Termeh (523129), страница 51
Текст из файла (страница 51)
г г лг "г 2. В соответствии с расчетной схемой, приведенной на рис. 16.4, в, диффе. ренциальное уравнение (16.3) вращательного движения маховика 2 вокруг оси О,з имеет вид л 3о,:ф= ' М,(Р )=М +А'„)3!ПΠ— )г Ьсо58, й 3 где 3, „— момент инерции маховика 2 относительно оси его вращения О,г; ф = 20 = 2шг, ф = 0 . Отсюда М =-)г 751ПО+)г !.СозО. 29' 435 Полученные выражения для проекций реакций шарнира А, муфты 3 и момента сил от привода зависят от угловой скорости и и угла 0 поворота рычага ! и являются неявными функциями времени. Несложно получить те же зависимости как функции угла д поворота маховика 2.
В явной форме зависимости этих параметров от времени слишком громоздки и здесь не приводятся 1читатель может вывести их самостоятельно). 16.2. Сферическое движение твердого тела Задачи динамики сферического движения твердого тела имеют более высокий уровень сложности в сравнении с рассмотренными выше. Дифференциальные уравнения динамики сферического движения твердого тела являются нелинейными, и для них, как правило, не удается найти общего аналитического решения в элементарных функциях.
Поэтому теперь такие задачи решают в основном численными методами, а известные аналитические решения используют для выработки качественных представлений о возможном характере движения твердого тела в близких физических условиях. Дифференциальные уравнения сферического движения твердого наела Влияние внешних сил на кинематические характеристики сферического движения твердого тела вокруг точки О, неподвижной в инерциапьной системе отсчета, изучим с помощью теорем об изменении главного момента количеств движения и кинетической энергии для системы материальных точек (см.
й 15.5, 15.6): йо = хчз рл о поскольку они позволяют исключить из уравнений динамики силы, сходящиеся в точке О. Помимо ннерциальной системы отсчета Яо с осями Ох, Оу, Ог и ортами г', у,1с введем жестко связанную с твердым телом вспомогательную систему координат Я с началом в точке О, осями ОЛ; 01; Од и ортами 1,.т', К . Угловая скорость системы Я относительно системы Я тождественно равна угловой скорости самого тела пт . Система Я удобна тем, что в ней постоянны три 436 осевых .Ул„У,,.У и три центробежных .У,,У,.У„момента инерции тела. Направим оси системы В не произвольно, а так, чтобы они совпадали с главными осями инерции твердого тела в точке О. В таких осях для твердого тела упрощается расчет проекций его главного момента количеств движения относительно точки О и его кинетической энергии: Кх =Аа,; Кг =Ва„; Кх =Ссох, (16.9) Т = 0 5Коа сов сс = 0 5(ал Кл + аг Кг + ахКе) (! 6 1О) Здесь и далее буквами А, В, С обозначены соответствующие осевые моменты инерции тела относительно трех ортогональных главных осей инерции.
При А = В эллипсоид инерции тела в точке О имеет форму поверхности вращения вокруг оси Ох., которую в этом случае называют осью динамической симметрии твердого тела, а само тело — динамически симметричным. На практике для выполнения равенства А = В телу из однородного материала придают форму тела вращения. Согласно (16.9), (16.10), вектор К„образует острый угол а с вектором а . При этом Ко параллелен главной оси инерции тела, если а направлен по этой оси инерции тела, и Ко перпендикулярен главной осн инерции тела, если ей перпендикулярен а .
В соответствии с формулой Бура, запись вектора Ко твердого тела в проекциях на оси системы Я (см. (16.9)) влечет за собой необходимость применения теоремы о его изменении в специальном виде сУКо 0+ахК, =У,, сУс предполагающем последующее проецирование именно на оси системы рл Аал, +(С вЂ” В)агсо, = Ех~ Ва„+(А — С)ахах = Е„; (16.11) Са +( — А)а со„=У, . Систему уравнений (16.11) называют динамическими уравнениями Эйлера. Они устанавливают связь мемсду моментами 437 внешних сил и проекциями угловой скорости оз тела. Каждое уравнение системы (16.11) содержит произведение проекций вектора оз, поэтому динамические уравнения Эйлера являются нелинейными дифференциальными уравнениями относительно этих проекций.
