Termeh (523129), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Ведущее колесо может сообщать автомобилю силу Д,„ только тогда, когда к колесу будет приложен момент М,„. В этом случае полностью используется максимальная сила трения скольжения Г,„„= ТЫ . При М < М,„сила Д<Д, при М>М,„сила Д ~м должна быть больше Г,„, что невозможно (колесо начинает буксовать); ведущее колесо может сооб- М щать автомобилю силу, не превышающую силу трения сколь- З~ жения. Такую силу называют силой тяги по сцеплению.
Рис. 10.6 Трение нити о цилиндрическую поверхность (задача Эйлера) Пусть круглый вал обмотан нитью, к одному концу которой приложена сила Р; (рис.10.7). Определим наименьшую силу р2, которую надо приложить к другому концу нити, чтобы удержать силу К, если угол охвата нити у, а коэффициент трения нити о вал ~ Рассмотрим равновесие элементарного участка нити ОЕ длиной ~Ь = гор, где г — радиус вала. В точках 27 и Е натяжение нити будет соответственно Т и (Т+сТТ). На нить, кроме того, действует сила нормального давления вала АЧ и сила трения ИГ, приложенные в точке С.
Сумма проекций всех сил на касательную к валу в точке С равна нулю. Тогда ОТ=4(р. 1т. 243 Рве 10.7 Наименьшее значение силы Г будет соответствовать предельному случаю равновесия, позтому а1Г = /ИМ . Проецируя все силы на нормаль Су, находим НФ= 1Т + Т + Л) з)п(гф/2) = 2Т(а113/2) = Тор . Подставим зто значение ИУ в выражение с1Т =/'ЯФ: йТ=~Тйф. Разделим переменные и проинтегрируем полученное уравнение в пределах от Гз до Р;и от О до у: Отсюда находим Я' 1П вЂ” = /'У, ~г или Г =Ге '". 2 ! При / = О, как и следовало ожидать, Р = Р;. Увеличивая угол охвата у, можно значительно уменьшить силу Г .
Например, при /'=0,5 и у =4п Рз — — 0,002Т';. 244 Рассмотренная задача часто встречается в практике, например при расчете ленточных тормозов или швартовки кораблей к причалу. Пример 10.1. Цилиндрический каток весом Р, обмотанный двумя симметрично расположенными нитями, находится на наклонной плоскости, образуюгцей угол а с горизонтом (рис. 10.8,а). Найти, при каких значениях угла а каток будет в равновесии, если коэффициент трения скольжения между катком и плоскостью равену: Трением качения пренебречь. 0 Рнс. 10.8 Реигение Освободим каток от свазей, заменив их реакциями (рис. 10.8, б). При равновесии катка на плоскости и Ч~~ Мл(Рг) = Ргз)па-Р 2г = О.
ео В предельном случае равновесия Р = Р = )У, где М = Рсозим. Следовательно, з)пцм =21созцм. Равновесие катка возможно, если а<ам, где ам =агсг821 . Пример 10.2. Грузозахватный механизм (рис. 10.9, а) состоит из двух одинаковых рычагов 1 и 2, конуса 3 и стяжки 4. Определить значение коэффициентов трения скольжения между пластинами механизма и грузом 5, при которых 245 возможно равновесие системы в заланном положении. Весом механизма по сравнению с весом Р груза, а также трением между конусом и рычагами пренебречь. Рис.10.9 Решение В предельном случае равновесия системы сила трения скольжения, приложенная к рычагу ! в точке С, Р=Р вх =.Р'г где )У< — сила давления груза на рычаг.
Для определения )Ус рассмотрим вначале условия равновесия конуса 3 (рис. 10.9, б). К конусу приложена система сходлпзихся сил. Следовательно, условие равновесия имеет вид д!„+)у,+т =О, где Т вЂ” сила натяжения троса, равная по модулю весу Р груза 5. Находим Т )1~л = оо = 2з!па Условия равновесия рычага ! (рис. 10.9, в); Ч~~ Рг =М',з)пн-Р=О; и ~ Мл(Рз ) = М,', соя н 1, + Д!; $1п я 1, — Р1, — Д!с!з 0. ьм 24б Так как Р = М„з1па, то 1 11, л1< = У„'сова -ь= — — 'Тсзда. 1з Из условия равновесия зруза 5 в проекции на ось Оу имеем 2Р=2Р' =Р, откуда — УТ езда = Р . 1, Следовательно, — зла 1з Р ! Т ! и равновесие системы в заданном положении возможно, если 5 > 1' и = ~1,11,11да.
Глава 11 ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ 11.1. Центр системы параллельных сил Рассмотрим две направленные в одну сторону параллельные силы Р, и Р,, приложенные к телу в точках А, и А, (рнс. 11.1). Равнодействующая этих сил ~! +Рг приложена в точке С, лежащей на прямой А,А,. Положение точки С найдем на основании теоремы Вариньона. Согласно этой теореме, Мс(Р) ™с(Р!) ™с(Рг). Так как М (Р) = О, то Р, СА, =Рг САг.
