Termeh (523129), страница 60
Текст из файла (страница 60)
18.1). Рнс. 18.1 Реяяение. Уравиеиия связей имеют вид у< =У=своз<; х< =гя<, где ч< — угол поворотадиска(4<=0 при х, =О). Из первого уравнения связи следует, что "г = у< = о. з Интегрируя второе уравнение, находим связь между координатой х< и >т:юм поворота диска х< = г<р+С<. Неголономными называются связи, которые описываются уравнениями вида у<(х„,у„,г„,хь,ух,г„,г)=0, А=1,...,<т'. (!82) Уравнения (18.2), в отличие от уравнений голоиомных связей, не могуг быть проиитегрированы независимо от дифференциальных уравнений движения системы. Неголономные связи накладывают ограничения (18.2) на скорости точек, поэтому их называют кинематичеекими. Пример 182.
Получить урввиеиия связей для шара радиусом г, который катится без скольжения по плоскости (рис. 18.2). Рис. 18.2, Реьяеииег Положение шара определяется координатами х;, у,, х; центра масс и тремя углами его поворота вокруг центра масс. Этими углами могут быть 4<)5 З глы Эйлера. При любом положении шара расстояние от точки С ло плоскости Ох! равно его ралиусу. Поэтому одно из уравнений связи имеет вил =,. =г . Другие у равнения связи опрелелим из усяовия качения без скольжения: з, = то + а!хг =О: г =СР. гле Р— точка соприкосновения шара с плоскостью.
Проецируя это велторное уравнение на оси неподвижной системы коорлннат. полз чаем т, -гю, =О: кгьгы,=о: =',.=О. Интегрирование последнего уравнения лает полученное выше геометрическое Эсловие =, =г. Кинех!атические уравнения в проекциях на оси неподвижной системы координат имеют вил Оэ =фз!пвз!пч!+Осозц>: ш =-фз!лвсозчг+05!и !!! . Таким образом.
уравнениями связей для шара являются х + г(фз!посох чг — 65!и ч!) = О: те+ г(фз!пбз!пя!+ ввозя!)= О: Первые два из них не интегрируются. т. е. являются уравнениями неголономных связей. Связи подразделяются на стационарные и нестационарные в зависимости от того, входит в явном виде время в уравнение связи или нет. Связь, уравнение которой имеет вид 1, (х„, у,, дя ) = О, является голономной и стационарной.
Для голономной нестационарной связи уравнение будет таким: 1 (х„, у„, д„, г) =О. Например, жесткий стержень длиной 1, прикрепленный к неподвижной опоре, является стационарной связью для материальной точки, находящейся на его свободном конце. Уравнение связи в декартовой системе координат, начало которой совпадает с точкой закрепления стержня, имеет вид х +у +к~ — 1з =О.
(При вращении стержня вокруг опоры точка находится на сфере радиусом 1.) Если длина стержня изменяется по заданному закону, то связь является нестационарной и ее уравнение х' + у- + дз — ! ' (у) = О. 49б Связь называется удерживающей (двухсторонней), если она описывается уравнением (равенством). Голономную стационарную удерживающую связь, наложенную на материальную точку, можно представить в виде двух бесконечно близких одинаковых поверхностей. между которыми только и может находиться точка.
Неудержиаающоя (односторонняя) связь описывается неравенством. Например, если математический маятник представляет собой тонкий стержень длиной 1, вращающийся вокруг неподвижной оси и к свободному концу которого прикреплен груз (материальная точка), то связь для груза будет удерживающая. Если же груз прикреплен к свободному концу нерастяжимой нити длиной 1.
то связь будет неудерживающая, поскольку груз может находиться как на поверхности сферы радиусом 1, так и внутри нее. Обобщенные координаты Пусть механическая система состоит из Х материальных точек. Положение такой системы в пространстве определяется ЗФ декартовыми координатами. Если на систему наложено т голономных удерживающих связей, то независимыми между собой будут не ЗФ, а и = ЗМ вЂ” т координат. Выбрав н декартовых координат системы в качестве независимых, остальные и координат можно найти при помощи уравнений связи.
Выбор декартовых координат в качестве независимых для ряда задач механики оказывается нерациональным, так как приводит к громоздким выкладкам. Поэтому целесообразно использовать и другие независимые координаты. Независимые между собой координаты, которые однозначно определяют положение механической системы в пространстве, в любой момент времени называются обобщенными координатами. Их обозначают а, (г), где 1 = 1, 2, ..., и . В качестве обобщенных координат можно использовать отрезки прямых, дуги, углы, а также любые другие параметры, удовлетворяющие определению обобщенных координат.
