Termeh (523129), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Возьмем за полюс точку А фигуры Я, скорость Р, которой известна (рис. 3.5). Пусть в этот момент времени угловая скорость фигуры равна оз. Рис. 3.5 Для определения скорости точки Р воспользуемся формулой (3.2):, У~ =Ус +У~~ =О. Отсюда следует, что векторы Р, и Гр„должны быть равны по модулю и противоположны по направлению. Та|с как вектор Гр, перпендикулярен отрезку АР, то прямая, на которой. должна находиться точка Р, перпендикулярна вектору й,. Проведем такую прямую МФ через точку А.
Чтобы выполнялось условие и, =-Рр„, точка Р должна находиться на луче АИ.,Поскольку ~Ц =' ~Гр„~, а г,.„= го. АР, находим АР = т,, /га. из Таким образом, МЦС находится на перпенднкуляре„восстановленном к вектору скорости точки Гс, на расстоянин равном "л АР = — '. аз 91 Примем точку Р за полюс фигуры. Тогда для ее произвольной точки В можно записать: "» =Ь + "в~ ="»~ ' "» = к»» =«э'РВ.
(3.5) где Р — расстояние от МЦС вЂ” точки Р до точки В; вектор Р» перпендикулярен отрезку РВ, направлен в сторону вращения фигуры вокруг МЦС (см. рис. 3.5), а его модуль пропорционален расстоянию от МЦС до точки. Таким образом, скорости точек плоской фигуры в данный момент времени вычисляются так же, как если бы фигура вращалась вокруг неподвижной оси, проходящей через ЛЩС перпендикулярно плоскости движения, с той же угловой скоростью еэ . Использование МЦС часто упрощает определение скоростей точек твердого тела в плоском движении. Рассмотрим случаи, когда положение МЦС может быть установлено либо с помощью геометрических построений, либо в силу физических соображений. Пусть известны направления скоростей двух точек А и В фигуры (рис.
3.6, а). Тогда МЦС будет находиться в точке пересечения перпендикуляров, восстановленных в точках А и В к направлениям ихскоростей т„и р». В том случае, когда точки А и В лежат на общем перпендикуляре к их неравным скоростям, МЦС фигуры находится в точке пересечения перпендикуляра с прямой„соединяющей концы векторов скоростей этих точек (рис. 3.6, б„в).
Если скорости двух точек А и В плоской фигуры параллельны, направлены в одну сторону и равны между собой, то МЦС лежит в бесконечности, а угловая скорость плоской фигуры равна нулю (так как Р, = Р», то Р»„—— го х АВ = О ). Такое движение тела называют мгновенно-поступапзельным. При нем скорости всех точек фигуры одинаковы по направлению и модулю (рис. 3.6, г).
Однако следует иметь в виду, что ускорения точек при таком движении различны. В некоторых случаях, исходя из физических соображений, удается сразу установить МЦС плоской фигуры. Речь идет о довольно распространенном на практике классе задач, в которых рассматривается качение без скольжения плоской фигуры по 92 некоторой неподвижной плоской линии (рис. 3.6, д). Например, качение без скольжения колеса по неподвижной прямой линии или одного колеса по другому неподвижному колесу. В таких случаях МЦС плоской фигуры находится в точке ее контакта с опорой, скорость которой равна нулю.
Рис. З.б Пример 3.1. Колесо радиусом й (см. рис. З.б, д) катитса без сколыкення по неподвижной прямой; скорость центра бс. Используя понятие МЦС, онределить скорости точек Ми йГ обода колеса. Решение. Поскольку колесо катится без скольжения, его МЦС находнтса в точке Р контакта обода с неподвижной прямой. Тогда, в соответствии с (3.5), угловая скорость колеса "с "с О) = — =— РС Я а направление его вращения определится направлением вектора рс по отношению к МЦС (направление вращения колеса совпадает с направлением движения часовой стрелки).
Теперь, так как РМ =42)г, а Р)т' = 2Я, то гм =гаРМ=~Г2~с тл г шРХ =2тс Векторы скоростей точек Ми ЛГ колеса перпендикулярны отрезкам прямых, соединяющих зги точки с МЦС, и направлены в сторону врнцения колеса вокруг МЦС (см. рис. З.б, д). 3.5. Мпювенный центр вращения. Центреиды На рис. 3.6 видно, что скорости точек сечения тела при плоском движении распределены в каждый момент времени так, как если бы движение сечения тела представляло собой вращение вокруг МЦС.
