Termeh (523129), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Решение. Для нахождения главных моментов инерции составим определитель 329 .У,-). О О о У зк о Я й который должен быть равен нулю для нетривиального решения характеристиче- ского уравнения Из уравнений ,У,-Х=О; (./,-).)(.У,-Х)-.У„'=О находим 2Ма .У +,У У +.У з,з 4 и г х Ма 7Ма 12 12 Главные моменты инерции равны 2Ма' Ма 7Ма Ух= У.= ' Уг= — ' Ух= 3 12 12 Определим теперь уравнения главных осей инерции для точки О. Запишем систему уравнений: (,У„-"ь,)х=О; (У -ь,)у-.У х=О; —.У у+(.У, -7~,)к=О. Подставляя к, (где 1=1,2,3), получаем три решения; хиО, у=к=О; у-х=О, х=О; у+я=О,х=О. Из первого решения следует, что главная ось ОХ совпадает с осью Ох, второе н третье решения дают уравнения осей Оу и ОЕ угол а = ау 4.
Глава 15 ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ 15Л. Механическая система. Внешние и внутренние силы Реальные задачи динамики системы требуют изучения движения материальных точек и тел с учетом взаимного влияния их движений. Твердое тело представляет собой неизменяемую систему материальных точек.
Возможна модель механической системы, когда ряд тел в ней представляется материальными точками, а для других тел при движении необходимо учитывать именно свойства твердых тел. Движение механической системы всегда рассматривают по отношению к каким-либо системам отсчета (как инерциальным, так и неинерциальным). В декартовой системе координат положение системы, состоящей из Ф материальных точек, определяется совокупностью ЗФ координат х», у„г», где к=1,2,...,Ф. Для точки можно использовать, например, криволинейные координаты, а положение твердого тела определять с помощью углов Эйлера и координат некоторой точки тела (полюса). Если механическая система состоит из нескольких твердых тел, то ее положение задается координатами некоторых точек тел (полюсов) и значений углов Эйлера для этих тел.
Следует различать свободные и несвободные механические системы. На движение несвободных систем наложены связи. Для однозначного определения положения механической системы в любой момент времени необходимо иметь такие координаты, которые не связаны между собой какими-либо уравнениями. Если уравнений связей и, то для системы материальных точек будет ЗФ вЂ” и = л независимых координат. 333 теорелиь Главный вектор и р»7 М главный момент относительно (е ро произвольного центра внутренних сил механической системы равны нулю при любом состоянии механий ческой системы, т. е. в состоянии покоя или движения.
Доказательство. Точки системы М, и Мз взаимодействуют с силами Р)з", РД~ (рис. 15.1), приРнс 1Я.1 чем, согласно третьей аксиоме динамики (см. 3' 13.1), Р)з' =-Рз)' ~ ~и Р)з +Рн =О. О) (д О) (О С учетом всех взаимодействий точек системы имеем Уп +Рз)' =О, ..., Рн ) и+Рн'и ) — — О. (15.2) — (о — (о — (о — о) м, (15.1) Суммируя уравнения (15.2),получаем ;> Р,() =О. (15.3) 332 Независимые меясду собой параметры, однозначно определяющие положение системы в любой момент времени при движении, называют обобзценными координатами для механической системы. В качестве обобщенных координат могут быть выбраньз отрезки (в том числе и криволинейные) и углы.
Вне»иними силами механической системы называются силы, с которыми точки системы взаимодействуют с телами и точками, не входящими в данную систему. Внутренними силами механической системы называются силы взаимодействия между собой точек данной системы.
Рассмотрим механическую систему, состоящую из Ф материапьных точек. Равнодействующую внутренних сил, действующих на Ью точку, обозначим Р», внешних снл — Р»' . Внутренние (о и внешние силь( могут включать в себя активные силы и реакции связей. Здесь сумма внутренних сил, действующих на 7(-ю точку, приведена к равнодействующей Р;('. Таким образом, главный вектор внутренних сил механической системы М л(') =~ г,('=о. (15.4) (15.6) к )! ь(„" =~ м,(7('>)=о; ь(>> =~м,(7(о)=о; я-! (15.! 0) я ~(,'> = ~м,(г,('>) = о. 333 Рассмотрим сумму моментов сил К~', Гз!' относительно (ю) (~) точки О. Используя выражение ( 1 5 .
1 ) и векторное равенство г! = г, + М,м,, запишем Мо(Р!) )+ М()(Г~! ) = г, х Я)> +)> х Яз! ( ) «) — о) — (г) () (!) (15.5) = (); — г) ) х )г)з = Мзм! х Р)з = 0 (здесь векторное произведение равно нулю, так как векторы М М! н .Р!)') коллинеарны). Обобщая уравнение (15.5) для всех точек системы, имеем МоР(> )+МоР)! ) МоРй'-'ь,я)+ МоРй',и !) = О. Суммируя уравнения (15.6) и применяя теорему Вариньона для равнодействующей силы Г('>, получаем )) ~Мо(К~о))=0.
(!5.7) я=! Таким образом, главный момент внутренних сил механической системы относительно точки О равен нулю: Х(~>о =,) М,(Г~'))=~Р хГ~') =О. (15.8) lс ! я=! В проекциях на оси координат, согласно (8.6) и (8.10), имеем И я я Я( > 2,'Г~„') О. Я( > ~Г~>> О. Я('> '), Ги(> О. (15 9) А.! Ф=! )с ! 15.2. Дифференциальные уравнения движении механической системы Рассмотрим движение механической системы, состоящей из уточек. На точку М„массой л1, системы действуют равнодействующая внутренних сил Г„П1 и равнодействующая внешних сил г,,'"' (рис.
