Termeh (523129), страница 15
Текст из файла (страница 15)
При движении твердого тела около неподвижной точки углы «1«, О, «р являются некоторыми функциямн времени: «р=Яг); О=,у;(г); «р 1;(г). (4.1) Зтн выражения называются уравнениями вращения твердого тела вокруг неподвиэкной точки. Если уравнения (4.1) заданы, то положение твердого тела относительно неподвижной системы координат Охуг может быть определено для любого момента времени. пз 4.2.
Матрица направляющих косинусов. Траектория точкп тела Пусть Х, У, У вЂ” координаты произвольной точки М тела в подвижной системе координат Я, жестко связанной с ним, а х, у, х — ее же координаты в неподвижной системе координат Яс. Очевидно, что при движении тела координаты Х, У, У остаются постоянными в отличие от координат х, у, х. Полагая, что закон движения тела имеет внд (4.1), установим зависимость координат х, у, г от времени в явном виде: х=х(г), у = у(Г), г = г(г), что позволит судить о закономерностях движения точки М относительно неподвижной системы Я0. В отношении вектора ОМ воспользуемся формулой (В.72), устанавливающей взаимосвязь проекций вектора на оси двух систем координат, г =А'р, (4.2) 114 с~у ир О 1 О О с4р яр О Ав= — зцу сц/ О 1Ав= О СВ зВ 1Ав — — — щ сф О О О 1 О -зВ сВ О О 1 (Здесь для краткости записи тригонометрических функций з1п и соз углов Эйлера вместо самих функций указаны лишь первые буквы их названий.) Тогда А=А А А„= сц~ су — зьр сВ яр зьр с~р+ су сВ щ зВ зу = — сц~зу — врсВсу — зуяр+сьрсВс~р зВсд .
рз — сьрзВ сВ (4.3) При заданном законе сферического движения (4.1) выражение (4.3) позволяет сформировать зависимость А м А(г), опреде- * Следует обратить внимание нв порядок рвсположения сомножителей в произведении мвтрип А АеА„, поскольку он влияет нв результат перемножения.
115 где г = [х, у, г]', р = 1Х, У, 7]' — проекции вектора ОМ на оси координат систем Яе и Я соответственно; А' — матрица, транспонированная к матрице направляющих косинусов А (3 х 3), задающей преобразование поворота от осей системы Яр к осям системы Я. Получим выражение А = А(г), основываясь на взаимном положении четырех систем Яо, Я,, Ят, Я(рис. 4.4), из которых системы Я, и Я, выполняют вспомогательную роль. Переход от осей системы Я к осям системы Я, осуществляется поворотом на угол ц~ вокруг оси Ог системы Ю „от осей системы Я, к осям системы Я, — поворотом на угол 0 вокруг оси Ох, системы Я, и от осей системы Ят к осям системы Я вЂ” ' поворотом на угол <р вокруг оси Ог системы Я . Каждому из трех преобразованйй систем координат соответствуют матрицы направляющих косинусов А„, Ав, А„: ляющую искомый закон движения и траекторию выбранной точки тела: р(г) = А'(г) р .
«г Уз «„«з «2 ~0 «+ ~1 !)' ~2 «2+ ~ Рнс 4.4 4.3. Мгновеннаи ось вращении. Аксоиды Положение твердого тела в пространстве определяется положением любых трех его точек, не лежащих на одной прямой. При неподвижной точке О положение тела определится положением любых двух других точек, не лежащих на одной прямой с точкой О. Перемещение твердого тела с неподвижной точкой из одного заданного положения в другое может быть осуществлено различными способами, в частности путем изменения углов Эйлера при последовательных поворотах вокруг соответствующих осей. Докажем теорему о конечном перемещении твердого тела.
Теорема Эйлера-Даламбера. Самое общее конечное перемещение твердого тела, имеющего неподвижную точку О, есть вращение вокруг неподвижной оси, проходящей через зту точку. Доказательство. Возьмем в теле две точки А и В, равноудаленные от неподвижной точки О, но не лежащие с ней на одной прямой. Проведем через точки А и В сферу с центром в неподвижной точке О (рис. 4.5). Пусть в результате конечного перемещения тела точки А и В займут положения А, и В,. Рас. 4 В Соединим дугами больших кругов, проведенных из неподвижной точки, между собой А и В, А, и В,, А и А,, В и В,.
Очевидно, АВ = А, В, (как расстояния между точками твердого тела). 117 о о Из середин дуг ВВ, и АА, (точек Р и С) проведем к зтим дугам сферические перпендикуляры — дуги больших кругов, плоскоо и сти которых перпендикулярны плоскостям дуг АА, и ВВ, . Перпендикуляры пересекугся в точке Р сферы. В построенных таким н о образом сферических треугольниках АРА, и ВРВ, АР=А,Р, а и и ВР = В,Р как дуги, имеющие равные проекции. Следовательно, сферические треугольники АРВ и А,РВ, равны (по трем сторонам), и при повороте тела вокруг оси, проведенной через точки Р и неподвижную О, сферический треугольник АРВ, перемещаясь по сфере, совпадет с треугольником А,РВ,.
