Termeh (523129), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Рис. 16Д1 31 Зак.!6 465 Первые три уравнения динамики составим на основе теоремы об изменении количества движения. Спроецируем векторное выражение этой теоремы на оси системы Яо: и и и Мх, =~Р"~; Му, =,> Г~„".!; Мгг =~ г((.'! . (16.58) (=! (=! я ! Вторые три уравнения динамики составим на основе теоремы об изменении главного момента количеств движений относительно осей Кенига. В проекции на подвижные оси системы Я динамические уравнения Эйлера имеют вид (16.11). Уравнения (16.!!), (16.58) легко разрешимы относительно первых производных от проекций вектора скорости центра масс на оси системы Я, и проекций вектора угловой скорости тела на оси системы Я.
Такую форму записи дифференциальных уравнений несложно преобразовать к форме Коши, традиционно используемой в алгоритмах численного интегрирования уравнений. Дополним уравнения (16.11) системой кинематических уравнений Эйлера (4.8), позволяющих выразить проекции угловой скорости вращения тела на оси системы Я через углы Эйлера и их первые производные по времени. Рациональность выбора указанных обобщенных координат состоит в том„ что они позволяют представить общий случай движения в виде составного и в связи с этим разделить дифференциальные уравнения на две подгруппы (16.58) и (4.8), (16.11), не связанные между собой по вторым производным от обобщенных координат.
Тем не менее такая система уравнений в общем случае является связанной, поскольку главный вектор Я~"! и главный момент Ц"~ внешних сил относительно центра масс могут зависеть не только от времени, но и от полного набора обобщенных координат и их первых производных по времени: и Я " =,г, Г»" — — Ф! (г, х, у,-, г;, х(, у;, г(, (р, О, (р, (р, О, ф); (е) х (е! (-! ~~"! =~М, (Р'„('!)=Ф (бх,,у, хг,хг,уг,х, (Р,О,(р,(р,О,ф).
ь=! Например, при движении тела, подвешенного к неподвижному основанию на пружинах, силы натяжения пружин зависят 466 от положения центра масс и пространственной ориентации тела, а моменты этих сил относительно главных центральных осей инерции — от пространственной ориентации тела. Для каждого локального участка поверхности тела распределенные силы сопротивления воздуха зависят от скорости движения этого участка, которая, в свою очередь, определяется скоростями изменения всех обобщенных координат. Поиск аналитического решения системы нелинейных дифференциальных уравнений (4.8), (16.11) и (16.58) двенадцатого порядка представляет собой сложную, в большинстве случаев неразрешимую математическую проблему.
Поэтому на практике решение задач динамики общего случая движения твердого тела выполняют численными методами. Систему дифференциальных уравнений (4.8), (16.11), (16.58) можно применять для любых частных случаев движения с меньшим числом степеней свободы. При этом в число неизвестных функций помимо обобщенных координат будут входить характеристики реакций со стороны соседних твердых тел.
Например, при вращении тела вокруг неподвижной оси неизвестными будут законы изменений угла поворота тела и реакций подшипников. Вначале рассмотрим случай, когда соседнее твердое тело неподвижно. Если связь с ним принадлежит к числу идеальных (без учета сил трения), то дифференциальные уравнения движения следует дополнить уравнениями ограничивающей поверхности (в частных случаях линии или точки), записанными в обобщенных координатах.
Если при этом необходимо также учитывать силы сухого трения и моменты трения качения и верчения, то дополнительно следует использовать уравнения математических моделей фрикционных сил и моментов. В тех случаях, когда соседнее тело подвижно в Яо, возможны два варианта: 1) движение соседнего тела заранее известно и задано в обобщенных координатах; 2) движение соседнего тела неизвестно и подлежит расчету. Второй вариант обобщаег исходную задачу на случай движения кинематически связанной системы твердых тел.
В каждом из этих вариантов дополнительные уравнения геометрической связи и моделей фрикционных сил следует выразить 467 через обобщенные координаты и их производные по времени обоих тел. Для первого варианта система, состоящая из (4.8), (16.11), (16.58) и дополнительных уравнений связи, должна быль полной относительно неизвестных обобщенных координат и силовых характеристик реакций между рассматриваемыми телами.
Во втором варианте система, содержащая те же уравнения, записанные для каждого из подвижных тел, и дополнительные уравнения связи и моделей фрикционных сил, должна быть полной относительно всех двенадцати обобщенных координат и силовых характеристик реакций между подвижными телами. Указанную стратеппо формирования полной системы уравнений движения можно применять и для большего числа тел. Глава 17 ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА. ДИНАМИЧЕСКИЕ РЕАКЦИИ СВЯЗЕЙ 17.1. Принцип Даламбера. Сила инерции Принцип Даламбера сформулирован в 1743 г. и первоначально, в отличие от законов Ньютона, был предназначен для изучения движения несвободных механических систем. В настоящее время этот принцип н вытекающий из него метод кинетостатики рассматривают как удобный прием для определения реакций связей и сил взаимодействия, а также для составления дифференциальных уравнений движения механических систем.
