Termeh (523129), страница 54
Текст из файла (страница 54)
След не имеет точек возврата и петель самопересечения, пока сохраняется знак ф . Рис. 16.11 Отметим, что к данному случаю также относится пространственное движение маятника, подвешенного на одной неподвижной точке. Его движение может быть неравномерным вращением — ротацией вокруг неподвижной горизонтальной оси — или периодическими колебаниями — осцилляцией в окрестности нижнего положения равновесия.
Последний вариант движения имеет маятник, отпущенный из состояния покоя, при котором ось динамической симметрии отклонена от вертикали. Еще один несложный вариант движения тела в случае Лагранжа — равномерное вращение вокруг вертикальной осн динамической симметрии, когда центр масс расположен ниже точки подвеса. Если центр масс расположен выше точки опоры, то вертикальное направление оси динамической симметрии устойчиво лишь при достаточно быстром вращении («спящий волчок»). Предыдущая схема анализа движения тела в случае Лагранжа относилась к произвольным начальным условиям. Существует простое решение данной задачи, но для специальных начальных условий. При этом движение волчка внешне выглядит как регулярная прецессия, в связи с чем оно названо исеедорегулирной прецессией.
452 Предположим, что движение волчка (рис. 16.12) удовлетворяет условию (16.18). В этом случае векторы а2 и К, расположены в подвижной вертикальной плоскости П . Убедимся, что эти векторы также неподвижны в плоскости П . Рис. 16.12 Сначала покажем, что угловая скорость с2 тела постоянна по модулю. При условии (16.18) в неподвижной системе Яо аппликата центра масс г, =1соэбо = сопв1, и, следовательно, постоянна не только потенциальная П, но, согласно интегралу сохранения полной механической энергии, и кинетическая энергия Т волчка. А так как в случае Лагранжа е2 = сопке (см. (16.36)), то на основании выражения (16.25) приходим к выводу, что с2'„4 ат'„=- сопа1 и с2д, + а2, + соа ж сопэг, т. е. УгловаЯ скоРость 2 2 2 волчка постоянна по модулю. 453 При 1та1= сопя озхз -— О, озз, =таз =сопят=ар, третья проекция также постоянна: озтз = сопят = оз„.
Поэтому вектор в „ а следовательно, и вектор Кр неподвижны в плоскости П системы Я, и удовлетворяют соответствующим уравнениям (16.21), (16.22) при вертикальном направлении вектора угловой скорости прецессии й =яй . Заметим, что, согласно уравнению (16.22), регулярная прецессия (Т = 0) является частным случаем псевдорегулярной прецессии ( Ер ~ 0 ). Очевидно, что помимо уже перечисленных констант при псевдорегулярной прецессии а=сопят; ф=сопз1=ф,; ф=сопя=ф,, т.
е. законы изменения углов Эйлера аналогичны случаю регулярной прецессии. Рассмотрим теперь влияние силы тяжести и начальных значений проекций юс, оз„на постоянные О, Чт и фр. Раскроем Ер в выражении (16.22): К, =йхКр =ОСхР. (16.37) Векторы ОС и Р лежат в плоскости П, поэтому вектор М„(Р) параллелен горизонтальной оси ОХз, т. е. направлен по линии узлов. В проекции на эту ось выражение (16.37) имеет вид й К й К Р1япО, (16.38) 1С(ф +ф созО,) — Акт,соз8,)ф,япО, =Р1яп О,.
После сокращения на яп Ор Ф 0 (при яп Оа = 0 имеем случай Эйлера Т =0) получаем (С(ф +чт соз8 ) — Ат1т созО )Чтр =Р1. Это уравнение является квадратным относительно й = ф,: (С вЂ” А)й~соз8 +Сфрь2 — Р1=0. (16.40) Прн созО =0 оно имеет один корень И=Р1~Сфр, а при созО, ~0 — два: й, =Сф /[2(С вЂ” А)соаО )х х[ — 1к 1+4Р!(С вЂ” А)созО /(Сф ) ). Уравнение (16.40) имеет действительные корни при соаО м0, если (Сгро) + 4Р!(С вЂ” А)соя Оо > О. (16.41) Соотношение (16.41) является необходимым условием существования псевдорегулярной прецессии.
Данный вид движения возможен лишь при достаточно большой угловой скорости ф фо > оэ' и = 4Р! соз Оо(А — С)/С' . (16.42) Допустим условие (16.42) выполнено, а угловая скорость ф, настолько высока, что )ь=(оэмм/фе) =4Р~(А — С)созОо!/(Сфо) ((1 (1643) Используем малость 1г для нахождения корней уравнения (16.40): йьа — — Сф /[2(С вЂ” А)созО ][ — 1~ /1+)ь1. Приближенно вычислив дискриминант,/Г+ 1ь м1+ 0,5)ь, получаем — 1+ (1+ 0,51ь) = 0,5)г; — 1 — (1+ 0,5)г) и — 2 — 0,5)ь. Таким образом, корни уравнения (16.39) й, и — Сгр /(С вЂ” А)созΠ— Р!/(Сф ); (16.44) йт м Р!/(Сфе) (16 45) Первое слагаемое в (16.44) не зависит от силы тяжести волчка и соответствует «быстрой» скорости регулярной прецессии (16.31) в случае Эйлера, прямо пропорциональной скорости собственного вращения ф .
