Termeh (523129), страница 35
Текст из файла (страница 35)
(13.14) Из условия У = 0 находим моменты времени, соответствующие точке пересечения траекторий кресла и самолета при различных углах а . Решив численно трансцендентное уравнение У(с ) = (тс +Отсева)т[1-ехр(-с /т)]- Овсова с = О, 291 нз первого уравнениа (13.14) определяем координату Х(с*) = (и — 8т ми а)т(г'/т -! + ехр(-г*/т)) + а(г')'/2 . Ниже приведены рассчитанные значения г' и Х' при различных углах а: а,' 0 10 20 30 4,15 3,85 3,65 3,70 с', с 15,1 16,2 18,3 21,1 Х',м Таким образом, при падении кресла опасности его встречи с самолетом при а = 0...30' нет при условии, что расстояние от кабины до хвоста самолета менее 15 м. Пример 13.8.
Материальная частица М массой т движется в горизонтальной плоскости под действием лопатки вентилятора, вращающегося вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью ю (рис. 13.8). Лопатка выполнена в виде дуги окружности, радиус которой равен радиусу г вала; центр С окружности лежит на поверхности ват о и ла, а длины дуг АС и АВ равны меж- М ду собой и соответствуют углу к/3. Движение частицы начинается от корня А ~К (положение А) лопатки с начальной Ф относительной скоростью, полученной вследствие столкновения с лопаткой и ! равной гс = юг/2. Пренебрегая трением о поверхность т лопатки, определить относительную скорость, с которой частица отделится 0 от лопатки, и нормальное давление ее на лопатку в этом положении.
Реигение. Материальная частица (точка) совершает сложное движение. Переносным для нее является известное движение ротора. Требуется найти относительное движение точки вдоль Р .138 лопатки. Система отсчета, связанная с вращающимся ротором, является нсинерциальной, поэтому движение точки определяется векторным уравнением Й„ а„ и —" = тя + )у + Ф, + Ф„. а В проекциях на естественные оси ш ~Ь;/~(г = Ф, соя(п/6+ р/2); ш г, /г = Ф к + 19„; (13.15) 292 гле т,'=пз/й. я=АМ=па; Ф„=ты ОМ, ОМ=2«я(п(л/6+о/2); Фк=2тат',.
Первое уравнение системы (! 3.! 5), определяюзпее движение точки, можно привести к виду Й' /Й = Оъ «5)п(л/3+ц>). Полученное уравнение является нелинейным, однако, выполнив замену независимой переменной Иг,'/г(Г = (й „'/г(г) аЬ/(пар) = т, '«Ь„'/(гг(гр) и разделение переменных. можно найти его первый интеграл т, = С вЂ” 2сз'г~ соз(л/3+ е) .
В соответствии с начальными условиями (при е = О и я = О т„= ыг/2 ) по- стоянная интегрирования С = (сзг/2) + 2ы~г~ соя(л/3) = 5мзг /4. Таким образом, зависимость относительной скорости частицы от координаты имеет внд т, '= ы'г~(5/4 — 2соя(л/3+ е)1. В момент отделения от лопатки при е = л/3 относительная скорость частицы т' = ч (к/3) = Зсзг/2 и давление ее на лопатку () = -Ф„= 2тыт' — т(т') /г = тызг(3 — 9/4) = О,75тглт, 13.6.
Равновесие н движение материальной точки относительно Земли Все мы живем на Земле, поэтому задачи динамики движения материальных тел относительно Земли имеют исключительное значение. Так как к точности решения этих задач могут предъявляться самые различные требования, возникает необходимость установить, насколько существенным является отличие системы отсчета, связанной с Землей, от инерциальной. Движение Земли относительно ннерциальной гелиоцентрнческой системы отсчета является довольно сложным. Без учета эффектов, обусловленных влиянием Луны и планет Солнечной системы, Земля участвует в следующих движениях: обращается вокруг Солнца по близкой к круговой орбите радиусом около 150 млн км; вращается вокруг собственной оси с практически постоянной угловой скоростью, совершая один оборот в оупен.
293 Переносная сила инерции точки в системе отсчета, связанной с Землей, определяется формулой Ф„= — та,, = — т(а, + а," + а„" ) Ускорение ао от орбитального движения Земли вокруг Солнца составляет 5,9 10 ' м/с' . Влияние сил инерции от такого уско- рения может оказаться заметным лишь для весьма долговремен- ных движений точки. Если этим ускорением можно пренебречь, инерциальной становится геоцентрическая система отсчета. По отношению к такой системе отсчета переносная сила инерции определяется только нормальным ускорением а," во вращатель- ном движении Земли вокруг собственной оси: п 2 Ф„= тв гз соз чз = твт„, где а=2к/24 60 60=7,3 1О ' рад/с; г, =6370км — соответ- ственно угловая скорость вращения Земли и ее радиус; р — гео- графическая широта места; т„ — переносная скорость точки. Максимальное переносное нормальное ускорение имеют точки на экваторе (а„",),„= сз~г = 3,3 1О 2 м/с Свободная материальная точка может находиться в состоя- нии покоя относительно Земли при условии, что Р+Ф„" =О, т.
