Termeh (523129), страница 47
Текст из файла (страница 47)
где поверхности уровня расположены гуще. 403 Силовой линией называют кривую, касательная Т к которой в каждой точке параллельна силе Р стационарного силового поля в данной точке. Несложно записать дифференциальное уравнение для силовой линии. Действительно, иР Р поэтому (! 5.106) Р'„(х,у,г) Р' (х,у,г) Р;(х,у,г) Уравнения (15.106) представляют собой дифференциальные уравнения для силовой линии стационарного силового поля. В случае потенциального поля уравнения (15.106) примут вид Отмеченные свойства поверхностей уровня и силовые линии позволяют наглядно представить картину распределения сил в потенциальном силовом поле.
Определение силовой функции, нотеициальной энергии, поверхностей уровни и работы сил Рассмотрим примеры нахождения силовой функции, потенциальной энергии и поверхностей уровня для однородного поля силы тяжести, поля линейной силы упругости и ньютоновского гравитационного поля. Для вычисления работы этих сил вначале покажем, что элементарная работа является полным дифференциалом, т. е. г('А = Лl, а затем проинтегрируем Лl Однородное поле силы тяжести. Рассмотрим материальную точку массой т, находящуюся в однородном поле силы тяжести. Направим ось Ог вертикально вверх, а оси Ох и Оу произвольно в горизонтальной плоскости (рис.
15.35). Проекции силы тяжести Р =та на оси координат будут равны Р„=О; Р„=О; Р = — тя 404 Рис 1535 Элементарная работа силы тяжести с1А = Рак + Р йу + Рй = — тфх = с1( — т8я) . (15.107) Так как элементарная работа силы тяжести является полным дифференциалом и ЫА =сШ = — ЙП, то, интегрируя (15.107), находим (7= — т8я+С,; п= ~-с,; (15.108) м2 ч А = )(Р„Их+ Р сну+ Р.дх) = — т8 ~~й= — т8(г, — я,), М~ ч где А — работа силы тяжести материальной точки массой т на перемешеннн М,Мз . Уравнение (15.108) можно представить в виде А = — т8Н, где Н = г, — я, — высота подъема точки.
Если точка М, расположена выше точки М,, т. е. при дви- жении точка опускается, то работа силы тяжести положительная,. в противном случае — отрицательная. Таким образом, А =+т87г, (15.109) 405 следует г = сопзг. Поле линейной силы упругости. Линейная сила упругости (рис. 15.36) подчиняется закону Гука: Г = — сР, где с — коэффициент упругости; г — радиус-вектор точки М отсчитываемый от точки равновесия, где сила равна нулю. Элементарная работа этой силы 3 ') — ( сг ) И'А = БУ = — сИг = И вЂ” —, (15.110) так как Иг =Ы вЂ” (Р )=с1 — г =пЬ .
Интегрируя (15.110), нахо- -2 1 2 2 2 дим сг У= — — +С 2 сг П= — +С„ 2 м, л А = )(-сто) = — фй = — — (гзз — г,'), и, (15.111) т. е. У= — — (х +у +х )+С„ с г з з П= — (х'+у'+х')+С . 406 где знак «+» соответствует перемещению точки вниз, а знак « — »вЂ” перемещению вверх ( Ь = )Н( = (х, — х, (). Как следует из формулы (15.109), работа силы тяжести не зависит от формы траектории, по которой перемещается точка приложения силы. Работа силы тяжести равна нулю, если точки М, и Мз совпадают (траектория — замкнутый контур) или расположены в одной и той же горизонтальной плоскости. Поверхностями уровня У(х, у, х) =С однородного поля силы тяжести будут плоскости, перпендикулярные оси Ог, а силовыми линиями — прямые, параллельные оси Ог, так как из У= — гляг=С Таким образом, силовая функиия и потенииальная энергия линейной силы упругости является квадратичной формой координат точки М отсчитываемых от положения равновесия.
