Termeh (523129), страница 30
Текст из файла (страница 30)
В этом случае интеграл по объему заменяется интегралом по площади 5: ~г Ж )хай ~уЖ (х! , (я) , гз! '!' хг — уг Я Я Я Эти формулы определяют радиус-вектор и координаты центра тяжести пластинки в плоскости. 11З. Методы определенна координат центра тяжести тела 1. Метод симметрии. Покажем, что если однородное тело имеет плоскость, ось или центр материальной симметрии, то его центр тяжести находится соответственно в плоскости, на осн или в центре симметрии. а.
Пусп тело симметрично относительно плоскости Оху (рис. 11.3). Тогда вследствие симметрии каждому элементу К тела объемом Л)'„(х~,у,х ) будет соответствовать элемент К' того же объема с координатами (х„,у,— г„). Поэтому статический М н момент объема ~~~ я„Л1'„=0 и координата гг =,') хь ЛГ„/~'=О. /с ! /с=! Следовательно, центр тяжести тела будет лежать в плоскости симметрии Оху. б. Пусть тело симметрично относительно осн Ог (рис. 11.4). Тогда всякому элементу К тела объемом Лг" с координатами (хь, уь, хь) будет соответствовать такой же по объему элемент К', расположенный симметрично относительно оси Ог и имеющий координаты ( — х„, — у, х, ).
Поэтому статические моменты У я я ,)„х!,Ь)~~ =О,,) у Л1~~ =0,,1 г Ь1'„~0 /~=! /с=! я-! 253 и. следовательно, координаты М и М ,~ х„ЬК, ~ усЬГ„5 я„Л~'с Г Таким образом, центр тяжести будет находиться на оси симметрии. Рис. 11.3 Рис. 11.4 254 формулам (11.4), координаты центра тяжести С всего тела. Если тело имеет вырез, при- чем известны центр тяжести тела без выреза и центр тяжести вырезанного тела, то для определения координат центра тяжести используют метод отрицательных масс (частный случай метода разбиения).
На рис. 11.6 изображена квадратная пластина, сторона которой а. В пластине выполнено С С, Рис. 11.6 255 в. Пусть тело имеет центр симметрии, который примем за начало координат. Тогда всякой частице тела объемом Л~'», определяемой радиус-вектором Р„, будет соответствовать частица такого же объема с радиус-вектором — Р», симметричная ей относительно центра О. Поэтому го = ) г Лг» =О.
Следовательно, »и центр тяжести будет находиться в центре симметрии. Например, центры тяжести однородных куба, сферы, кольца, прямоугольной или круглой пластины лежат в геометрическом центре этих тел. 2. Метод разбиении. Этот метод основан на применении формул (11.3) и (11.4).
Его исполь- ! зуют, когда тело можно разбить на С4 ряд частей, центры тяжести которых известны из условий симмет- С рии. Метод разбиения можно наглядно проиллюстрировать с С»1 помощью рис. 11.5. Расположив тело в системе координат, разде- С, лив его мысленно на отдельные части, веса которых Р,, Р„Р,, О х Р», а центры тяжести известны, Рнс.
11.5 вычислим вес тела и, согласно круглое отверстие с радиусом г=0,2а и координатами центра х, = — 03а; у, =О. Координаты центра тяжести С, пластины без отверстия х, = О, у, =О. Рассмотрим два тела: пластину без отверстия и диск, соответствующий вырезанному отверстию. При использовании формул (11.4) вес диска будем считать отрицательным. Тогда Р= р(а -кг ); хг = — (Р,х, — Р,х,,)= — !а 0 — лг ( — 0,3а)1= а — кг уг =О, где р — вес единицы площади пластины.
3. Метод внтегрврования. Когда тело нельзя разбить на составные части, центры тяжести которых известны, используют метод интегрирования, являющийся универсальным. 11.4. Определение центра тяжести простейших однородных тел 1. Центр тяжести дуги окружности (рис. 11.7). Рассмотрим дугу окружности радиусом Я с центральным углом 2а0. Центр тяжести дуги лежит на оси симметрии Ох. Для определения координаты х, выделим элемент дуги длиной аз и запишем О кч х о = ~хат= ~Ясозя Ясйх, и -а„ где Я=Я 2а . Выполнив интегрирование, найдем ! хс = Яз!пао. гго 2. Центр тяжести площади треугольняка.
Разобьем площадь треугольника АВР (рис. 11.8) на узкие полоски, параллельные стороне АР. Центры тяжести этих полосок будут лежать на медиане ВЕ. Следовательно, центр тяжести площади всего треугольника также лежит на этой медиане. Проводя аналогичные 256 разбиения параллельно сторонам АВ и ВР, найдем, что центр тяжести площади треугольника лежит в точке С пересечения его медиан, поэтому ВС =(2ЯВЕ.
