Termeh (523129), страница 21
Текст из файла (страница 21)
В самом деле, например, скорость находящейся на этой линии точки А тела Р= ах В=О (по свойству произведения коллинеарных векторов в и г ). Таким образом, прямая, на которой расположен вектор в, является мгновенной осью вращения тела. Скорость любой точки Мтела в данном случае можно определить так: Р= вхги, у =Г„+ у„, где !7„= в, хгм, т„=а, хг Модули составляющих, а также абсолютной скорости точки М равны модулям соответствующих векторных произведений и могут быть вычислены по формулам !б4 г„, =оз„л,; г„=оз„Ь„; г=соЬ, где Ас, Ь„, Ь вЂ” кратчайшие расстояния от точки Мдо соответствующих осей вращения (см. рис.
7.2). Рос. 7.2 7.3. Сложение вращений вокруг параллельных осей. Пара вращений Если оси вращательных движений тела параллельны, то вектор результирующей угловой скорости го тела в неподвижной системе координат, определяемый согласно (7.3), будет коллинеарен векторам ее составляющих а, и а„. Положение мгновенной оси вращения тела как оси, проходящей через неподвижную в данный момент точку Р тела, т.е. точку его МЦС в плоскости П, перпендикулярной осям вращений (рис. 7.3), можно определить нз следующего анализа. Относительная скорость точки Р г, =со, х О,.Р, а переносная ~>„=а, х О„Р.
Здесь О„и ΄— точки пересечения плоскости П с соответствующими осями вращения. Тогда скорость точки Р в неподвижной системе координат ггг = гс е г„, причем, согласно определению МЦС, гг = О . Отсюда следует Р„= — Р„, так что г„= г, и оз„О„Р = со, О„Р. В зависимости от взаимного расположения и численного значения векторов а„и оз„можно выделить три случая сложения вращательных движений.
165 1. При совпадении направлений векторов в, и в„абсолютное движение будет плоским (см. рис. 7.3). Рве 7.3 Абсолютная угловая скорость в этом случае будет иметь направление, совпадающее с направлениями ее составляющих, а ее модуль ез=а„+ез, Точка Р, через которую проходит мгновенная ось вращения тела, лежит на отрезке, соединяющем точки О„и 0„. При этом О,О, =О,Р+ О„Р и положение точки Р можно найти из про- порции ЕЭ„, 6З,, ЕЗ (7.4) О„Р О„Р 0,0„ Скорость любой точки тела, например М, в данном случае может быть найдена по формуле Р=езхРМ, а ее модуль т = ей,„, где Ь„, — кратчайшее расстояние от точки до мгновенной оси вращения, проходящей через точку Р.
2. При противоположных направлениях векторов а„и о~„, когда ез„~ ез„абсолютное движение, как и в первом случае, будет плоским (рис. 7.4). Абсолютная угловая скорость при этом будет иметь направление, совпадающее с направлением большей по модулю составляющей угловой скорости, а ее модуль ез = 1'в„- ез, ~ . Точка Р, через которую проходит мгновенная ось вращения тела, лежит в плоскости П, перпендикулярной осям вращатель- 166 ных движений, на прямой, проходящей через точки О„и О,; расположена она внешним образом по отношению к этим точкам со стороны той точки, через которую проходит ось вращения движения с большей угловой скоростью.
При этом ° \ О„,Р = — О,,О„+ О„Р, если гве > со„; О„Р= — 0,,0„+О,,Р,если гол <аз„. Пропорции для нахождения положения точки Р имеют вид (7.4). Рис. 7.4 3. При противоположных направлениях векторов Ю„, и Ю„и равенстве их модулей (о>, = оу,, ), если условие Ю„= — Ю выполняется на отрезке времени г — 1,, абсолютное движение будет поступательным . Такой случай сложения вращательных движений называется парой вращений. Действительно, в данном случае Ю, =-Ю„, так что Ю= = Ю„, + Ю, = О, и для любой точки тела справедливы соотношения Р = Ю х г, -ь Ю„х г, = Юя х 1г1 — г ) = Юе х О О, = Ю„х О Ое; в=со,, ОяО„=оз, ОеО„, где г,, гз — радиус-векторы точки„проведенные из О„н О„ соответственно.
Следовательно, скорости всех точек тела в данном случае одинаковы и равны скорости поступательного движения тела. * Если Условие о>, = — в, выполнЯетсЯ лишь в момент вРемени 1 = вы абсолютное лвижение будет мгновенным поступательным движением. 167 Примером такого движения может служить движение кабины колеса обозрения (рис. 7.5). Кабина поворачивается вокруг оси подвеса на ободе колеса относительно системы координат О'ХУ, связанной с колесом, на угол <р„с угловой скоростью ез„, а поворот подвижной системы координат О'ХУ вместе с колесом относительно системы координат Оху, связанной с неподвижным основанием, на угол <р„, происходит с угловой скоростью в„.
