Termeh (523129), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Рне. 1вл7 В проекциях на оси подвижной системы координат СХКс имеем я.( ) н ~~~~~х ~, ,)г (Р (г) ) ~(г) . а( йг-(г) н ( г ~," М ( -(г) ) ,(.) . (15.64) й ем йг~(г) и — = ~„М,х(Г„(") ) = Ь(",,). (й' Уравнения (15.64) выражают теорему об изменении главного момента количеств движения механической системы относитель- 25 зэк.
16 369 но осей, проходящих через центр масс, при относительном дви- жении механической системы по отношению к центру масс. Законы сохранения главных момешпов количеств двимсения системы Законы сохранения моментов количества движения и глав- ных моментов количеств движения при движении материальной точки и механической системы записываются одинаково, так как материальная точка есть механическая система, состоящая из од- ной точки.
Рассмотрим частные случаи теоремы об изменении главного момента количеств движения механической системы. 1. Пусть главный момент внешних сил системы относитель- но центра О равен нулю, т. е. Х® = О. Тогда, согласно (15.59), ~~о а':г Интегрируя (15.б5), получаем Ко = сопз1, т. е. главный момент количеств движения механической системы относительно центра О постоянен по модулю н направлению. Это уравнение выражает закон сохранения главного момента количеств движения механической системы относительно центра О в векторной форме: если главный момент внешних снл относительно неподвижного центра О равен нулю, то главный момент количеств движения механической сиртемы относительно этого центра постоянен по модулю и направлению.
В проекциях на оси прямоугольной декартовой системы координат получаем уравнения К.=С,; К =С,; К,=С„ которые выражают законы сохранения главных моментов количеств движения системы относительно осей координат (частные случаи теоремы об изменении главного момента количеств движения системы относительно осей координат) и представляют собой первые интегралы дифференциальных уравнений для механической системы. 2. Пусть сумма моментов внешних снл, действующих на механическую систему, относительно оси Ох равна нулю, т.,е. .с!О = О.
Тогда, согласно (15.60), сКК, — '=О;К, =сопя!. аг Следовательно, если главный момент внешних сил, действуюших на механическую систему, относительно какой-либо оси равен нулю, то главный момент количеств движения механической системы относительно этой оси постоянен. Если рассматривается тело или система тел, вращающихся вокруг неподвюкной оси Ох с угловой скоростью в, и ь! = О, то К, = У,го, =сопз1. Если в начальном состоянии угловая скорость и момент инерции системы относительно оси Оз будут соответственно гам 'и .1„, то .~леезш = сопз1 н,у~а!1 =.у~О~Ог. (15.66) Скамья Жуковского позволяет продемонстрировать закон .сохранения главного момента количеств движения системы относительно оси. Человек с грузами в руках встает на скамью (платформу), которая приводится во вращение вокруг неподвижной оси Ог с угловой скоростью ез„„ при этом руки человека с грузами опущены, момент инерции равен,У,а.
Так как силы тяжести Р и Р, человека и платформы параллельны оси вращения, а реакции Я„ Яо ее пересекают (рис. 15.18), то 15'! = О и выполняетея закон сохранения (15.бб). Если человек разведет руки с грузами, т. е. его момент инерции относительно оси Ох станет больше (,У, > У,р), то угловая скорость ш, всей системы (человек, грузы, скамья) уменьшится Е г Е30г Если главный момент внешних сил относительно оси СУ, проходящей через центр масс, ф' = О, то после интегрирования уравнения (15.64) получаем 37! Кся =сопв1. (г) Закон сохранения главного момента количеств движения относительно центра масс использузот акробаты, прыгуны, танцоры для создания вращения.
Применяется он и в космической технике. Орнмер 1ХА. Однородная пластина массой м, нмеет наклонный пах внутри которого может двнгаться матернальная точка М массой и. Пластнна приводится во вращение вокруг неподвижной осн Аг с начальной угловой скоростью ае, матернальная точка прн атом находится в положеннн Ме (рнс. 15.19, а).
Определять угловую скорость плажь стнны в момент, когда точка М вылетает нз паза. Трением н массой материала паза пренебречь. Принять м, =10ж, ве 5,2 рад/с. Ревякина Воспользуемся теоремой об измененнн главного момента количеств двнження снстемы относительно осн Ая. Рне.15.18 Механнческая система состоит нз пластины н матернальной точкн. Внешннмн дла системы являются силы тяжести Р, Р, н реакпнн опорА нВ. Моменты снлтяжестн н реакцнй опор А н В относнгельно осн Аг равны нулю, так как силы тяжестн парал- н лельны, а реакции опор пересекаот ось Ан т. е. ~~ М,(Р~01)=0.
Согласно ы! (!5.60), =0 н К, =сопзг. аК„ Аг Определим теперь главный момент колнчеств двнження системы относительно осн Аг в произвольный момент времени: К, =К, +К„. Главный момент количеств двн1кення пластнны «» ')Ж момент количества двнження материальной точян М к„-м,(е), где У. — момент ннерцнн пластины, .7, = м,а (3. 2/ Так как с =тр= и(г, +р„)=мр +ю$9, то К,, = М,(тР,)+ М,(тР„) . 372 а леша 2 Рис. 16.19 Вектор вгр, во все врака двиаеииа точки М пересекает ось Аг, поэтому М,(мр,) ~ О.
