Termeh (523129), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Анализ сил, действующих на механическую систему, дает ответ, какую теорему динамики лучше использовать при решении задачи. Так, если равен нулю главный вектор внешних сил, действующих на механическую систему, то по теореме об изменении количества движения системы устанавливают закон сохранения вектора количества движения системы, из которого получают три первых интеграла. Произвольные постоянные определяют из начальных условий движения механической системы — ее начального положения и начальных скоростей точек системы. Проекции количества движения системы содержат координаты и проекции скоростей точек, т. е. первые производные от координат, и не содержат проекций ускорений, т. е.
вторых производных от координат. Если проекции действующих на систему внешних сил на одну или две оси координат равны нулю, то получают один или два первых интеграла, описывающих движение системы. Если в механической системе есть тела, движение которых содержит вращательное или сферическое движение, то необходимо применять теорему об изменении главного момента количеств движения системы. Если главный момент внешних сил относительно какого-либо центра равен нулю во все время движения системы, то по теореме об изменении главного момента количеств движения системы относительно этого центра устанавливают закон сохранения вектора главного момента количеств движения системы относительно этого центра, из которого получают три первых интеграла системы (равенства произвольным постоянным трех главных моментов количеств движения системы относительно осей координат).
При этом, если один или два главных момента 413 внешних сил относительно соответствующих осей координат равны нулю, может быть один или два первых интеграла. Теорема об изменении кинетической энергии является более универсальной, так как в ней учитываются все движения тел в системе, а кроме того, рассматривается работа как внешних, так и внутренних сил.
Использование закона сохранения механической энергии также позволяет получить первый интеграл уравнений движения. Его называют интегралом энергии, или интегралом «живых» сил. Закон сохранения механической энергии выполняется при действии на систему потенциальных сил (внешних и внутренних), поэтому работа этих сил может быть вычислена до исследования движения системы. Пример 15.9.
Механизм состоит из зубчатой рейки I массой гн, к которой приложена сила Г, н шестерен 2 и 3, находящихся в зацеплении (рис. 15.39, и). Моменты инерции шесгерен относительно осей О г и 0,2 равны соответственно 32 и 32. К рейке прикреплена пружина, имеющая коэффициент жесткости с. В начальный момент пружина не напряжена. К шестерне 2 приложен момент сил сопротивления М„= -а шч . к шестерне 3 — момент сил сопротивления М„= — агми, аг,аг =сопи>0.
Механизм расположен в горизонтальной плоскости и в начальный момент находится в покое. Определить уравнение движения рейки и реакцию оси шестерни 3 в начальный момент (при 2 = 0 ). Равнение. По теореме об изменении кинетической энергии системы в дифференциальной форме, ггТ =~йф~"г)+ ~~ г(А(Г„ш)). Кинетическую энергию системы определим как сумму кинетических энергий отлельных ес тел; г 2 2 лгк )гми угш*, Т= — + 2 2 2 глс к — скорость рейки; ьзи, сг„— проекции угловых скоростей шестерен 2 и 3 на оси О г, О,г соответственно.
Запишем уравнения. свазывающие кинематические параметры; К =Ггм,г, М, йг — -Ш, Гг откуда 414 Яа . Я2 го, =-го, — =-х —, *2 * гэ уагз' гле к„— проекиия скорости рейки на ось Ох (»„= х, т = «„); х — коорлииата. 2 2 фиксируюшаа положение рейки. кЗ Рис. 15З9 415 Подставив эти выражения в формулу для кинетической энергии. получим г, ггг)2 2 2 ! ./2 УВ, где В = т + —,- '+ — '„„-' Я' ГЗГ, Дифференциал кинетической энергии язТ = м+ — „- '+ — „, Ых = Вхгй.