Рнс. 11.7 Рнс. 11.8 257 Рис. 11.9 ;г л = ' ~ = ~~у я! (у. 1,Ь О Рис. 11ЛО 258 У 3. Центр тяжести площади В кругового сектора. Круговой сектор радиусом Я с центральным углом 2ир показан на рис. 11.9. Центр тя- 4~ жести лежит на оси симметрии Ох. Разобьем сектор на мелкие сектора и нр отождествив каждый из них с тре- С ар х угольником, найдем дугу окружности радиусом (2/3)А, на которой расположены центры тяжести площадей мелких секторов. Теперь за7р дача свелась к уже известной — на- А хождению центра тяжести дуги окружности, для которой (2/3)В81п ар хс' срр 4.
Центр тяжести прямого кругового однородного конуса. Пусть Я вЂ” радиус основания конуса, а Ь вЂ” его высота (рис. 11.10). Элемент объема Объем конуса г = ~ы =~( — я~ау= Положение центра тяжести (уй1 1 яй'й' уг = — ~ус1Г= — ~уя — Ыу= — =-л. Полученный результат справедлив для любой многоугс ной пирамиды. Глава 12 РАВНОВЕСИЕ ГИБКОЙ И НЕРАСТЯЖИМОЙ НИТИ 12.1.
Дифференциальные уравнении равновесии нити Гибкую нерастяжимую нить будем рассматривать как систему материальных точек, равномерно расположенных по кривой. Нить не оказывает сопротивление изгибу и может быть только растянута. По смыслу понятие нити наиболее близко к такому физическому объекту, как цепь, общая длина которой значительно больше длины отдельного звена. Пусть нить АВ находится в равновесии под действием внешних сил, которые действуют на все ее точки (рнс. 12.1, а). Обозначим силу, действующую на единицу длинь1 нити, через 7; эта сила есть функция координат точки, на которую она действует.
Возьмем произвольную точку С, отстоящую от начальной точки А на расстоянии Я, причем положительное направление отсчета Я примем от А к В. Рне. 12.1 260 Рассмотрим равновесие элемента нити С0 =Ж . Обозначим натяжение нити в точке С через Т, а в точке .0 через Т, . Натяжение Т считается положительным, если оно совпадает по направлению с положительным направлением Я. На элемент СЮ действуют три силы: натяжение Т в точке С„натяжение Т, в точке .0 и внешняя сила ГЖ. Условие равновесия этого элемента будет: Р аК + Т + Т1 = О .
Так как Т, = ( — Т) + НТ, то можно записать Г 2Б + а2Т = О, или (12.2) илн йТ й Ы'х ЫТ 4 И'У вЂ” — +Т вЂ” +Г,=О; — — +Т вЂ” +Г =О; б2» ' »» ~У ~~2 У ДТ 2(я с22я — — +Т вЂ” +г» =О. АЖ Ж2 (12.3) 261 Е+ — =О. — г(Т (12.1) Ж Равенство (12.1) выражает уравнение равновесия нити в векторной форме.
Представим это уравнение в проекциях на оси прямо> гольной системы координат Олуха. Так как косинусы углов, которые касательная к кривой в точке С(х, у, г) образует с осями 22х 2Г2» 222 координат, равны —, —, —, то Ж Ж Ж Т =Т вЂ” Т.=Т вЂ” Т =Т вЂ”. сЬ ЫУ 2;(Я Ж ' Ж ' Ж Тогда для равенства (12.1) будем иметь Т + Р» О 1 Т + Ру О Этими уравнениями обычно пользуются при решении конкретных задач. Найдем теперь уравнения равновесия нити в проекциях на оси естественного трехгранника ( с, и, Ь ), построенного в точке С (рис.
12.1, б). Обозначим орты касательной, нормали и бинормали соответственно через й, и, Ь . Тогда Т = Тй и а'Т И ЫТ Ий — = — (Т с)= — с+Т вЂ”. Ж сЬ5 Ж Ж Но Ит йр й — = — й= —, сЬ5 сЬ5 р где р — радиус кривизны кривой в точке С и, следовательно, Ж" ЙТ вЂ” = — й+Т вЂ”. Ж сБ р Векторное уравнение равновесия (12.1) принимает теперь внд ЫТ Т вЂ” с+ — й+Р=О. (12.4) р Для нахождения уравнений равновесия в проекциях на оси естественного трехгранника разложим внешнюю силу Р по его осям: Р =Р,с+Р й+ Р Ь. Представим уравнение (12.4) в виде с1Т Т вЂ” с+ — и =-Р,й — Р„и — Р,Ь .
р Таким образом, уравнения равновесия нити в проекциях на оси естественного трехгранника будут следующими: ~т ~н йТ Т (12.5) Р Видно, что в уравнениях (12.5) производная от натяжения нити по ее длине равна взятой с обратным знаком проекции внешней силы на касательную ось, а произведение натяжения нити в данной точке на кривизну кривой, по которой нить располагается в равновесии, равняется взятой с обратным знаком 262 проекции внешней силы на главную нормаль. Поскольку г„= О, то при равновесии нити внешняя сила лежит в соприкасающейся плоскости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