Поэтому МЦС называют мгновенным центром вращения. Ось Рг, вокруг которой в данный момент времени происходит вращение тела, перпендикулярную к его сечению и проходящую через МЦС вЂ” точку Р, называют мгновенной осью вращения. Мгновенный центр вращения при плоском движении тела меняет свое положение как на неподвижной плоскости, в которой движется фигура, так и на связанной с ней подвижной.
Геометрическое место мгновенных центров вращения на неподвижной плоскости называют неподвижной иентроидой, а геометрическое место этих же центров на подвижной плоскости, связанной с движущейся фигурой, — подвижной т(внтроидой. Например, при качении диска по плоской кривой без скольжения (рис. 3.7) неподвижной центрондой является кривая К, по которой катится диск, а подвижной — окружность Ь диска. В каждый момент времени подвижная и неподвижная центроиды 94 имеют общую точку касания Р, скорость которой равна нулю.
Эта точка является мгновенным центром скоростей диска. Таким образом, при действительном движении плоской фигуры подвижная центроиоа катится без . скольжения по неподвижной. Если вместо движе- Рнс. 3.7 ния плоской фигуры рассмотреть плоское движение твердого тела, то неподвижная и подвижная центроиды будут для него неподвижной и подвижной цилиндрическими поверхностями. Теория центроид нашла широкое применение в специальных курсах кинематики механизмов, в теории механизмов и машин при профилировании зубчатых колес. Рассматривая в качестве примера движение линейки эллипсографа (рис. 3.8), убедимся, что оно тождественно движению окружности Е, катящейся без скольжения внутри неподвижной окружности К вдвое большего радиуса, при котором точки В и А первой окружности движутся соответственно по горизонтальному н вертикальному диаметрам второй (см. рис.
3.8). В самом деле, проведя нерпендикуляры к направлениям скоростей точек А и В эллипсографа, найдем МЦС вЂ” точку Р. Очевидно, что на неподвижной плоскости Оху разным положениям линейки АВ соответствуют разные положения центра Р, но при зтом ОР остается постоянным и равным АВ. Следовательно, неподвижная центроида — это окружность К, опрсаниая из центра О радиусом, равным АВ.
Положение центра Р в, процессе движение механизма меняется и относительно линейки АВ, но расстояние.между серединой линейки С и центром Р остается постоянныц~ н равным СР— АВ/2, Таким образом, окружность С с.радиусом,АВ/2 и центром в точке С будет подвижной центрондой. Рнс. 3.8 3.6. Вычисление угловой скорости твердого тела нри плоском движении При решении задач на определение скоростей точек плоской фигуры необходимым этапом является нахождение ее угловой скорости.
Рассмотрим ряд приемов определения аз. 1. Если заданы уравнения движения плоской фигуры, то модуль угловой скорости можно определить как модуль производной от угла поворота по времени: -= — "„; =М Вектор угловой скорости при этом направлен перпендикулярно плоскости движения так, что с его конца направление вращения плоской фигуры было бы противоположно направлению движения часовой стрелки. Направление угловой скорости плоской фигуры удобно задавать дуговой стрелкой.
Если в данный момент при выбранном выше положительном направлении отсчета угла поворота р тела при 96 его плоском движении алгебраическое значение угловой скорости ф > О, то направление дуговой стрелки о) противоположно направлению движения часовой стрелки, а если ф < О, то совпа- дает с ним.
2. В ряде задач модуль угловой скорости о) можно определить, разделив скорость какой-либо ее точки на расстояние между этой точкой и МЦС фигуры: е) = ил /АР. Направление же вращения фигуры (дутовой стрелки е) ) определяется при этом направлением вектора йл упомянутой точки по отношению к МЦС. 3. Угловую скорость фигуры при плоском движении можно установить из уравнения (3.2), связывающего скорости двух точек плоской фигуры, если задана Рл и известно направление Рв.
Проецируя векторы скоростей, входящие в уравнение (3.2), на направление, перпендикулярное Рв, исключаем Рн и определяем о) по формуле (3.3). 22рннйв 3.2. Кривошнп О,А (рис. 3.9, а) вращается вокруг неподвижного центра О, с угловой скоростью го, . Шатун АВ соединен шарнирно с кривошипом О,А и диском, который может вращаться вокруг неподвижного центра Оз .
Найти угловую скорость шз шатуна АВ, если механизм занимает в данный момент положение, указанное на рис. 3.9, а, а размеры его звеньев известиьь Рюненне. Построим для шатуна АВ механизма иван скоростей — графическое изобрюкение векторного уравнения для скоростей точек плоской фигуры в данный момент времени. Так как скоросп, точки А известна из условия задачи (тл =ю,О,А, Рл1.О, А ), выберем зту точку за полюс. Тогда "в ="л+ "вл. Для построенив векторного треугольника выберем вне плоской фигуры точку Во (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