~,В21 .. Г, Гзз; Определим сумму элементарных работ сил, если рейке июбщено элементарное перемешение яй . Так как яй = ггйярг, а В,язярг = -гзАярз. то Рг Нг йр3 = — йр, = — гяй. гз гг, Сумма элементарных работ внутренних сил равна ~ И(Е,Я') = О. 3=3 Внешними для рассматриваемой механической системы являются: сила Е. сила упругости пружины, силы тяжести и реакции опор А. В, Ог. О,, а также пары сил сопротивления с моментами М, М, Сумма элементарных работ сил тяжести и реакций опор равна нулю, так как они либо перпендикулярны яй . либо приложены в неподвижных точках; ( —,~ à — а)~ ( а, .
азй; . аАЯЕя" Я=Еяй-стгй-агыггяарг-азшг,аярз = Е'-сх- — гх- г, г яй. ям 32 33 32 Подставим полученные выражения в формулу для теоремы об изменении кинетической энергии: ВЫх =(Е-сх — Ох)гй, 332 азй2 где О= — + —. „2 „2г2 ' г з г Преобразовав это уравнение с учетом, что хяй/яа = х, получим Вх хь Ох+ сх= Е или х+2пх+ К х= А, где 2л=О/В,К =с/В.А=Е/В. Решение линейного дифференциального неоднородного уравнения с посто- янными коэффициентами представим в виде суммы х=х, +х .
Пусть К>л, тогда х, = А,е "' ззп(КЯЯ ч у), х = А/К = Е/с и х=А е "ззп(К,гьт)+ —, с 4!6 где К, =ь!К вЂ” и Константы интегрирования определим из начальных условий (при » =О .т = О ..т = О ): ЕГ лг рк с1 К; с К, и Теперь. когда известно движение рейки, определено и движение шестерен. По теореме об изменении главного момента количеств движения шестерни 3 относительно оси 0,2 (рис. 15.39, б) .1,аг, =-Вг, -азмо 1за:, +азмг, 5=— гз .3 1?2 . Рз где е = —.т=; »с 3 =-л— 33»2 гзгз При » =О .2=0.
ПОЭтОМу Мг, =О. а Иэ ураВНЕНИя дВИжЕНИя СЛЕдуЕт, ЧтО прн этом к = А. Тогда '13'41?2 Яг аг, =-А — -': гз2 Для определения реакции опоры О, масс шестерни 3; запишем теорему о движении центра мз поз = д гз ° по, = О . »»и л л Откуда следует Чз г"'3 =О, а значит ~г»»23 =О; Чз ф~ =О, или »и »=3 »и Х,„+?у=Х„+5»ай=О; у»„+В=О, Угол 3) здесьзадан(см. рис.!5.39, б). Для начального момента времени 1зАВ2 ..1зАВ2 Х 51 )3 3 21 )3.
у 3 2 "з 'з В "2 откуда я = „~Х 12 узАВз (~ )г .13'41'г Ч 'Ь 'Ь г 3? В " г "з '2 "з 'г созР 417 Лример 15.10. Эллиптический маятник состоит из тела А массой зл и шарнирно скрепленного с ним математического маятника АВ. Длина маятника АВ =1, масса точки В равна лз, (рис. 15.40). В начальный момент система покоилась, маятник находился в левом горизонтальном положении (»р = О ). Рнс. 15.40 л Определить при <р = — рад, ш = Зш,: 1) угловую скорость стержня АВ н ко- 6 ординату х тела А; 2) ускорение тела А и угловое ускорение маятника; 3) силу, с которой система действует на плоскость.
Трением пренебречь. Решение. 1. Для определения положения системы (эллиптического маятныка) введем обобщенные координаты х и р. Внешними лля рассматриваемой механической системы являются силы тяжести тела Р = мя, Р, = тЯ и нормальная реакция гладкой поверхности М . Эти силы перпендикулярны оси Ох, поэтому сумма их проекций на ось Ох равна У нулю: ~Р ' = О. По теореме об изменении количества движения в проекции ч н) ь=! на ось Ох — '= у Рм,или — '=О.