(11.1) сг Рис. 11.1 Повернув силы Р, и Рг в одну сторону на один и тот же произвольный угол а вокруг точек А,, А,, придем к выводу, что и равнодействующая повернется в ту же сторону на угол а и будет приложена в той же точке С. Такая точка называется центром системы этих нараллельных сил. Приложим к телу в конкретных точках систему параллельных сил Р„ Р „..., Р, „ Р„ . Пусть она имеет равнодействующую и Р=',)" Р . (1 1.2) 4.! Последовательным сложением всех сил найдем точку С приложения равнодействующей Р . При повороте сил Р» в одну сторону на один и тот же угол равнодействующая повернется на тот же угол, оставаясь приложенной в точке С и параллельной силам Р, . Точка С приложения равнодействующей системы параллельных сил при любых поворотах этих сил около их точек приложения в одну и ту же сторону и на один и тот же угол называется центром системы параллельных сил.
Найдем координаты центра системы параллельных снл, (рис. 11.2). На основании теоремы Вариньона М,(Р) =',)" Мо(Р ). 4-! Рве 11.2 !6 зэк. !6 249 Запишем моменты сил в виде векторных произведений г!. х Р = ~ (г» х Р» ), где г, — радиус-вектор центра системы параллельных сил. По направлению действия сил Р, введем единичный вектор е и приведем полученное векторное равенство к виду гс хеР =,1 Р»г„хе, » ! или с и и г, ,') Р, — ",> Р,г» хе =О. »=!»=! В этом векторном произведении перемножаемые векгоры непа- раллельны, поэтому и и г ~! Є— ~ Р» г = О .
»=!»=! В результате получаем формулу для определения положения цен- тра системы параллельных сил в векторной форме ХР»г» (11.3) ',)" Р, »=! Записав векторное равенство (11.3) в проекциях на оси коор- динат, находим координаты точки С !" 1" 1 хс = — ' Р»х»; у! — — — ~ Р„у»; г! — — — ~Р»г».
(11.4) Р»., Р»., Р», В формуле (11.3) выражение ~ лл носит название стати»=! ческого момента системы нараллельнык сил относительно нентра О. Этот статический момент равен произведению радиус- вектора Р. центра параллельных сил на сумму всех сил, т. е. и и ~ Р,г» =гг, ~Р» =гсР. » ! 250 Точно так же входящее в первое равенство (11.4) выражение ) Р х„называется статическим моментам системы парила=1 лельных сил относительно плоскости 6)а и т. д. 11.2.
Центр тяжести твердого тела На каждую частицу тела, находящегося вблизи поверхности Земли, действует направленная вертикально вниз сила, которая называется силой тяжести. Силы тяжести каждой частицы тела, строго говоря, направлены по радиусам к центру Земли и не являются параллельными. Но для тел, размеры которых малы по сравнению с размерами Земли, непараллельность настолько незначительна, что в расчетах с большой точностью силы тяжести их частиц можно считать параллельными, сохраняющими свои значения, точки приложения и параллельность при любых поворотах тела.
Поэтому, обозначив силу тяжести частицы через Р,, можно, согласно формулам (11.3) и (11.4), найти точку С, которая неизменно связана с телом и называется центром системы параллельных сил пикнсести. Таким образом, центром тяжести твердого тела называется цеюпр системы параллельных сил тяжести частиц данного тела. Точка С вЂ” это геометрическая точка, она может и не принадлежать телу, но она всегда с ним связана, например центр тяжести баскетбольного мяча, кольца и др. Выразим силу тяжести (вес) частицы тела через ее объем К Тогда величина ЛР ЙР у= 1пп — =— лр' л называется удельным весом, а величина р=уй — плотностью тела в данной точке.
Единицами измерения у и р в СИ будут Н/м' и Н с~/м соответственно. Для частицы тела будем иметь Р„=$'„у„=1' р д. Подставив эти соотношения в выражения (11.3) и (11.4), получим формулы для ~. и координат центра тяжести: 251 и ,>, ллл »-! гс = ХР»Р. »=! ~~,"ир»У» » ! и \ Х к»Р» и ~)" р г» »-! гс = Х~'»Р» ;). ллх» »=! х, = Х Р»Р» Для тела, находящегося в однородном поле тяготения ( я = сопя» ), положения центра тяжести и центра масс совпадают. Однако понятие о центре масс является более общим, чем понятие о центре тяжести, так как оно имеет смысл не только для одного твердого тела, но н для любой механической системы; кроме того, это понятие не связано с тем, находится тело в поле тяготения или нет. Если плотность тела во всех его точках одинакова, то в приведенных соотношениях можно сократить Р,.
Тогда, заменяя суммирование интегрированием по всему объему тела К, получаем ~ р а/Г ~х с/Г ~у с/й' ) х»»'й' !! !и! !ю !! хо=; у/=; х 252 ~.~"»Р Ф» » ! '/= и 1 ХРР»й и и и ') Р р„дх ,>,~'„Р~ЯУ~ ,)' »»»Р»Кх~ »=! »=! х/ —— Уг= и и ~ и,р„й „'.и,р„~ ~~;Р й »=! »=! »=! После сокращения на д эти выражения представляют собой соответственно радиус-вектор н координаты центра масс (центра инерции) тела. Эти формулы определяют гг и координаты центра тяжести объема тела. Иногда тело выполнено в виде тонкой пластинки, имеющей постоянную толщину и удельный вес, причем толщина пластинки несоизмеримо мала по сравнению с двумя другими ее размерами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