Очевидно, что р,, = <р„, а направления изменения этих углов противоположны. Отсюда следует, что переносная и относительная угловые скорости равны по модулю и противоположны по направлению. В результате движение кабины является поступательным (ез = 0), поэтому скорости всех ее точек одинаковы и равны скорости движения самой кабины Ро, =Р, =Р,аеемодуль а=аз„ОО'=в„ОО'. Рис. 7.5 7.4. Сложение поступательных двпжений Если переносное и относительное движения твердого тела в его сложном движении являются поступательными (мгновенно-поступательными), т. е. в, = го, = О, то абсолютное движение твердого тела будет также поступательным (мгновенно-поступательным).
168 Очевидно, что в данном случае в соответствии с (7.3) гп и О и скорость абсолютного поступательного движения тела и принадлежащих ему точек определится в виде векторной суммы скоростей составляющих поступательных движений тела, т. е. р=р,, +и, (рис. 7.6). Все это справедливо и в случае и поступательных состав- ! / ляющих движений. Абсолютное ! движение будет также поступательным движением со скоро- р„ стью, определяемой по формуле Н р='г Г,, ~м где Р, — скорость г-го составляющего поступательного движенияя тела.
Рис. 7.6 7.5. Сложение поступательного и вращательного движений Пусть переносное движение тела — поступательное со скоростью и„, а относительное — вращение с угловой скоростью оз„. Тогда абсолютная угловая скорость тела оз = оз„. В зависимости от взаимного расположения векторов ге н го„ рассмотрим два отдельных случая. 1. Скорость переносного поступательного движения перпендикулярна оси относительного вращения (и„.з.го, ). Выделим плоскость П, перпендикулярную оси относительного вращения тела и пересекающуюся с ней в точке О (рис. 7.7). Скорости всех точек сечения тела зтой плоскостью будут лежать в данной плоскости, а скорости других точек тела — в параллельных ей плоскостях. Таким образом, можно утверждать, что тело совершает в данном случае плоскопараддельное движение и Общий случай сложения переносного поступательного и относительного вращательного движений здесь не рассматривается.
169 в плоскости П имеется точка Р (МЦС), скорость которой равна нулю. Для этой точки гл =г„+т„=О, так что т„= — г„(здесь Р„= а„х ОР ). Тогда г,, = а „ОР и, следовательно, ОР=г„, lв,. Рис. 7.7 Точка Р находится в плоскости П на линии, перпендикулярной к вектору г,„на расстоянии ОР от точки О. Очевидно, что другие точки тела, имеющие нулевую скорость, будут находиться на оси, перпендикулярной плоскости П в точке Р. Эта ось является мгновенной осью вращения твердого тела. Таким образом, в данном случае абсолютное движение твердого тела есть вращение с угловой скоростью, равной по модулю и одинаковой по направлению с угловой скоростью относительного вращения вокруг мгновенной оси вращения. Эта ось параллельна оси относительного вращения и находитсяся от нее на расстоянии, равном отношению модуля скорости поступательного переносного движения к модулю угловой скорости относительного вращательного движения.
Скорость любой точки тела, например А, может быть определена тогда по формуле Р= аз х РА, а ее модуль г=озЬ„, где Ь, — кратчайшее расстояние от точки до мгновенной оси вращения тела. 170 Примером рассмотренного выше сложения движений может служить плоское движение твердого тела (см. гл. 4), которое можно представить в виде суммы поступательного движения тела вместе с полюсом (переносное движение) и вращения вокруг осн, проходящей через полюс и перпендикулярной к плоскости движения(относительное движение).
2. Относительное движение есть вращение вокруг оси, параллельной скорости переносного поступательного движения ( сз„11 т„) (рис. 7.8). Рве 7Я Абсолютное движение тела в данном случае называется винтовым движением, или кииематическии винтам. Оно не сводится к какому-либо другому более простому эквивалентному движению и характеризуется собственными параметрами и отличительными особенностями. Ось относительного вращения называют осью винит. Пара-, метром винтового даижеиии называют величину, равную отношению модуля переносной скорости поступательного движения тела к модулю относительной угловой скорости его вращения, р = г„ I гс„. В общем случае т, = ~~Ь /й~, где е = з(1)— 171 закон перемещения тела вдоль оси винтового движения; в=в„=~Ыф/й~, где ф — угол относительного поворота тела вокруг оси винта.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
