Termeh (523129), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Рие. 8.21 192 Покажем, что моменты силы относительно оси, вычисленные по формулам (8.10) и (8.11), являются одинаковыми. Так как угол а между нормалями к плоскостям ОАВ и О,А,В, есть угол между этими плоскостями, то 2пл.ЬО,А,В, =2пл.ЕОАВсоаа. Отсюда получаем М,(7) =)Мо(Г)~сола. Момент силы относительно оси равен нулю, если линия действия силы пересекает ось или сила и ось параллельны, т.
е. находятся в одной плоскости. Прнлыр 8.4. На консольный брус длиной 1 и шириной а действуют силы 7 и К, (рис. 8.22). Определить моменты этих сил относительно координатных осей Ох, Оу, Ох. Рис. 8.22 Решении Линна действиа силы 7 пересекает ось 6), поэтому М (Р)=0. Чтобы вычислить моменты силы 7 относительно осей Ох и Ок, спроепируем ее на плоскости, перпендикулярные этим осям, т. е. на плоскости сэр и Оху. 193 Сила Ь; на плоскости Охх и Оух проецируется в натуральнуго величину. С учетом правила определения момента силы относительно оси получаем М„(Р)+М,(Г)=-Р1+Г! =(айна — Г)1; М (Е, ) = Г, а1'2; М,(Р) =~Р„~! = Р(сова.
Моменты еилм относительно осей декартовой сиснвемм коорд!иинн Момент М„(Р) относительно начала координат (см. (8.7)) можно представить в виде Мо(Р)=М,(Р)гт+М (ГУ+М,(Ы = х у г'. Г, Г Р, Раскрывая определитель по элементам верхней строки, получаем в виде множителей при г, 1', К проекции момента Мо(Г) на оси координат, равные моментам силы относительно осей: М„(Г)=уГ, -гр»; М (Р)=гГ,-хР,; м,(Р)= г,-уг.. Таким образом, чтобы вычислить моменты силы Г относительно осей координат, надо знать координаты х, у, г точки приложения силы и проекции самой силы на эти оси Р„Р,, Р" (рис.
8.23). Пример 8.5. К торцу горизонтального Г-образного бруса в точке А приложена сила Р (рис. 8.24). Определить моменты силы Р' относительно осей координат с началом в центре заделки. Ревякина Вычислим координаты точки приложения силы: х=1з+Ь, у=1, +Ь, в=а. Определим проекции силы Р на оси координат Р„=О, Р =-ввоза, Г, =-Рипа. Согласно формулам (8.12), находим М,(Р) =-(1, +Ь)Гв)па+носова, 194 8.5. Сложение параллельных сил. Пара снл Иараллельные силы, направленные в одну сторону Пусть к твердому телу в точках А и В приложены две параллельные силь1 Р; и 7, (рис.
8.25). Приложим в этих точках на прямой АВ равные по величине н противоположно направленные силы Т, и Т,. Заменим силы р„Т1 и Р„Тз равнодействующими Х1 и Х,, которые перенесем в точку Х) пересечения их линий действия. Теперь разложим Я, и Вз на две составляющие по направлениям действия сил К„Рз и прямой, параллельной АВ. Получим составляющие силы, соответствующие силам, приложенным в точках А и В, т. е. р1 =р11 Т1'=Т,1 рз =рз; Т,'=Тз. Рве ал5 Отбросив систему сил (Т,',Т,'), эквивалентную нулю, получим две силы К1' и 7~', действующие вдоль прямой )ЗС параллельно направлению заданных сил К, и Тз.
Равнодействующая таких сил 196 я* =р~ + рг. Из подобия треугольников КЕР и ВАС, а также МХЧ, и Вг3С находим АС ? ВС Тг ВС Р ВС Р,' ' Разделив левые и правые части зтих соотношений друг на друга, получаем АС Гг АС ВС А — — — или — = — = — . (8.13) вс р1 р р~ я* Таким образом, две параллельные силы, направленные в одну сторону, имеют равнодействующую силу, параллельную им, равную по модулю сумме их модулей и направленную в ту же сторону.
Линия действия равнодействующей силы расположена между линиями действия заданных сил и делит отрезок прямой между линиями действия эгпих сил на части, обратно пропорциональные модулям сил, внутренним образом. Если две параллельные силы, направленные в одну сторону, можно заменить одной силой, то и любую силу можно разложить на две параллельные силы, направленные в ту же сторону. Неравные параллельные силы, направленные в противоположные стороны Пусть сила К больше силы Рг (рис. 8.26). Разложим силу Р1 на две параллельные силы Я и Рг', направленные в одну сторону, причем силу рг', равную по модулю силе рг, приложим к точке В. Тогда Р1 =Я +Рг', откуда Я =Р, -Рг' и Я =Р, — Р .
