Termeh (523129), страница 44
Текст из файла (страница 44)
4(Г В проекциях на оси прямоугольной декартовой системы координат, согласно (15.37), имеем к„=т(уг — гу)=С,; к =т(гх — хг)=С2; (15.75) к. =т(ху — ух)=С . С,, С,, С, — постоянные. Умножая первое уравнение (15.75) на х, второе — на у„третье— на г и складывая полученные выражения, получаем хА„+у~с„+гй, =С,х+С,у+С,г=О, Отсюда Но р, = — =сопят, й а следовательно, Ыо ч = — =С, ог (15.76) или ". = — ~о(й) = 1 (15.77) Интегрируя (15.76), получаем(при г=О о =о ) о=о, +Сг. Уравнение (15.76) выражает закон, или интеграл площадей: при движении материальной точки под действием центральной силы секторная скорость точки постоянна, о значит, площадь, ометаемая радиус-векпюром точкт4 пропорциональна времени движения точки. 24* 379 т. е. координаты точки М(х, у, г) удовлетворяют уравнению плоскости, проходящей через начала координат. Итак, траектория материальной точки, движущейся под действием центральной силы, является плоской кривой, лежащей в плоскости, проходящей через центр силы.
Закон площадей. Согласно выражениям (15.71) и (15.74), йо = 2тр = сопят . В полярной системе координат закон площадей имеет вид г ф = сопят . Пример 15.б. Рассматривая планету Солнечной системы как материальную точку, движущуюся по эллипсу, в одном иэ фокусов которого находится Солнце, определить отношение наибольшей и наименьшей скоростей планеты (рис. 15.24). Рнс. 15.24 Решение. Согласно формуле (15.77), Мо(р) = сопи, нли г„нк = г к ,.„.
Отсюда г„,„/»„и = г /г н, т. е, отношение наибольшей и наименьшей скоростей движения планеты равно отношению наибольшего и наименьшего расстояний планеты ог Солнца Теорема Резала Теореме об изменении главного момента количеств движения механической системы относительно неподвижного центра О, определяемой выражением (15.59), можно дать кинематическое толкование. Запишем формулу для вычисления скорости движущейся точки М(рис. 15.25, а): с/У к= —. с/1 Здесь скорость к точки является также и скоростью конца радиус- вектора г, проведенного в точку М, при движении по годографу этого вектора, а траектория точки М и есть годограф радиус- вектора г .
380 о о б Рнс. 1585 Выражения для г и Ко позволяют трактовать производную по времени от вектора главного момента количеств движения системы как скорость движения конца этого вектора по годографу главного момента количеств движения системы (рис. 15.25, б), т. е. С(3~о — =й. с(г Возвращаясь к уравнению (15.59), получаем й=Г' о . Это и есть математическая запись теоремы Резали: при движении механической системы скорость конца вектора главного момента количеств движения системы относительно некопюрого центра при движении по годогра(ру этого вектора геометрически равна главному моменту всех внешних сил, действующих на систему, относительно того же центра.
В В виде теоремы Резвая можно также записать теорему об изменении главного момента 4;" количеств движения механиче- к'"' с ской системы для ее относительного движения (см. (15.бЗ)): — ((р С ив= с (рис. 15.26). Рнс. 15.26 381 15.6. Теорема об изменении кинетической энергии Кинетическая энергия Кинетическая энергии точки и системы. Кинетическую энергию материальной точки массой т, движущейся с абсолютной скоростью р, определяют по формуле т — т!»г(2 гдето =Г .
Кинетическая энергия механической системы равна сумме кинетических энергий всех точек этой системы: " тгт~г т=~ — ''. (15.78) Ь! Кинетическая энергия — положительная скалярная величина. Единицей измерения кинетической энергии в СИ является джоуль . Теорема Кенига. Рассмотрим движение механической системы в неподвнлаюй системе отсчета Охуг (рнс. 15.27). В качестве подвижной выберем систему СХУ2,' с началом в центре масс— точке С, движущуюся поступательно вместе с центром масс.
Абсолютное движение механической системы при этом можно рассматривать как совокупность переносного (вместе с центром масс) и относительного (по отношению к центру масс) движений системы. Для любого момента времени положение произвольной точки Мг системы по отношению к неподвижному центру О определяет радиус-вектор гг =Рс+Рг» где рг — радиус-вектор точки Мг по отношению к центру масс С (см. рнс. 15.27). Продифференцировав это равенство по времени, найдем абсолютную скоросп произвольной точки системы -и) тг =тс+чг 1Да=1Н и 382 где т2О) = ()) ри/(й — относительная скорость точки (в данном случае полная производная по времени от р„равна локальной, так как система СХУУ движется поступательно, т.
е. а„=О). Рис. 15.27 Учитывая, что квадрат вектора равен квадрату его модуля, преобразуем выражение (15.78) к виду 2 1 -2 1 -2 — -(г) Т= —,) т2(г„=-~ т р„= — ~~~ тьрс +,) т2)г(!Ог2" + г,, 2,, г,, 2=! + —,1 т 1)г,(")) . г„., ' ' Здесь и и Х = Х -(г) — % -(г) — %'~ ~ РА ~2 "(: г2 К( ~2 "2 — "(: А! 2! 221 ~(и = Р(! —,) т2 р2 = О, 'а~,, 383 поскольку сумма статических моментов масс точек относительно и центра масс ~ч/ т„р„= О.
