +Я», +Ф„,)бг»Д=О. Так как Ф„, = — »л»х», Ф» =-т»у», Ф», =-т»8», то н (18.14) ,) 1(г» + ߄— т»х»)бх» +(г» +»»»» — т»у»)бу» + + (Р, + Я„, — т 8 )Ьы 1= О. Выражение (18.14) определяет аналитическую форму записи общего уравнения динамики.
Если связи, наложенные на систему, идеальные, то и ,Г Я Ьг„= О и общее уравнение динамики принимает вид » ! ~ (Г„+ Ф»)бг» =О. (18.15) А=! Таким образом, при движении системы с идеальными связями в любой момент времени должна быть равна нулю сумма возможных работ активных сил и сил инерции. Если для изучения движения системы применяют обобщен»а~ дг» ные координаты, то г, =г»(»»!,»»„...,у„,г) и Ьг» = » — Ь!»!.
»-! Подставив выражение для возможного перемещения Ьг» в (18.13) и изменив порядок суммирования, получим и ! И ~~~~Г„+Я, +Ф,) — "~бд, =О. (18.!6) !=!»=! Й! Так как ~(г» +Я ).— =Я вЂ” обобщенная сила, соответст- Ъ вующая 1-й обобщенной координате, то ~ Ф» — =Д, — Ьг» ин Ф обобщенная сила инерции, ссютветствующая той же координате.
520 Если вариации обобщенных координат независимы между собой, условие (18.16) принимает вид Я + Д,"" =О, 1=1,2,...,п. (18.17) Выражение (18.17) называется общим уравнением бинамики в обобщеннвах силах. При изучении движения твердого тела с помощью принципа Даламбера — Лагранжа силы инерции точек тела нужно привести к какому-либо центру, например центру масс тела. Тогда сумму возможных работ сил инерции можно вычисльпь следующим образом: и ~Ф„Ьгь =Я„„бгг +Х"„" Ьгр, а=1 где зтвн, А"„" — главный вектор и главный момент сил инерции относительно мгновенной оси вращения, проходящей через центр масс; Ьг, — возможное перемещение центра масс; Ьгр — возможный угол поворота тела вокруг мгновенной оси вращения. Пример 18.9.
Определить ускорение центра масс диска радиусом г, который без скольжения скатывается по наклонной плоскости, обрвзуюнгей угол а с горизонтом (рис. 18.14). Коэффициент трения качения равен уь . Рис. 18.14 521 Решеина Общее уравнение динамики для диска имеет внд и ~~'А =ЬА(Р)+ЬА(М )+ЬА(й~)+ЬА(Ц,)=0.
вм Возможные работы снл нормальной реакции ст' н трения скольжения Е' равны нулям, так как они приложены к неподвижной в каждый момент времени точке — МЦС диска. Зададим диску возможное перемещение, прн котором точка С получит перемещение Ьвс.. Тогда ЬА(Р)=Рз(па Ьи< . Момент трения качения М =(М ) =уьФ=Ру„сова ЬА(М )=-М Ь<р= — сова Ьв< РУь г Главный вектор н главный момент снл инерции точек диска относительно осн Сз соответственно равны — Р „„Ргз Я,,= — ид, Т,~",= — а, я 2я ис. где с, = —. Возможные работы Р ЬАд~~нн) ис'Ьвс' ' Ы ЬА()чз) = — —.
ну Рг иг Ьв~ 2я г г Таким образом, 4 Гь Р Рг' ис. Ьвг ~~ЬА„= Рмпа Ьвд — Р— сова Ьв — — и< Ьв, — — — =О. с' с' ' с' гйг2йгг Отсюда находим г('. у ис =-В~в)па--"-сова 3$~ Пример И.<0. В механизме, показанном на рис. 18.15, кривошип ! массой и, и длиной б вращаясь вокруг неподвижной горизонтальной осн Оз, при помощи шатуна 2 такой же длины приводит в движение ползун 3 массой шв. Ползун 3 соединен пружиной 5 с ползуном 4 массой ш4.К кривошнпу приложена пара сил с постоянным моментом М, . Коэффициент жесткости пружины с. Пренебрегая трением в шарнирах н направляющих, а также массой шатуна н принимая кривошип за однородный стержень, составить дифференциальные уравнения движения механизма 522 Решязнн Система имеет две степени свободы.
В качестве обобщенных координат выберем угол ф поворота кривошипа 1 и координату з ползуна 4. При ф = О и з = О пружина 5 не деформирована Задавая системе возможные перемещения, при которых Ьр е О, й О и Ьр = О, бз и О, с помощью принципа Даламбера-Лагранжа получим два уравнения .%бе+ 1тз бе+ Рзубук+ А.бхв+ Рз бхв - О ' Рп~бз+ Язз бз = О . (18.19) Главный момент сил инерции крнвошнпа 1 относительно оси Ох и главные векторы сил янерции ползунов 3 и 4 соответственно равны =-.~о,Ф= — яз! Ф; 11з =-язоз, 7, -язсо, 3 где е, = хвз', хз = -2!(фзшф+ фз сов ф); ор = зз . Кроме того, 1 Р =-вззя; бул -!созф Ьр; зУ 2 лз„=2щз!(Фзшф+ф' р); бяв =-2!зшф бф; Ра~ = с(з+ 2!(1 -созф)), Рд~ =-с(у+ 2!(1-созе)) .
Подставляя выражения для проекций сил и возможных перемещений в (18.18), (18.19) и сокращая на бф и бз, получаем М --я1 ф-4м,! фзш ф-2я ! ф яп2ф--язя!созф- 1 з- ?- . з з. з ° 1 3 з — 4с!з(1-созе)япф-2с!ззшф О; м43 + сз+ 2с!(1 — сов ф) = О . Принцип Гаусса (припцип наилзеимиего ирипуждепии) Рассмотрим механическую систему, состоящую из Ф материальных точек, на которую наложены идеальные связи. Пусть положение Ьй точки в момент времени ! определяется радиус- вектором гз(!). Тогда в момент времени 1+ сз! при движении по истинной траектории радиус-вектор втой точки будет уд(!+ з!!), причем г (!+ й) =г (!)+ Уз(!)зй+ — аз(!)с)1~ + .... (18.20) 2 Рассмотрим движение зс-й точки по кинематически возможной траектории. Кинематически возможной является траектория, 524 где Р»'(г), а„(г) — кинематически возможные скорость и ускорение Й-й точки системы в момент времени и Положим, что г»(г) = г»'(г).
Тогда, вычитая (18.20) из (18.21), получим следующее выражение для возможного перемещения точки: Ьг„= „'( +»~г) — г,(г+»й) =(т;(г) — „(г)1»й+ — ° — г (18.22) + -[а„(г) - а„(г)1»й! + .... Если Р (г) = 9»" (г), то, пренебрегая в правой части (18.22) слагае- мыми, содержащими»й' в третьей и более высоких степенях, на- ходим: Ьг» = — Ьа Ж~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