Как следует из формулы (15.111), работа силы упругости не зависит от формы траектории, по которой перемещается точка. При перемещении же точки из положения равновесия работа силы упругости будет отрицательной: с А= — — г . 2 Поверхностями уровня У(х, у, г) =С линейной силы упругости будут концентрические сферы с центром в начале координат, а силовыми линиями — прямые, проходящие через начало координат, так как из з г г У= — — (х +у +х )=С 2 следует х +у +г =сопз1. Ньютоновское гравитационное поле. На материальную точку М массой т действует сила тяготения, направленная к центру Земли и равная К =к/гз, где г =ОМ (рис. 15.37). Для Земли 407 /с = тйгэ, где г — радиус Земли, я — ускорение силы тяготения на ее поверхности, поэтому сила гравитационного поля Земли, действующая на точку М обратно пропорциональна квадрату расстояния от материальной точки до центра Земли (для случая г > г, а также в предположении, что Земля — однородный шар либо шар с концентрическим распределением масс), т.
е. „2(„г Рис. 15З7 — к Введем единичный вектор г,. Тогда Г = — го и так как 2 г = гго, то Р' = — яг/г . Элементарная работа силы тяготения Отсюда силовая функция У= — +С,, Г а потенциальная энергия П= — — +С . 2' г Поверхностями уровня У(х, у, х) = С ньютоновского гравитационного поля будут концентрические сферы с центром в на- чапе координат, а силовыми линиями — прямые, проходящие через начало координат, так как из У=к/г=С следует г= х +у +я~ =сопя(,или х +у'+х' =сопз1. Отметим, что изложенное в 9 15.7 применимо как для одной материальной точки, так и для механической системы, так как выполняется закон суперпозиции силовых полей. Закон сохранения механической энергии Пусть все силы (как внешние, так и внутренние), действую- щие на механическую систему, потенциальны, т.
е. существует функция У(х„у„г„..., х „у„, г„), такая, что Г„, = —; Г, = —; Г, = —, (15.112) дУ дП дУ где Р с'+Р'„г)'+ Рай = à — равнодействующая всех сил, при- ложенных к х-й точке. Теорему об изменении кинетической энергии системы в дифференциальной форме представим в виде У ДТ=,) Р~ Д~~, СС44 где Рь ДЦ, =(Р, +Р' )Дг1. (е) (с) Так как, согласно (15.112), У Ф ХГА 'Д% =Х(рьдхк +ГЬДуи +РЪДгсс) = "ГдП дП ди — Дхь + — сф» + — Дг) = сШ, ,,~дх„ду, д, то уравнение (15.113) примет вид ДТ = сП1, или ДТ+ДП=О, где П = — У(х„у„г„..., х,, у,, г, ) + сопя( — потенциальная энергия системы.
Следовательно, 26 зак. !б 409 г1(Т+ П) = О, отсюда получаем Т + П = соп81 Е = Т + П = Т, + П, = соп81 . (15.114) Сумма кинетической и потенциальной энергии называется полной энергией Е механической системы. Системы, для которых выполняется закон. сохранения механической энергии, называются консервативными.
Формула (15.114) выражает закон сохранения механической энергии для механической системы: если все силы, действующие на систему, потенциальны, то при движении системы ее полная механическая энергия постоянна. Следует отметить„что закон сохранения механической энергии справедлив и в том случае, когда кроме потенциальных имеются и непотенциальные силы, но которые при движении системы не совершают работы. Пример 15.8. Груз ! массой л!! с помощью нерастюкимой нити, переброшенной через блок 2 массой л!з, приводит в движение ступенчатый каток 3 массой ш! (рис.