Этот вид движения волчка возможен при малом моменте Р! н быстром собственном вращении. Установлено, что требование фе и 4РН А — С)/Сс является необходимым и достаточным условием устойчивости «спящего волчкав (гс > О, бе и О). При этом волчок, эллипсоид инерции которого вытянут вдоль оси Ол (А > С), должен иметь более высокую скоросп собственного вращения, чем волчок с эллипсоидом инерции, сплюснутым вдоль оси 02 (С > А) . 455 Второй корень (16.45) соответствует «медленной» прецессии оси динамической симметрии также при малом моменте Р!. Скорость медленной прецессии обратно пропорциональна скорости собственного вращения ф,. Поскольку скорость прецессии в этом случае зависит от силы тяжести, этот вид движения также называют вынужденной прецессией.
Дадим математическое объяснение полученным результатам. При условиях (16.18), (16.36) уравнения (16.35) вырождаются в систему линейных дифференциальных уравнений относительно проекций сзз ез, . Ее решение можно представить в виде суммы функций, одна из которых является общим решением однородной, а другая — частным решением неоднородной системы. Общее решение описывает собственное движение, а частное — вынужденное движение. Формулы (16.44), (16.45) этому полностью соответствуют.
На практике при наблюдении за движением быстровращающегося волчка глаза фиксируют именно вынужденную прецессию в виде достаточно медленного движения оси волчка, описывающей конус вокруг вертикали. Собственная (быстрая) регулярная прецессия почти мгновенно затухает из-за естественных потерь на трение. Таким образом, псевдорегулярная прецессия обобщает случай регулярной прецессии; она возможна при любом угле нутации, но лишь при специальных начальных условиях. Приближенная пзеория гироскопа Для быстрой оценки параметров движения гироскопа в заданных физических условиях используют приближенные аналитические методы, называемые приближенной, или прецессионной, п4еорией гироскопа.
При условии быстрого вращения тела она применима для тел с произвольной формой эллипсоида инерции в точке,О. В ее основу положены свойства вынужденной регулярной прецессии. Благодаря некоторым допущениям данная теория сводит анализ сферического движения твердого тела к изучению лишь прецессионного движения оси собственного вращения без учета изменений угловой скорости собственного вращения и угла нутации.
Приближенная теория гироскопа построена на теореме об изменении вектора Ко в форме, аналогичной (16.22): 456 Ко —— йк х Ко — — Х„. (16.46) Здесь приближенно считают, что неподвижный относительно твердого тела постоянный по модулю вектор К„вращается относительно системы Я0 с угловой скоростью Й „. Рассмотрим допущения, которые позволяют обосновать уравнение (16.46). 1. Модуль проекции вектора в на главную ось инерции 02 тела много больше модулей остальных проекций: в~ »в~+в'„. (16.47) Из кинематических уравнений Эйлера в этом случае следует Ф2 »Ф2+02. (16.48) Поэтому в приближенной теории наиболее быстрым считается собственное вращение.
Это допущение совпадает с аналогичным требованием в условии существования вынужденной прецессии (16.45). В современных гироскопических приборах угловые скорости собственного вращения роторов достигают 10000 рад/с . Отметим, что неравенству (16.47) могут удовлетворять и сравнительно малые угловые скорости, например для Земли угловая скорость собственного вращения составляет всего 7,26 ! 0 ' рад/с . Условия (16.47), (!6.48) не следует дословно понимать как стремление полностью пренебрегать значениями угловых скоростей ф и О. Их малость используют только на стадии приближенной оценки модуля и направления вектора К0, чтобы затем с помощью вектора Ко получить информацию о поведении углов 212 и О. 2.
Проекция вектора в на главную ось инерции ОУ тела постоянна по модулю: (16.49) в =сопз1=во >О. 3. Модуль проекции вектора К0 на Ос много больше остальных проекций (рис. 16.13): Кг Кг (16.50) 457 Ко (16.51) =Свз =Свс =Кз =сопз1. 5. Вектор К„направлен по оси ОУтела: Ко =Аа„1+Вв,.У+СазК мСвзК=СасК. (16.52) Соотношения (16.51), (16.52) оправдывают возможность применения теоремы об изменении вектора Ко в форме (16.46), позволяющей по поведению вектора К„судить о движении оси ОУ, так как теперь угловая скорость вращения оси ОУ является и угловой скоростью вращения вектора К„.
Наконец, еще одно допущение постулирует направление вектора главного момента внешних сил Ео. 6. Вектор главного момента внешних сил Хр перпендикулярен к вектору К„. Неперпендикулярность. Хо н Ко Рис. 16.13 приводит к изменению модуля Ко, что противоречит четвертому допущению. В приближенной теории гироскопа многие выводы строятся на основании геометрической интерпретации теоремы об изменении главного момента количеств движений, предложенной французским ученым Резалем (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