В соответствии с аксиомами динамики основное уравнение движения материальной точки имеет вид та =Г+Я, (17.1) где à — равнодействующая активных сил; гг — равнодейстаг'р вующая реакций связей; а = — — абсолютное ускорение точки. ~,г Уравнение (17.1) можно также записать в виде г + Я+( — та) =О. Слагаемое ( — та) обозначают Ф и называют даламберовой силой инерции (или просто силой инерции). Основное уравнение динамики материальной точки при использовании силы инерции принимает следующий вид: Г+Я+Ф=О.
(17.2) Так как указанные выше силы образуют систему сходящихся сил, то уравнение (17.2) можно рассматривать как условие равновесия системы сил (Г, Я, Ф). В этом и состоит принцип Далам- 469 бера для материальной точки. Формулируется он так: при движении материальной точки в любой момент времени приложенные к ней активные силы и реакции связей вместе с силой инерции образуют систему сил, эквивалентную нулю (уравновеигенную систему сил), т. е.
(! 7.3) (Г,Я,Ф) О. Отметим, что в формулировке принципа Даламбера речь идет об уравновешенности определенной системы сил, а не о равновесии (покое) материальной точки. Таким образом, дополняя систему активных сил и реакций связей, приложенных к точке, силой инерции, получаем уравновешенную систему сходящихся сил, для которой должно выполняться условие равновесия (17.2). В проекциях на оси декартовой системы координат имеем Р+Я+ФО!7г+Яз+ФгОЕ~+Я+ФО где Ф„ = -тх;Ф = -ту;Ф, = -тг'; в проекциях на оси естест- венной системы координат получаем Г + Я. + Ф.
= О' Г. + А + Ф. = О*' Гь + Яь = О сгр, - р где Ф = — та = — т — ';Ф = — та = — т —. т т ! л л р Представление основного уравнения динамики материальной точки в виде (17.2) следует рассматривать как прием, удобный для решения некоторых задач, например для определения сил взаимодействия и реакций связей. Пример 17.1. Определить силу, с которой груз 2 давит на упор 1 тележки (рис. ! 7,! ), если масса груза т, а ускорение тележки а .
Трением между грузом н тележкой пренебречь. Решение К грузу приложены сила тяжести Р, нормальная реакции )х' и реакция Я упора. Добавляя в соответствии с принципом Даламбера силу инерции Ф = -ша груза, получаем уравновешенную систему сил (Р,, лг, й, Ф) . Проецируя силы на ось Ох, находим йи то. 470 Рис.17.1 17.2. Принцип Даламбера для механической системы л и и ,')„Г„+ ~ Я, + ~ Ф„= О .
ь ! /с=! е=! (17.5) 471 Рассмотрим механическую систему, состоящую из Ж материальных точек. Применяя принцип Даламбера к каждой точке системы, получаем К! + Я + Ф„= О, Й = 1, 2,..., )У, (17.4) где Ф„= — т„а„; Г„и ߄— равнодействующие активных сил и реакций связей, приложенных к к-й точке. Условие (17.4) можно представить в виде ф, Я„, Ф„) О, в =1, 2,..., 11!'. Таким образом, для системы материальных точек принцип Даламбера формулируется так: при движении механической системы в любой момент времени приложенные к каждой точке системы активные силы и реакции связей вместе с силами инерции образуют систему сил, эквивалентную нулю. Суммируя левые части уравнений (! 7.4) по всем точкам системы, получаем Умножив каждое уравнение в (17.4) векторно слева на радиус- вектор.
г» !г-й точки и просуммировав их, имеем Х»!»! г» х1» +,~ г» х Я» + ) г„х Ф» = 0 р или Я Мо(Р,)+ ', М!!(К~)+~Мо(Ф»)=0. (17.6) » 1 » 1 (17.7) »=! »1 Если силы, приложенные к Ьй точке системы, разложить не на активные и реакции связей, а на внешнюю Г„' и внутреннюю Г„', то уравнение (17.4) примет вид 472 Из (17.5) и (17.6) следует, что равны нулю главный вектор и главный момент относительно произвольного центра приведения О акгивных сил, реакций связей, приложенных ко всем точкам механической системы, и сил инерции. В проекциях на оси декартовой системы координат, начало которых совпадает с центром О, эти условия принимают вид известных уравнений равновесия произвольной пространственной системы сил: и !р! и '~1,Р, +~~! Я, +',~ Ф„, =0; »=1 ».1 » ! и и и г»„+~ Я» +~ Ф„=О; »-1»=1»=1 и и и ~ Г .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