Точку С приложения силы Я' определим из соотношений (8.13), где за равнодействующую для снл Я* и Рг' следует принять силу р1 . В результате получаем АС АВ ВС я* р1 ' Таким образом, две неравные параллельные силы, направленные в противоположные стороны, имеют равнодействую- 197 щую сипу, равную по модулю разности модулей сил, параллельную им и направленную в сторону большей силы. Линия действия равнодействующей силы расположена за линией действия большей из них и делит отрезок прямой между линиями действия заданных сил на части, обратно пропорциональные модулям сил, внешним образом.
Пара сил. Момент пары сил Парой сил, приложенной к твердому телу, называется система двух равных по модулю параллельных сил, направленных в противоположные стороны (рис. 8.27). Сумма сил пары равна нулю, но пара сил не уравновешена. Кратчайшее расстояние между линиями действия сил пары называется плечом пары сил. Плоскость, в которой действуют силы пары, называется плоскостью действия пары сил. Совокупность нескольких пар снл, действующих на тело, называется системой пар сил. Пара сил не приводится к равнодействующей.
Докажем это от противного. Пусть пара сил (Р, Г') имеет равнодействующую й', не параллельную силам пары (рис. 8.28). Тогда, прибавив к паре снл (Г, Р ) силу Х', противоположную равнодействующей й, мы получим уравновешенную систему трех сил (Г, Р', К'). Но зтого не может быть, так как линии действия сил Р, 198 Г', Я' не проходят через одну точку и, следовательно, не выполняется необходимое условие равновесия.
Можно показать, что пара сил не может иметь равнодействующей, параллельной силам пары, так как не выполняется условие для точки приложения равнодействующей. Рис. 8.28 Ряс. 8.27 Действие пары сил на тело характеризуется моментом пары М(Р, г '), равным ~Ж. (На рис. 8.27 М(Р, Г') = ГН.) Теорема о переносе пари в плоскости ее действия. Не изменяя действия пары сил на тело, ее можно переносить куда угодно в плоскости действия, изменять силы и плечо, сохраняя неизменными модуль и направление момента пары сил.
Доказательство. Пусть на твердое тело действует пара сил (Р;, г, ) с моментом М = — Ж (Р, = Г = Г) (рис. 8.29). Перенесем Р, в точку О,, а Г вточку О и проведем через точки О, и 02 две параллельные прямые, пересекающие линии действия сил пары и лежащие, следовательно, в плоскости ее действия. Соединив прямой точки О, и О„разложим Р и Г, по правилу параллелограмма, как показано на рис. 8.29. Так как Р1 и Р образуют пару сил, то р1 = — Р, и, следовательно, Поскольку (Р;, Р; ) О, то эту систему двух сил можно от- бросить.
Остается пара сил (Р1', Г,'). Покажем, что моменты исходной пары (Р;, Г,) и образованной после переноса пары (К', Г,') одинаковы. Направление вращения у них одно и то же. Имеем М=Мф, Р;)= — 2пл.ЬО10зА, М' = М(Р, Р,') = — 2 пл. ЛО, О, В . Но площади ЛО,ОзА и ЛО,ОзВ равны, так как эти треугольники имеют общее основание О,Оз и равные высоты. Таким образом, теорема доказана. Рвс.
8.29 Действие пары сил на тело характеризуется не только модулем, но и положением плоскости действия пары в пространстве и направлением, в котором она стремится вращать тело. Позтому момент пары сил можно рассматривать как вектор. Векторный момент пары сил- есть вектор М =М(Р, Р'), перпендикулярный плоскости действия пары, направленный в ту сторону, откуда видно, что пара сил стремится повернуть тело против направления вращения часовой стрелки, и численно равный произведению модуля одной из сил поры на ее плечо.
Остается выяснить вопрос о точке приложения этого вектора. Определим векторный момент пары сил относительно произвольной точки О (рис. 8.30) Мо(Р)+М (Р)=г хР+Р хР'. Таккак Р'=-Р и гл — г, =АВ,то Мо(Р)+Мо(Р)=АВхР=М(Р,Р'). (8.14) 0 Рис. 8ЗО Таким образом, векторный момент пары сил равен векторному моменту одной из ее сил относительно точки приложения другой силы или сумме векторных моментов ее сил относительно произвольной точки О.
Так как выбор точки О произволен, то вектор М можно считать приложенным в любой точке тела, т. е. этот вектор свободный. Поэтому пару сил можно переносить куда угодно в плоскости и в параллельную плоскость, изменяя модуль силы и плечо пары, но сохраняя при этом неизменными модуль момента пары и направление, в котором она стремится вращать твердое тело. 201 М=,'~ М,=,'~ +Р»(». '»-1 »-1 Теорема о сложении иар сил. Всл совокупность нар сил, действующих на тело, эквивалентна одной паре сил, векторный момент которойравен сумме векторных моментов всех нар сил. Доказан»ел»ство. Если на тело действует несколько пар сил, расположенных произвольным образом, то для нх сложения и приведения к одной паре сил можно применить выражение (8.14). В самом деле, если векторные моменты пар снл равны М„ М„..., М», ..., М„, то сумма моментов всех снл, образующих эти пары, относительно какой-либо точки О равна М = ,'1 А»В» х Р» = '» М» .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