е. если сила тяготения Земли и переносная сила инерции урав- новешиваются. Такое возможно только для точки, которая нахо- дится в экваториальной плоскости Земли на расстоянии «от ее поверхности, при котором равны модули сил тяготения и инер- ции. На поверхности Земли сила тяготения точки массой т Р~ = —,=та, гз где д = 9,8 м/с — ускорение силы тяготения на экваторе. Тогда ! 2 на высоте л 2 те з =таз ("з+") гз ("з +") 294 и высота стационарной орбиты ~-,,~ЯД Я-~~=,,~Я~,!~.„"-~~ 160оо Условие равновесия несвободной материальной точки на поверхности Земли (рис. 13.9) помимо силы тяготения и переносной силы инерции включает реакцию связи: иф + Ф," ,+ У = 0 . Рве. 13.9 Равнодействующая двух первых сил есть вес тела. Она может быть представлена в виде тф' = т~ф — а,"), где ф' — ускорение тяготения с учетом неинерциальности (вращения) системы отсчета. Величина я' зависит от широты местности: максимально оно на полюсах, минимально — на экваторе.
Линия действия равнодействующей определяет местную вертикаль (т. е. линию отвеса в данной точке поверхности Земли). Только на полюсах и экваторе местная вертикаль проходит через центр Земли. Уравнение относительного движения материальной точки в системе отсчета, связанной с Землей, помимо веса и других приложенных сил включает также кориолисову силу инерции Ф„= — так = — 2т(ез хт„), 295 модуль которой зависит от ориентации вектора т,.
относительно оси вращения Земли. Значение кориолисовой силы инерции Ф» = 2лкег,. максимально при движении точки в плоскости, перпендикулярной оси вращения Земли, и не зависит от географического положения точки. На первый взгляд может показаться, что поскольку Ф» линейно зависит от ез (величины высокого порядка малости), кориолисова сила инерции велика по сравнению с Ф,", . В действительности отношение модулей этих сил определяется зависящим от географического положения точки отношением относительной и переносной скоростей: Ф„/Ф,", = 2 г„/»„, .
При движении точки по параллели кориолисова сила инерции направлена по той же линии, что переносная сила инерции Ф,", (рис. 13.10). В случае движения на восток обе силы оказываются направленными в одну сторону и модули их складываются. При движении на запад силы противоположны, модули вычитаются, а при скорости относительного движения г„ = г,,/2 = 230сояф кориолисова сила инерции полностью компенсирует переносную.
Таким образом, при движении точки по параллели изменяется лишь ее вес. Рис. 13.10 296 При движении в меридиональной плоскости Земли кориолисова сила инерции перпендикулярна этой плоскости и в северном полушарии направлена вправо по отношению к направлению движения точки.
Так как значения переносного и кориолисова ускорений малы по сравнению с ускорением силы тяготения (отличие составляет несколько порядков), влияние соответствующих им сил становится заметным только в длительных движениях с небольшими относительными ускорениями, например в атмосферных процессах, в течении рек, орбитальных движениях спутников и тому подобных явлениях.
В задачах динамики машин, для которых характерны значительные относительные ускоренна, влияние этих сил несущественно, поэтому систему отсчета, связанную с Землей, обычно считают инерциальной. Глава 14 ГЕОМЕТРИЯ МАСС 14.1. Центр масс механическом системы При движении системы материальных точек большую роль играют величины, характеризующие распределение масс точек.
Называют эти величины моментами и определяют как суммы произведений масс тл (Й =1, 2, ..., Ф ) точек системы на однородную функцию их координат:,) т х„'у~~я~, где а+ р+ у =1— !с ! степень момента. Моменты вычисляют относительно точки, оси или плоскости. и Момент первой степени Уо = , 'т!,г, называют статичея ! ским моментом масс точек относительно какого-либо центра н О, а момент второй степени .Уо — — ~ т„г„— моментом инерции 2 й=! системы относительно центра О.
Систему материальных точек называют также механической системой. Механическая система — совокупность материальных точек, положение или движение каждой из которых определяется положением или движением других точек этой совокупности. Рассмотрим систему, состоящую из конечного числа Ф материальных точек с массами т и определим положение материальных точек относительно точки О с помощью радиус- векторов г„(рис. 14.1). Для механической системы важное значение имеет центр масс, характеризующий распределение масс материальных точек в системе. Центр масс системы — это 298 геометрическая точка С, положение которой определяется радиус-векюром г, проведенным из точки О (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