Оюычатевьпо получаем г Х,р *М,(ле,) ею,~ — +лапа)юлг~ — +зава сг„ 121 К,= .1,+в~ — +яоша~ о=С,. (а Тогда в = . в при Оьззшаь —. аз(4е +Зт) а с з о 2' 4т а +12е~ — +аяша~ г ~а 1 При вылете точки Миз паза за(па а/2, следовательно, е, аз/3+таз/4 4е, +Зе в,= з во= во,. т, аз/3+ таз 4(е, + Зе) или в, = — во = — 5,2=4,3 —. 43 43 рад 52 52 ' ' с На рис. 15.19, б изображена зависимость во вс(з) Пример 15.5. Орбитальная космическая станция совершает вращение вокруг своей оси симметрии с угловой скоростью в.
Вокруг оси С2 раскручивается до отиосишльной угловой скорости в10 по отньшению к спшции маховик. Отношение моментов инерции стан'ции и маховика .lо/.1„= 200 (рис. 15.20). Определить в1з1, если требуется погасить угловую скоросзь специи в 1О раз, Решении Пуси силы притяжения, действующие на космический аппарат, приводатся к равнодейству(ошей, проходящей через ' его центр масс С. Тогда Х~~1 О. Главный момент количеств движеюе системы опюсительно поступательно перемещающейся оси СУ постоянен: Кст совз1.
Рнс. 15.20 374 Постоянную С, определим из начальных условий (при 1= 0 з О, во во)' До раскручивания маховика «гг =(л + 7 )м после раскручивания Ксг '7с +'1н~ +а г С~ Н О1 ' 10 "(10 но К,„ = К,» . <о> Откуда во~ = ' " 0,9в=1809е. 3 +l г .l„ Теорема об изменении главного момента количеств движении механической системы длл подвижной системы координат В полученном ранее уравнении (15.59), выражающем теорему об изменении главного момента количеств движения механической системы относительно неподвижного центра О, производные взяты относительно инерциальной (неподвижной) системы координат.
В подвижной системе координат уравнение (15.59) приобретает вид ' ° +ЮхКо=Х~;1. (15.б7) С11 Здесь оз — мгновенная угловая скорость подвижной системы , аКо координат; — локальная производная по времени от главного с(г момента количеств движения системы относительно центра О. В проекциях на оси подвижной системы координат получаем с(К вЂ” х+(сох К ) о х — х Ж'„ — "+ (оз х К ) = 1."; о г — т оКг (о' Ко ) г ~г В подвижной системе координат выражение (15.61) для подвижной точки примет вид 375 ЙК, ' + гох Кх+тя ха =А„'.
с1Г Движение точки лед действием центральной силы Площадь Ь6 части конической поверхности, ометаемая радиус- вектором г за время Ьг, приближенно равна площади треугольника ОММ, (рис. 15.21). Наряду с вектором р, используемым в кинематике точки, введем понятие секторной скорости р, точки. Средняя за время Ьг секторная скорость О Рнс. 15.21 "чм а секторная скорость точки М в момент времени г Ь6 46 Р, = 1пп — = —. (15.68) м- оЬ1 При Ьг-+О вектор Ь6 приближенно равен по модулю площади треугольника ОММ, и направлен перпендикулярно плоскости ОММ, в сторону, откуда движение радиус-вектора г представляется происходящим против направления движения часовой стрелки.
Для Ь6 можно записать 1 Ьо м — (г х Ьг), 2 тогда Ь6 1 . ( Ьг1 1 1— Г, = 1пп — = — !1щ~гх — = — (гхй)=-Мо(Р), (15.69) м- о Ьг 2а-а~ Ьг! 376 Секторная скорость. Рассмотрим положения материальной точки М в моменты времени 1 и 1+ ЬГ при ее движении по траектории, которые характеризуются радиус-векторами г(1) и г, =г(1+Ьг). где М„(Р) — момент скорости точки Мотносительно центра О. Вектор Р, приложен в центре О и его направление определяется направлением векторного произведения (15.69). Модуль вектора секторной скорости вычисляют по формуле 1 Р =-гтз)п(г, Р). 2 Если точка М движется в плоскости и центр О находится в этой плоскости, то вектор м, перпендикулярен этой плоскости. Из кинематики точки в полярной системе координат л (рис.
15.22) известно, что тгйн(, Р) = г„, но я = гф, поэтому 1 Р = — Гф. 2 (15.70) Рис. 1522 24 звс и 377 Формула (15.70) выражает секторную скорость т, в полярной системе координат. Теорема плошадей. Запишем выражение для момента количества движения материальной точки (15.36), используя формулу (15.69) для секторной скорости: 7со = Мо Я) = г х тй = 2тг .
Преобразуем уравнение (15.54), выражающее теорему об изменении момента количества движения материальной точки относительно центра О, с учетом (15.71): а'10 — о =2т — =Рх 7т, (15.72) сФ ЙЕ или И» 2т — =М (г). о (15.73) Записанную в виде (15.73) теорему об изменении момента количества движения материальной точки называют теоремой плои1 идей. Движение точки под действием центральной силы.
Рассмотрим движение точки М массой ж под действием силы Р, линия действия которой проходит через центр О во все время движения точки М (рис. 15.23). Такую силу называют центральиой. Центральными являются силы взаимодействия Солнца с планетами Солнечной системы, в частности с Землей. Рис. 15.23 Согласно определению центральной силы„момент силы Г относительно точки О М„(г") = г х Р = О, 378 и из (15.72) следует, что Ыко =О, или ко =сопз1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