15.38), Нить намотана на меньшую ступень катка, радиус которой г, и по блоку 2 не скользит. Каток, большая ступень которого имеет радиус Я, катится без скольжения по горизонтальной плоскости; его радиус инерции относительно центра масс р, а коэффициент трения качения Ь . Определить скорость груза в зависимости от высоты его опускания л, если в начальный момент система покоилась. Трением в оси блока, а также массой нити пренебречь. Принять, что масса блока равномерно распределена по ободу. Реп!ение К движению механической системы, состоящей из груза, нити, блока и катка, применим теорему об изменении кинетической энергии в форме (15.97): и п Т = ч! Аь!'1 +~г Аь!'!, ь=! ь=! в которой Та = О, так как в начальный момент времени система покоилась.
Обозначим через Т,, Т, и Т, кинетическую энергию соотвегстаенно груза, блока и катка после опускания груза на высоту Ь. Тогда 2, 1 2, 1 2 1 2 Т, = — ш!кэ,' Т! = — 2а,юз; Т, = — тз"с+ 2схюз 2 2 2 2 где .Уа, = я!згз; гз — радиус блока 2; .!сз- -я!зр . з, 2 Тш! как нить нерастяжима и относительно блока и катка не скользит, то 410 гл = азгз = го . При качении катка без проскальзывания его МЦС находится в точке соприкосновения с неподвижной плоскосп,ю, тогда (см. рис. 15.38) го =~Ъ(й+г)' гс =азй. Таким образом, а2 аз гс га гл Н+г Вег и, следовательно, кинетическая энергия системы 2гл 1 )г 2 1 Р Т=Т+Т+Т = — аг + — а г — + — аз г + — аз з=2 ~ л 2 22 гз 2 (о+г)2 л 2 ()1+г)2 х ° 1( й +Р Т= ~а!+аз'газ 2 ~уА ° 2~ (й+г) ! Работа внутренних снл каждого из твердых тел, а также работа сил натяжения нити равны нулю, тогда для всей рассматриваемой системы Ф ,'Г А„оз =О. зм ы 1 1 Рис.
15З8 2б* 411 Работа силы тяжести Рз блока и работа реакции Вл его оси равны нулю, так как эти силы приложены к неподвижной точке В, Сила тяжести катка Р, = е»зя перпендикулярна перемещению, а силы реакции поверхности У и Р' (см. рис. 15.38) приложены к МЦС, поэтому их работа также равна нулю. Таким образом, из внешних сил, действующих на систему, работу совершшот сила тяжести груза Р, = л»)я и момент трения качения М~, препятствующий качению катка по плоскости, т. е. , У ~А»!') =т)я)»-М„«Е, »-! где !р — угол поворота катка при опускании груза 1 на высоту )». Ь Поскольку И = ЬР» = Ьтзя, а )р = —, то Я+г Х А» = т)я)»-Ь)лзя —.
!е) Ь » ! Н+г Подставив найденные соотношения в уравнение (15. 115), получим 1 ш)пр«з = шзпрФ) где т)ч, тзп — приведенные массы системы, Я~+р Ь л))пр =ш)+шз+л)з з рлзпр ш! лзз (В+г) Я+г Отсюда скоросп груза ~раз пр «„у~и — . «»)«« 15.8. Примеры использовании общих теорем динамики Общие теоремы динамики применяют для составления динамических дифференциальных уравнений движения механической системы при заданных внешних силах для выбранных обобщенных координат. Решение получают интегрированием уравнений движения в виде зависимостей зтих координат от времени, определив произвольные постоянные из начальных условий задачи.
После этого находят скорости и ускорения тел, а следовательно, и силы, действующие в системе. В ряде практических задач движение по одной или нескольким обобщенным координатам бывает задано кинематиче- 412 ски. В этом случае определяют движение по остальным координатам, а также силы, вызвавшие движение, заданное кинематическим уравнением. Как и выше, находят все кинематические параметры системы и внутренние силы. В этих задачах некоторые начальные условия определены заданными кинематическими уравнениями. В ряде случаев из дифференциальных уравнений движения механической системы получают первые интегралы, т.е. решения в виде функций (равных произвольным постоянным), в которые не входят ускорения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