Отметим, что для одной и той же механической системы может быть несколько вариантов выбора обобщенных координат. Так, для системы, показанной на рис. 18.3, в качестве обобщенных координат могут 497 ззз . ~в быть выбраны: 1) координаты хс центра масс катка 1 ияв центра масс цилиндра 3; 2) координата хс центра масс катка и угол <р, поворота цилиндра 3; 3) координаты х и з,", центра масс цилиндра 3 относительно фиксированной точки Ю нити. Конкретный выбор обобщенных координат определяется поставленной задачей. Рис.
1ВЗ Для системы, состоящей из Ф точек, на которые наложено и голономных удерживающих связей, через обобщенные могут быль выражены л = ЗФ вЂ” и независимых декартовых координат. Остальные декартовы координаты выражаются через те же обобщенные координаты с помощью т уравнений связей. Следовательно, и радиус-векторы всех точек системы выражаются через обобщенные координаты: уг =Р~(Ч)~ яре- з яд г) ° Например, положение кривошипно-ползунного механизма, показанного на рис. 18.4, определяется двумя его точками А и В. Из четырех декартовых координат (х „, у„, хв, ув) независимой будет только одна, так как число т голономных удерживающих связей равно трем: ОА=1, =сопз1, АВ=1з =сопз1, ув — — О. Рис. 18.4 Если за независимую декартову координату принять х„, а за обобщенную — угол <р поворота кривошипа 1, то х„= 1, созд.
Другие декартовы координаты точек системы определим при помощи уравнений связей. Из уравнения х2 +у„' — 12 = О находим у„= 1, айпи. Ордината ув —— О. Из условия (хв — х„) + уА — 122 = =О получаем х' =21,хассан+1,' — 1,'. Если 1, =1,, то ха —— =21, сову. Таким образом, все декартовы координаты точек системы выражены через угол <р. Возможные перемещения. Число степеней свободы механической сисзнемы Перемещение материальной точки зависит от ее массы, приложенных к точке сил, связей и начальных условий.
Определение 499 зз* действительного перемещения сводится к решению задачи динамики точки. В аналитической механике в качестве одного из основных используется понятие о возможном перемещении точки. Возможньи» называется любое допускаемое связями перемещение материальной точки из положения, занимаемого ею в данный момент времени, в бесконечно близкое положение, которое она может занимать в тот же момент времени. Возможные перемещения не связаны ни с движением точки, ни с изменением наложенных на нее связей. Они представляют собой воображаемые перемещения, которые можно представить совокупностью бесконечно малых векторов ЬР, зависящих только от структуры связей, зафиксированных в рассматриваемый момент времени. Вектор Ьг называют вариацией радиус-вектора точки, а проекции ЬР на оси декартовой системы координат — вариациями координат.
Их обозначают Ьх, Ьу, Ьг. Возможные перемещения точки должны удовлетворять дифференциальным соотношениям, вытекающим из уравнений связей при условии, что время является фиксированным. Получим зти соотношения и установим различие между бесконечно малым действительным ар и возможными Ьг перемещениями точки. Пусть на материальную точку наложена голономная удерживающая связь, уравнение которой ~(х, у, г, г) = О . (18.3) Этому уравнению удовлетворяют координаты точки в момент времени г. Через бесконечно малый промежуток времени с(Г координаты (х+ с(х), (у+ ау), (г+ сй) точки также должны удов- летворять уравнению связи, т.
е. г(к+ ах, у+ ау, г+сй, г+сй) = О. (18.4) Раскладывая функцию (18.4) в ряд Тейлора с точностью до слагаемых выше первого порядка малости и учитывая, что связь имеет вид (18.3), получаем — а".х+ — ду+ — аг+ — с(г = О. д~ д~ д~ д~ дх сО дг дг 500 Выражение (18.5) представляет собой условие, которому должны удовлетворять проекции вектора аг элементарного действительного перемещения точки.
Представим теперь, что перемещение точки из положения, занимаемого ею в данный момент времени, в бесконечно близкое положение, допускаемое связями, происходит в результате изменения координат точки при фиксированном времени. Координаты точки с учетом их вариации должны удовлетворять уравнению связи ~(х+ бх, у+ бу, х + бх, г) = О .
Раскладывая эту функцию в ряд Тейлора с точностью до слагаемых выше первого порядка малости и учитывая, что связь имеет внд (18.3), получаем — бх+ — бу+ — бх = О. д~ д~ д~ (18.6) дх ду дх Таким образом, при наличии связи вида (18.3) вариации координат точки должны удовлетворять условию (18.6). При выводе условия (18.6) время полагалось фиксированным, поэтому данное условие должно выполняться как при стационарных, так и при нестационарных связях, наложенных на точку. Используя понятие вектор-градиент, выражение (18.6) можно рассматривать как скалярное произведение векторов: — д~-, д~ -, д~— бган~ = — 1+ — 1+ — К дх ду дг бг = бх1 + бу 1+ бх Х .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
