Termeh (523129), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Так как Ю = Рсй, представим выражение (15.87) в виде И'А =Р ° Нг =(Рй) ° р. (15.88) Таким образом, элементарная работа силы равна скалярному произведению элементарного импульса силы на скорость точки ее приложения. Если скалярное произведение записать в аналитическом виде, то формулу (15.87) можно представить в следующем виде: с('А =Р а~Р=Р„сЪ+Р,ду+Р ае. Полная работа силы. Полную работу силы Р на перемещении точки из положения Мо в положение М определяют как предел суммы ее элементарных работ, т. е. А(Р)= 1йп ',) ЫА„, (15.89) нч где ЫА, — работа силы Р' на А-м элементарном перемещении, на которые разбита криволинейная дуга МоМ.
Так как сумма (15.89) является интегральной суммой определения криволинейного интеграла, то м А(Р)= ~а'А. Используя различные формулы для определения элементарной работы, получаем А(Р)= )Р,с(з, ие или 388 А(Р)= ) РИР= )(Рс(т+Р ау+Раей). мО мо Если же сила является функцией времени, то, согласно (15.88), работа силы Р иа промежутке времени от 0 до г, соответствующем точкам М, и М определяется выражением ! А(Р)= 1Р.уа.
(15.90) 0 Работа силы зависит от характера движения точки приложения силы. Так, А = О, если сила приложена к неподвижной точке нли к точке, скорость которой во время движения равна нулю (например, в МЦС). Работа равнодействующей силы. Рассмотрим систему сил (Рырз,...,рн), приложенную к рассматриваемой точке. Эта система имеет равнодействующую Я, причем Л =Р, +Р2+...+Рн. Тогда работа силы Я на перемещении точки из положения Мр в текущее положение М равна алгебраической сумме работ составляющих сил на том же перемещении: м м м м м и А= 1АА= 1Л Фг = ~ръАТ+ ~Рзйг+...+ 1Рнаг=ХАг мо мо мо ме мо Единицей измерения работы в СИ является джоуль'. Мощность. Отношение злементарной работы силы к промежутку времени, за которое оно произошло, называется мощностью: Н'А )К = —.
аг Так как ЫА = Р . тй, то 1Р=Р т. Таким образом, мощность силы равна скалярному произведению силы на скорость точки ее приложения. 1Дж 1Н м. 389 Единицей измерения мощности в СИ является ватт . Работа внутренних сил твердого тела. Рассмотрим две произвольные точки тела А н В (рис. 15.30), силы взаимодействия которых, согласно третьему закону Ньютона, р(0 рю На основании формулы (15.90) имеем А(Г~'>)+ А(Г<'>) = ~(Го>.-„+ У<'> т,)а.. о Раскрывая скалярные произведения двух векторов, получаем ( А(7; ' )+ А(Р~' )= )(г т, созе~+ Р~' тв совр)пг= о = ~(гщт, сова — Р~~Ътв совр)й = О, о поскольку, согласно теореме о проекциях векторов скоростей точек твердого тела на прямую, их соединяющую, в любой момент времени к. Рвс.
15.36 Твердое тело можно рассматривать как систему взаимодействующих пар материальных точек (при неизменной геометрии тела). Для каждой из пар сумма работ внутренних сил твердого тела будет равна нулю. Если геометрия тела меняется (например, в случае деформируемого тела), то,) А" оо О. ьи Работа внутренних снл тренин сочлененных тел. В ряде механических систем, конструктивные элементы которых могут двигаться один относительно другого, между движущимися телами возникают силы трения скольжения (рис.
15.31). Эти силы приложены к разным телам (Р ) к телу А, Ро(о к телу В), поэтому при рассмотрении движения каждого тела отдельно они будут внешними, а при рассмотрении совместного движения тел— внутренними. Рнс. 15З1 Вычислим работу внутренних сил трения в этом случае. Пусть тело А движется со скоростью р, а тело В скользит по нему в том же направлении с относительной скоростью й. Между телами возникают силы трения скольжения )', и Рз, причем, О) ()) согласно третьему закону Ньютона, 7; =-71 .
Применив фор- -О) — (О мулу (15.90), получим АД = )1г(о р+Р(" (р+й))й= Я() [р-(р+й))й= о о =-Я(о йй. о 391 Поскольку ий = ся, где з — перемещение тела В относительно тела А, то мг уп) ~')го) ) м, При по анной силе р ния А02) =-Ь;0)я. Работа силы при поступательном движении твердого тела. При поступательном движении твердого тела векторы скоростей, а также элементарные перемещения всех точек тела одинаковы.