Что доказывает теорему. Ось ОР называют осью конечного вращения. Для любых двух положений тела имеет место своя ось конечного вращения, проходящая через неподвижную точку. Ось, вокруг которой следует вращать тело для перевода его из одного положения в другое, бесконечно близкое. первому, называют мгновенной осью вращения. Мгновенная ось вращения представляет собой геометрическое место точек тела, скорости которых в данный момент времени равны нулю. Отсюда следует, что движение твердого тела вокруг неподвижной точки можно представить непрерывной последовательностью его вращений вокруг мгновенных осей вращения, проходящих через неподвижную точку. Положение мгновенной оси вращения тела не остается неизменным: в различные моменты времени она занимает различные положения в пространстве, но всегда проходит через неподвижную точку.
Геометрическое место мгновенных осей вращения в пространстве неподвижных осей координат называегнся неиодвижнвии аксоидвм и является конической поверхностью (в частном случае правильной) с вершиной в неподвижной точке. Геометрическое место мгновенных осей вращения в движущемся теле называется подвижным ансаидвм. Как и неподвюкный, подвижный аксоид в общем случае сферического движения тела представляет собой коническую поверхность с верпппюй в не- 118 подвижной точке тела. При вращении твердого тела связанный с ним подвижный аксоид перекатывается по неподвижному так, что в каждый момент времени он касается неподвижного аксоида по общей образующей ОР, являющейся мгновенной осью вращения тела.
4.4. Мгновенные угловая скорость и угловое ускорение На основании теоремы Эйлера — Даламбера о мгновенной оси вращения тела положим, что за малый промежуток времени Ь1 поворот тела вокруг оси характеризуется углом Ьу. Введем единичный вектор К,, лежащий на этой оси вращения тела и направленный так, что с конца его поворот тела на Ь<р виден происходящим против направления движения часовой стрелки. Тогда мгновенную угловую скорость тела в сферическом движении как характеристику изменения угла его поворота вокруг мгновенной оси вращения можно определить как: а= 1пп — К .
~у— (4.4) а 9 Ам 7 Вектор а лежит на мгновенной оси вращения тела и его считают приложенным в неподвижной точке. Поэтому мгновенная ось вращения тела есть предельное при Л1 — >О положение оси, вокруг которой был совершен поворот на угол Ьу (рис. 4.6). Модуль угловой скорости В приведенных формулах в общем случае предел используемого отношения Ьу/Лг нельзя Рас. 4.б 119 заменить производной, так как угол поворота вокруг мгновенной оси вращения не выражается скалярной функцией времени и дифференциала этого угла не существует .
Очевидно, что тело с одной неподвижной точкой в общем случае участвует одновременно в трех вращениях, векторы угловых скоростей которых в случае использования углов Эйлера определяются следующим образом: зр/с — вектор угловой ско- рости прецессии; Вй — вектор угловой скорости нутации; фК вЂ” вектор угловой скорости собственного вращения, где 1г, й, К вЂ” единичные векторы осей Ол, ОХ и ОУ соответственно (рис. 4.7). Поскольку названные оси пересекаются в точке О, то, как будет показано в гл. 7 этого раздела, абсолютное совокупное движение тела представляет собой в каждый момент времени вращение вокруг мгновенной оси, проходящей Рне.
4.7 При вращении твердого тела вокруг неподвюкной оси (частный случай сферического движения тела) этот предел равен производной от угла поворота тела вокруг его оси вращения (см. гл. 2). 120 через точку пересечения названных осей, с мгновенной угловой скоростью го, равной векторной сумме угловых скоростей составляющих движений: оз=ФК+В6+1й. (4.5) Ось, совпадающая с вектором оз, является мгновенной осью вращения твердого тела вокруг неподвижной точки О.
Мгновенная угловая скорость меняется с течением времени не только по величине, но и по направлению. Это изменение оценивается производной по времени и называется мгновенным угловым ускорением тела: Рис. 4.8 Вектор Г направлен параллельно касательной к годографу вектора угловой скорости а и не совпадает с вектором а из-за изменения направления последнего, в чем нетрудно убедиться, представив вектор в как произведение а на единичный вектор гоо, т. е.
а = ойоо. Тогда с1 го « ~~го о' го, (оноо) = ~со + ы а г Ж й или е=е, +ег, пг» где е, = — а, — составляющая а, направленная вдоль мгновений ной оси вращения н характеризующая изменение а по величине; '~ озо Ю, =щ — составляющая е, перпендикулярная вектору во и й характеризующая изменение в по направлению (е,.Ыз). Условимся вектор мгновенного углового ускорения в откладывать от неподвижной точки О тела (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