~Д м АО Аг зм Аг После интегрирования имеем Д, = С,. Таким образом, согласно закону сохранения проекции количества движения на ось Ох, первый интеграл дифференциального уравнения для рассматриваемой системы определен. Количество движения лля эллиптического маятника Д = ш«««льйл, где ы, Рл — соответственно абсолютные скорости тела А и точки В. Тело А совершает поступательное движение. Движение точки В представим как сложное: относительное по окружности радиусом АВ с относительной скоростью «лн1 и переносное с переносной скоростью йлн1, равной скорости «груза А. Имеем ы", =)ф, «Н1=«, Р =«Н1+Ф', «„=х, «,=О. 418 Уравнение (15.116) принимает вид тх+м,(х-1фяпф)=С,, или (т+м,)т-е1фа!пф=С,.
(15.117) Для определения угловой скорости стержня АВ требуется еще одно уравнение, которое получим с помощью теоремы об изменении кинетической энергии системы в интегральной форме: т-т, =ХА(6"')+ХА(6') ьн Фм Кинетическая энергия эллиптического маятника ятг м1твг т- + 1в 2 2 тле та =(тв' +т) =1 ф -21фхяпф+х з 1-О1 -)з г з .
г Окончательно имеем Т = — — ' ' — — т 1фхя(пф+ (1мт++м М' .. м,('ф' 2 2 (15.118) в Здесь сумма работ внутренних сил Ч А(гво)= О; сумма работ внешних сил Я 3 определяется выражением Ч~~ А(Р'„~Ю)= А(т,й)+ А(мй)+ А(У), в котором работы силы тяжести тела А и нормальной реакции гв' равны нулю, так как перемещение тела А перпендикулярно этим силам во все время движения. Работа силы тяжести точки В А(тЯ)= ~гл18сй=м81)созфйр=тй!япф. го о Получаем систему уравнений (т+ т,)х — мфра1п ф = О; (м+м,)х ...
т,1 фз -т,х1фа1пф+ — '= т 8(а)пф, (15.120) (15.121) 419 А(тЯ)= (тЯ(гй+Ы)= )т,йгб (Й =(йр), гы о) так как (т,ВЫ=О ввиду того, что вектор Р, =тЯ перпендикулярен вгт. [) Для решения задачи необходимо сформулировать начальные условна: при 1=0 х=О, ф=О, х=О, ф=О. (15.119) Тогда с учетом начальных условий (15.119) в уравнениях (15.117) С, = О, а из (15.118) следует, что начальное значение кинетической энергии системы равно нулю,т.е. Тв =О, и из которой при >р = к/6 рад находим ф = е>, = 4 ~ — . Ы~ >1 151 Уравнение (15.121) есть интеграл энергии. Уравнение (15.120) можно записать в виде (т+ т,)>(х — т15!пя>а>>р= О, (15.122) Интегрируя (15.122) с учетом начальных условий, находим т,1(1 — соя ф) х= т+т, откуда при >а=я/6 рад получаем х=0,03351. 2.
Для определения ускорения тела А и углового ускорения маятника АВ применим дифференциальную форму записи теорем об изменении количества ( аД„ движения в проекции на ось Ох >( —" = 0 и кинетической энергии ~ А! Ат " и> — =~и'„>"> +~~~ и„о>: >М (т+т,)х — т1(ф51пф+ф~соаф)=0; х((т+т>)т'-т>1(фз)пффф созф)]+фт>1(1ф-хз)п>р)=фт>й1со54>. Упростив второе уравнение с помощью первого, получим следующую систему: (т+т>)х-т>1(ф51пя>+ф со54>)=0; х5>па> — 1ф = -лсо54>, (15.123) из которой при ф= к/6 рад находим х = 0,362л = 3,56 м/с , !ф = 1,047я = =10,27 м/с Ускорение тела А а = а„, й = О, а„= х, угловое ускорение маятника ф = е ..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
