Termeh (523129), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Так как переменные параметры г„и О оказались взаи- мозависимыми, то в данном случае движения диск не может иметь более пяти степеней свободы. !38 Рве 5.3 Вопросы кинематики движения тел произвольной формы по поверхности без или со скользкением в точках контакта выходят за рамки данного учебника. 5.2. Траектория произвольной точки тела Покажем, как рассчитать траекторию произвольной точки тела, если уравнения его движения записаны в форме (5.2). Пусть такой точкой является точка В, находящаяся от точки А на расстоянии 1. Радиус-векторы точек В и А в системе Яс связаны соотношением гя — — г, + АВ. (5.3) Вектор АВ имеет различные проекции на оси координат двух систем Я и Я,: в Я АВ=Я =[1„1,1„1', а в Яз АВ=р= =[1»,1„,17)', причем 1», 1», 1» остаются постоянными при движении тела.
На основании формулы (В.71) запишем связь проекций АВ на оси координат систем Яс и Яз .' А =А'р, (5.4) где А' — матрица, транспонированная к матрице А направляющих косинусов углов между осями систем Яс, Я, и Яз, элементы 139 которой, согласно (4.3), могуг быть выражены через углы Эйлера, т.
е. А = А[цг(г), О(г), ср(г)) . Соотношение (5.3) с учетом (5.2) и (5.4) позволяет получить в явном виде уравнения движения точки В на заданном интервале изменения времени и га = хд (~)1 + Уд (Г) 1+ хд (Г)Я + А'[Чг(1), 0(1)ЛЯ~(1«1+ 1„У+ 1з К) . Представленное уравнение можно считать параметрической формой задания траектории точки В относительно системы координат Яо. 5.3. Скорость произвольной точки тела Отметим, что по уравнениям движения (5.2) можно рассчитать проекции вектора скорости точки А на оси Яо: тд, — — х„; гд =уд; уд, =я~, а также проекции вектора угловой скорости сферического движения тела относительно системы Ю, на оси системы координат Я, (см.
формулы (4.8)). Вектор в и его производную по времени в =в будем называть соответственно векторами угловой скорости и углового ускорения тела в общем случае его движения. Продифференцировав по времени уравнение (5.3), получим Р„=Р„+АВ.
Так как АВ является вектором постоянного модуля, его производную по времени можно вычислить по формуле Эйлера (4.6): АВ=ахАВ. Тогда Ря — — кд +Юх АВ. (5.5) При известном законе движения тела (см. (5.2)) формула (5.5) позволяет рассчитать скорость произвольной точки В тела для любого момента времени на заданном интервале времени. 14О Отметим важное свойство, характерное для общего, а следовательно, и для любого частного случая движения твердого тела.
Докажем, что вектор Ю, а следовательно, и вектор в не зависят от выбора точки А в теле и ориентации осей системы Юз по отношению к телу. Предположим, что при выборе, например, точки В в качестве начала координат системы Я (с иным направлением'осей по отношению к телу) угловая скорость а, изменения ориентации тела отлична от а . Воспользуемся закономерностью (5.5) для различных случаев выбора начала координат системы Я . Если начало координат системы Й находится в точке А, то т„=Р„+ сох АВ, если же в точке В, то й, =та+а, хВА.
Суммируя эти равенства для одного и того же момента времени, приходим к следующему условию: 0=(ез — Ю,) х АВ. Поскольку А и  — произвольные точки тела, зто условие вы- полняется лишь при в = в, . 5.4. Ускорение произвольной точки тела Отметим, что по уравнениям движения (5.2) можно рассчитать проекции вектора ускорения точки А на оси координат системы Яо: а„„=х,; а, =у; а„. =г„, а также проекции вектора углового ускорения сферического движе- ния тела относительно системы Я, на оси координат системы Яз: вх = езх 1 вг = ~Ъ ' вг = азу . Дважды продифференцировав по времени уравнение (5.3), получим а„= а„+ АВ.
Так как вектор АВ жестко связан с твердым телом и его модуль постоянен, вторая производная вектора АВ по времени может быть вычислена по формуле Ривальса (4.12): 141 Тогда АВ = е х АВ + рз х (рэ х АВ) . ав =а, +пел+а», (5.6) где а м = е х АВ и а" = рз х (а х АВ) — соответственно вращательное и осестремительное ускорения точки В при ее движении вокруг точки А вследствие сферического движения тела относительно системы координат Я,. При известном законе движения тела (см.(5.2)) формула (5.6) позволяет рассчитать ускорение произвольной точки В тела для любого момента времени на заданном интервале. Обратим внимание на математическую особенность применения уравнений (5.5) и (5.6), правые части которых представляют собой суммы векторов.
При геометрическом суммировании этих векторов не возникают какие-либо методические трудности, однако при выполнении аналитических расчетов вручную или с помощью компьютера к операции сложения векторов следует отнестись неформально. Математическая операция аналитического сложения векторов предполагает, что складываемые векторы заданы своими проекциями на оси координат одной и той же системы. Согласно принятым обобщенным координатам и закону движения тела (5.2) векторы Р„и ал были заданы проекциями на осн системы Вр. В таком случае в формулах (5.5) и (5.6) остальные (прибавляемые) векторы должны быть также представлены в виде проекций на оси системы Яр.