Тогда элементарная работа силы Ы А(Р) = Ь' т, Ж = Р )ч)) = Г с) Р . Полная работа силы на каком-либо перемещении будет А(Г)= ~ЖР. и„ Работа силы при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси. Разложим силу Г, приложенную в произвольной точке М тела, по осям т, л, Ь естественного трехгранника (рис. 15.32): Рю ~и ь' Работы составляющих силы по нормали и бинормали равны нулю, ибо они направлены всегда перпендикулярно к вектору скорости точки М приложения силы. Следовательно, элементарная работа силы Р совершается только ее составляющей Р, по касательной к траектории, т.
е. а'А(Г) = Ь;с)з . Поскольку ~Ь = Ь пф, то ЫА(Г) = Р,ЬИф, где Ь вЂ” кратчайшее расстояние от точки приложения силы до оси вращения. Учитывая, что Г,Ь = М (Р) — момент силы относительно оси Оя, получаем а'А(Р) =М (Г)йр. 392 Таким образом, элементарная работа силы, приложенной к какой-либо точке тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна произведению момента этой силы относительно оси вращения на дифференциал угла поворота тела. Полная работа А(Г) = ) М. (Р)йр . о В случае, когда момент силы относительно оси вращения тела постоянен, полная работа А = М,~р. Мощность силы в рассматриваемом случае а'А М„(Р)ЫЧ й й где ез. = Йр/сй' — проекция на ось Ог угловой скорости тела. Работа силы в общем случае движения свободного твердого тела.
Скорость точки М приложения силы Р (рис. 15.33) в рассматриваемом случае равна й=й, +акр, зэз где Р, — скорость полюса А; г = АМ . Тогда ЫА(Р) = Г Р|й = Р ° Р, |й + Р (а х Р) сй . Рис. 15ЗЗ Так как Р„|й = в( г,, Г (|в х г) = а . (г х Г) = в . Мх (Р), то или И'А(Р) = Р И г, + М„(Г)|йр, где М„(Г) — проекция ММл(Г) на вектор е»; |йр — элементарный угол поворота тела вокруг мгновенной оси относительного вращения. Таким образом, элементарная работа силы, приложенной в какой-либо точке твердого тела, в общем случае его движения равна сумме элементарных работ на элементарном поступательном перемещении вместе с полюсом и элементарном вращательном перемещении вокруг мгновенной ос|4 проходящей через полюс.
394 Работа системы сил, приложенных к твердому телу. Пусть к твердому телу приложена система сил (р!, Г,,..., Г ). Вычислим сумму элементарных работ сил, составляюших систему: н и ХЫА(Р)=Х(Р Ыг,+а М,(Р,М)= »=! »=! — »(г„+ а '> М„(Р») Ф, т. е. а!'А(Р»)=Я ° Иг, +»с Е,й, (15.91) »=! и и где Я =~У», Х„= , 'Мл(Р») — главный вектор и главный »=! »=! момент системы снл относительно полюса А. Таким образом, элементарная работа системы сил, приложенных к твердому телу, равна сумме элементарных работ главного веюпора на элементарном поступательном перемещении вместе с полюсом и главного момента (относительно пюго же полюса) на элементарном вращательном перемещении вокруг мгновенной оси, проходящей через полюс. Так как главный вектор и главный момент внутренних снл равны нулю, то из формулы (15.91) следует, что сумма работ (как элементарных, так н полных) всех внутренних снл, приложенных к твердому телу, равна нулю.
Теоремы об изменении кинетической энергии Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки. Движение точки массой т под действием силы Г определяется уравнением а% т — =Г, »й которое можно также записать в виде тЖ=ЙЭ. (15.92) Умножив обе части уравнения (15.92) скалярно на р, после преобразований 395 з олчБ' = И вЂ” рз = с( —, Г эс(з = Г . 4г = а<'А(Г), получим И вЂ” =а<А(Г). (15.93) 2 Формула (15.93) выражает теорему об изменении кинетической энергии точки в дифференциальной форме: дифференциал кинетической энергии точки равен элементарной работе силы, действующей на точку. Разделив обе части уравнения (15.93) на <й, получим еще одну запись теоремы об изменении кинетической энергии точки: йТ вЂ” =1Г.
<й Интегрируя обе части уравнения (15.93) по криволинейной траектории от положения М до М(см. рис. 15.29), имеем Т вЂ” Т =А(Р), где Т, Т, — кинетическая энергия точки в положении М и Мя соответственно. Формула (15.94) выражает теорему об изменении кинетической энергии в интегральной форме: изменение кинетической энергии точки на любом перемещении равно работе силы, действующей на точку, на том же перемещении.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