/с ! Таким образом, (15.79) где М =,) т — масса механической системы. /с=! Формула (15.79) выражает теорему Кенига: кинетическая энергич механической системы в ее абсолютном движении равна сумме кинетической энергии центра масс, в предположении, что и нем сосредоточена масса всей системы, и кинетической энер- гии движения системы относительно центра масс. Кинетическая энергия твердого тела. При поступа- тельном движении твердого тела скорости всех его точек одинаковы и равны скорости центра масс, поэтому и 2 и 2,2 и Т=~ ~~=) ~' = — '~/т = — Ме2, 2 „., 2 2/ы 2 где М вЂ” масса твердого тела. При вращении твердого тела вокруг непод- вижной й оси скорость его произвольной точки У/ = 0262, где 7/, — кратчайшее расстояние от точки М„до оси вращения.
Тогда и 2 и Т = -,") т и„= — '! т„)2„' = -.У„/е 2„, 2„., 2 где .У. = ) т„й„— момент инерции тела относительно оси 2=! вращения Ог. При плоском движении твердого тела, которое можно рассматривать как совокупность поступательного движения вместе с центром масс С и вращения вокруг подан!кной оси СУ, движущейся поступательно вместе с центром масс, относи- тельная скорость произвольной точки тела г„ = ай„, и, следоьч вательно, согласно формуле Кенига, 2 1 2 + Усев ю 2 ' 2 где У, — момент инерции тела относительно оси С2.
При сферическом движении твердого тела скорость произвольной точки определяется формулой Эйлера Р = вхг„. (15.80) Преобразуем формулу (15.78) с учетом выражения (15.80) Т = Ч~ = -,1 тр„(а х г ) = - ) а (г„х тЯ ) = (15.81) х = — в ) гхтй = — в.Ко. 2 2 я Здесь К„= ~ г„х т„г„— главный момент количеств движе- ния системы относительно неподвижной точки О. С учетом (15.46) кинетическую энергию твердого тела при сферическом движении (15.81) можно представить в виде т =-ЫЗ,а, —.У„в, -У.в,)+а,(-У„,а. + 1 2 " ' ' 'У ' "У ' (15.82) +,У,а —.У, а,)+а,( —,У„,в„—.У а +.У,а,)1, где,У„,У, ...,,У вЂ” осевые и центробежные моменты инерции твердого тела в системе координат Охуя (см.
гл. 14). Если оси системы координат Озфз направить по главным осям инерции тела для точки О, то, согласно формулам (15.47), выражение (15.82) примет вид Т= — (У в', +.У а'„+.У в'). (15.83) 2 В общем случае движения свободного твер- дого тела в пространстве, которое можно рассматри- вать как совокупность поступательного переносного движения вместе с центром масс и сферического движения по отношению к этому центру (рис. 15.28), относительная скорость произвольной 385 точки тела т„'"' =вхр„и, следовательно, согласно (15.79) и (15.81), кинетическая энергия тела Т=-Мт + — а.К 2 1 — от г 2 с Здесь К,." — главный момент количеств относительного движе- (г) ния относительно центра масс.
Отметим, что для кинетической энергии относительного (сферического вокруг центра масс) движения тела несложно пслучить формулы типа (15.82), (15.83). Рис. 1$.28 Таким образом, в данном случае кинетическая энергия твердого тела определяется как сумма кинетической энергии тела в его переносном поступательном движении вместе с центром масс и кинетической энергии тела в сферическом движении относительно центра масс.
Работа силы, мощность Изменение кинетической энергии механической системы связано с работой сил, приложенных к этой системе. Элементарная работа енлы. Пусть точка приложения силы Г перемещается по криволинейной траектории из положения 386 М„в положение М, (рис. 15.29). Разобьем перемещение точки М по дуге МоМ, на элементарные (бесконечно малые) перемещения аэ и определим работу силы на каждом таком перемещении Ы'А(Г)=БЬ сова, (15.85) где а — угол между векторами Р и Р вточке М. Рис. 15д9 Формула (15.85) определяет элементарную работу силы, обозначение а' используется для того, чтобы подчеркнуть, что выражение для элементарной работы не всегда является полным дифференциалом.
Величина ЫА скалярная, ее знак определяется знаком функции сова . Если а = и/2, то И А = О, если проекция силы направлена в сторону, противолежащую перемещению, то ЫА < О . Так как Р сова = Г,, то формулу (15.85) можно предста- вить в виде ИА=Р,сЬ. (15.86) Таким образом, элементарная работа силы равна произведению элементарного перемещения на проекцию силы на это перемещение. 387 Поскольку сЬ = )с(г~, то, согласно (15.85), И'А = ~Р( ~а г( сов а, нли ЫА=Р ЫР (15.87) Следовательно, элементарная работа силы равна скалярному произведению векторов силы и дифференциала радиус- вектора точки ее приложения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