Следует иметь в виду, что во многих задачах динамики свободного движения твердого тела векторь1 рз и е обычно предполагаются заданными своими проекциями на оси подвижной системы Яз, так как'в этой системе осевые и центробежные моменты инерции тела постоянны. Поэтому в этих случаях при применении формул (5.5) и (5.6) сначала рассчитывают проекции векторов, являюшихся результатами произведений вхАВ, ах АВ, рз х(рзхАВ) на оси системы $, (как указывалось выше, в этой системе координат вектор АВ предполагается заданным в форме вектора р), а затем с помощью соотношения (В.72) — на оси системы Яр.
Глава б СЛОЖНОЕ ДВИЖЖНИЕ ТОЧКИ 6.1. Относительное,переносноен абсолютное движении точки В ряде задач механики оказывается целесообразньпи рассмотрение движения точки одновременно в нескольких системах координат, из которых одна (основная) условно принимается за неподвижную, а другие определенным образом движутся относительно нее. Так, движение космического корабля к Луне нужно рассматривать одновременно и относительно Земли, и относительно Луны. Движение точки, исследуемое одновременно в основной и подвюкной (подвижных) системах отсчета, называется сложным.
В простейшем случае сложное движение точки сосюит из относительного и переносного движений. Определим эти движения. Рассмотрим сложное движение точки М перемещающейся по отношению к подвижной системе О'.ХУУ (рис. 6.1), связанной с некоторым телом Д, которое в свою очередь совершает свободное движение по отношению к основной, условно неподвижной системе Охух.
Движение точки М по отношению к неподвижной системе отсчета Охух называется абсолюгпиым, нли сложным, состоящим нз относительного движения по отношению к подвижной системе О'ХУ2 и переносного — движения подвижной системы отсчета ОЛУХА по отношению к неподвижной системе Охуг.
Положение точки М в,неподвижной системе Охуя зададим вектои ром Р(г) с началом в точке О. Тогда абсолютная траектория МоМ точки М является годографом этого радиус-векюра Р(г), а абсолкп ные скоросп и ускорение точки Мопределяются выражениями Ыг Ыт г( Р (6.1) г(г й пг' 143 (6.3) Положение точки М в подвижной системе координат ОХХ2,' характеризует радиус-вектор р(1) с началом в точке О'. Траектория точки М в подвижной системе отсчета называется относительной траекторией и представляет собой годограф радиус- вектора р(г) . Скорость движения точки М по отношению к осям подвижной системы координат называется относительной скоростью и обозначается ~,.
Вектор ~, определяет скорость изменения с течением времени радиус-вектора р(г) в подвюкной системе ОХУ2; и поэтому выражается его относительной, или локальной, производной по времени, й1 Р (6.2) й Ускорение точки М в зтом движении называется относительным ускорением и обозначается а„. Вектор а, характеризует скорость изменения вектора относительной скорости Г„в подвижной системе ОЙУ2,' и позтому выражается относительной, или локальной, производной по времени от г,: '~~'» '" Р л» Ыг 144 Движение подвижной системы ОХИ по отношению к неподвижной Олух являетая для точки М переносным движением, а скорость и ускорение той неизменно связанной с подвижной системой отсчета точки А, с которой в данный момент времени совпадает точка М называют переносными скоростью и ускорениемточкиМи обозначают ю, и а,.
В рассматриваемом нами общем случае переноснь1м является движение тела Д и связанной с ним системы О'.ХП;. Напомним, что тогда тело Д имеет шесть степеней свободь1 и его движение в каждый момент времени слагается из поступательного движения вместе с полюсом О' со скоростью Р, и ускорением аа и мгновенного вращения вокруг этого полюса с угловой скоростью в, и угловым ускорением а,. Поэтому переносные скорость и ускорение точки М определяются по формулам ~, =Г„=ра+ а, х р; а, =а„=а, +а, хр+а, х(в', хр), где Га и аа — скорость и ускорение точки О' подвижной системы координат.
В задачах кинематики сложного. движения точки устанавливаются зависимости между абсолютными, относительными и переноснь1ми скоростями и ускорениями точки. Для этого прежде всего определяют связь между изменениями вектора в подвижной и неподвижной системах координат. 6.2. Абеолютпав и отноеительнав производные вектора. Формула Бура рассмотрим изменение вектора Ь(г) (рис. 6.2) по отношению к двум системам координрт — подвижной ОХТУ и неподвижной Охух. Абсолютной, или полкой, производной вектора Ь по аргу- ИЬ менту г называется вектор —, определяющий изменение вектой ра Ь(г) в неподвижной системе Охух. Отиосительнац или ло- 145 11 Эак. 1б Ыь каляная, производная — определяет изменение вектора Ь(у) в й подвижной системе ОМУ.
Рвс. 6.2 Найдем зависимость между этими производными. Если воспользоваться проекциями вектора Ь(У) на оси подвижной системы ОХИ,', то можно записать Ь(У) =Ья1 + Ьу У + ЬяК ~ (6.6) где 1, .У, К вЂ” орты, не изменяемые в этой системе отсчета. Поэтому локальная производная Ы Ь 4УЬ вЂ” И܄— аЬ х1+ г У+ 2К (6.7) й 4Ь й й 4(Ь а полная производная — с учетом изменения также ортов 1, И~ .У, К имеет вид 0 ~ сУЬ вЂ” гУЬ вЂ” ЫЬ вЂ” г11 гУ.У И К вЂ” = — «1+ — '.У+ — «К+ Ья — + ܄— + Ьз —. (6.8) й й пУ Й й Й~ ~УУ 14б В правой части уравнения (6.8) первые три слагаемые выражают локальную производную (6.7), а производные от ортов У, .У, К определяются формулами Пуассона (4.11), т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