15.2). Ряс. 15.2 Дифференциальные уравнения движения системы материальных точек в векторной форме имеют вид Щ4 2" =6"'+6' п1 г (15.11) Й' или т„— ~ = Р„и1 + Г о1 ( 1 = 1, 2,..., Ф ), гле р4 — абсолютная скорость й-й точки. Систему Ф дифференциальных уравнений называют дифференциальными уравнениями движения механической системы в векторной форме. В проекциях на оси инерциальной прямоугольной декартовой системы координат Охи получаем ЗУ дифференциальных уравнений движения механической системы: 334 т»х =Г»," +Г»„'; т у' =Г»' +Г„'; (е) о), - (е) О) . т»х» =Г„+Г, (е) го Начальные условия имеют следующий вид: "рн о (15.12) х» = х»о У» = У»о х» = х»о (15.13) 15.3. Теорема о движении центра масс механической системы Запишем уравнения движения механической системы в в»ще т а» =г»(')+Р'„(') (1=1,2,...,М), (15.14) 335 х» = х»о~ У» = У»о х» = х»о.
Проинтегрировать систему уравнений (15.12) аналитически и даже численно очень трудно. Процесс интегрирования еще более усложняет то обстоятельство, что силы реакций связей, наложенных на систему, часто необходимо определять в процессе решения задачи о движении механической системы. Ряд задач небесной механики требует подробного знания движения точек во времени. Это задачи о движении двух, трех и более точек (тел) под действием сил тяготения. Здесь применимы уравнения (15.12).
Для решения некоторых других задач необходимо систему уравнений (15.11) преобразовать так, чтобы в них содержались зависимости некоторых обобщенных мер движения (количества движения, главного момента количеств движения, кинетической энергии) ог характеристик приложенных сил (главного вектора и главного момента относительно центра). Из таких уравнений часто удается исключить внутренние силы и найти необходимые решения, описывающие движение механической системы.
Получают эти уравнения из закономерностей, описываемых общими теоремами динамики для механической системы: о движении центра масс, об изменении количества движения, об изменении главного момента количеств движения, об изменении кинетической энергии. Теоремы формулируют для ннерциальных систем отсчета; если система неннерциальна, то это специально оговаривают.
где а, — ускорение к-й точки; Р,,!" ~, Г,!о — равнодействующие внешних и внутренних сил, действующих на к-ю точку. Просуммируем уравнения (15.14) по всем точкам механической системы: н + ~ р !Р (15.15) ь ! и Здесь главный вектор внутренних сил Я!'~ = ~Г~'! = О. /с=! Продифференцировав дважды по времени выражение (14.1) для определения радиус-вектора центра масс системы, получим М "с = Хт!с"~ (15.16) ь=! и Ма! = ~~~т~а, (15.17) ь.! где Р, — абсолютная скорость центра масс системы. С учетом (15.17) уравнение (15.15) примет вид н Ма =~Р<и =Ли!, ь — -! (!5.18) н где Ао! =,) Г„!и — главный вектор внешних сил, действующих ь-! 336 на механическую систему. Теорема о движении центра масс механической системы формулируется так: центр масс механической системы движется как материальная лючка, как бы обладающая массой системы, нод действием системы всех внешних сил, действующих на точки системы.
В проекциях на оси прямоугольной декартовой системы координат уравнения (15.18) имеют вид и и и Мхе = ) Гь!„"!; Муг =,') Рь~"!; МЫг =~ри!'!, (15.!9) ь-! ь=! ь=! где х, ус, г< — проекции ускорения а, центра масс механической системы. Из теоремы о движении центра масс вытекают два следствия. !. Если главный вектор внешних сил, действующих на систему.
равен нулю, т.е. Я("' =О, то из (15.18) следует, что с! р!. а! — — — —— О, откуда после интегрирования получаем Й Ыге р. = — '=с. Д! Интегрируя (15.20), находим г, =С,(+С,. (15.2! ) Постоянные С,, С, определяем из начальных условий: при г = 0 гс = г., Р!. = Р, . Для текущего момента времени при Я(' = 0 окончательно имеем "с "сс 'г гсо + "со( Таким образом, если главный вектор внешних сил, действуюгцих на точки механической системы, равен нулю, то центр масс механической системы движется прямолинейно и равномерно. Если Р! = О, т.
е. центр масс в начальный момент времени находится в покое, то (15.22) Рг =О, гс=г,е т. е. центр масс покоится в течение всего времени движения сис- темы при условии, что Я(г! =О. Замечение Воспользуемся условием (15.22) и запишем для текущего и пал л чального положений механической системы Мг, =~~~ м,гг и Мгг =к~~ л!гг! ы! (см, рис, 15.2). Вычитая из первого выражения второе, получаем и н Х мз(гг гго) = ~шзг!гз = О.
ы! Ф=! Следовательно, отдельные точки системы могут перемещаться при Я~'~ = О и покоащемся центре масс. 2. Пусть теперь проекция главного вектора внешних сил, действующих на систему„на одну из осей (например, ось Ох) 23 зак. !6 337 и равна нулю д«д! = ') Г~д) = О, тогда из первого уравнения (15.19) д=! следует а<т = х<. —— О, а значит т<з = х<. — — С,, х, =С,!+ Сз. Постоянные определяем из начальных условий: при 1=0 хг =х<е„т<т — — хг =х,е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