Но поскольку расчет проекций вектора йз на подвижные оси системы Я не является конечной целью анализа, ибо остается нерешенной задача о пространственной ориентации этих осей, то динамические уравнения Эйлера дополняют киивматическими уравнениями Эйлера (4.8), устанавливающими связь между проекциями вектора оз и скоростями изменения углов Эйлера. Относительно углов Эйлера система (4.8) также является системой нелинейных дифференциальных уравнений„поскольку содержит тригонометрические функции углов.
Для простоты далее полагаем, что вектор Е„ явно зависит только от времени 1 и параметров кинематики. К настоящему времени известны только три случая совместной интегрируемости этих систем в аналитическом виде для тела с произвольным или специальным соотношением главных моментов инерции при произвольных начальных условиях для углов Эйлера и их первых производных по времени, когда вектор Ео представляет собой момент единственной силы — силы тяжести тела в однородном поле. 1.
Случай Эйлера: форма эллипсоида инерции в точке О— любая, 1.„шО. 2. Случай Лагранжа: форма эллипсоида инерции в точке О— поверхность вращения, центр масс тела расположен на оси динамической симметрии. 3. Случай Ковалевской: форма эллипсоида инерции в точке Π— поверхность вращения с осью динамической симметрии ОУ, причем А=В=2С, центр масс расположен в плоскости ОАТ. Общие аналитические решения системы динамических и кинематических дифференциальных уравнений с произвольными начальными условиями предложены Л.
Эйлером в ! 756 г., Ж. Лагранжем в 1784 г. и С. Ковалевской в 1889 г. Решение С. Ковалевской получило наивысшую оценку в конкурсе, объявленном академией наук Франции. 438 В связи с тем, что теорема об изменении вектора Ко имеет инвариантную запись для случаев движения механической системы относительно инерциапьной системы отсчета В (точка О неподвижна в В ) и относительно осей Кенига (точка О является центром масс механической системы), система дифференциальных уравнений сферического движения (! 6.11) применима и для изучения сферического движения твердого тела относительно осей Кенига.
Поскольку запись теоремы об изменении кинетической энергии также инвариантна для указанных вариантов систем отсчета движения, то последующее изложение данной темы следует считать справедливым для двух физически различных случаев: когда точка О твердого тела неподвижна в инерциальной системе отсчета и когда она неподвижна в осях Кенига, т.
е. является центром масс тела. Случай Эйлера. Движение ио инерции Рассмотрим простейший случай системы (16.11), когда на некотором интервале времени Ео(г) ге О, а следовательно, Ел —— — ~У ~7 Аф„+(С вЂ” В)го„гол =О; Вй „+ (А — С)а го = О; Сфз +( — А)о о„=О.
(16.12) 439 Сферическое движение твердого тела, подчиненное уравнениям (16.12), называют случаем Эйлера. Согласно (16.12), кинематические параметры движения тела не зависят от внешних сил, поэтому случай Эйлера иногда называют также сферическим движением тела но инерции. Система (16.12) принципиально может быть решена относительно трех неизвестных функций времени г для проекций вектора а. Однако, если среди моментов инерции А, В, С нет одинаковых, то ее общее аналитическое решение (т.
е. пригодное для любых начальных условий) представимо через специальные функции Якоби. При этом движение тела может быть как периодическим, так и непериодическим. Первые интегралы в случае Эйлера. Несмотря на то что система уравнений (16.12) не имеет общего решения в элементарных функциях, путем несложных преобразований (16.12) можно вывести два независимых, достаточно простых алгебраических соотношения в элементарных функциях от проекций вектора в. Такие соотношения называют первыми интегралами уравнений (16.12), поскольку, являясь прямым следствием (16.12), они уже не содержат производных от неизвестных проекций вектора а . Ниже они используются для анализа кинематических параметров движения твердого тела. Первые интегралы системы (16.12) легко вывести косвенным образом, опираясь на общую запись теорем об изменении главного момента количеств движения относительно точки 0 (Ко = Хо) и об изменении кинетической энергии (Т = И™~) .
Применим эти теоремы для исследуемого твердого тела в системе отсчета Я . Мощность внутренних сил твердого тела равна нулю, а мощность внешних сил можно рассчитать через мощность эквивалентной системы сил, т. е. с помощью главного вектора и главного момента внешних сил: И'и'О =6"~ =Я Го + Ее Б. В случае Эйлера Ро =О, Ео =О, поэтому 1т'~" = О. Тогда теоремы имеют очевидные интегралы Ко -=сопят, 2Т=— сопзг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
