Termeh (523129), страница 16
Текст из файла (страница 16)
4.8). 4.5. Скорости точек тела. Кииематичеекие уравнеини Эйлера Поворот тела за малый промежуток времени Ьг на угол Лу вокруг мгновенной оси вращения приводит к изменению проведенного из неподвижной точки тела радиус-вектора г на величину Лг. Эго изменение, если пренебречь изменением положения мгновенной оси вращения тела за рассматриваемый малый промежуток времени И, с точностью до величин второго порядка малости может быть выражено так (см. рис. 4.6): Ьг = (ЛТК„) х г, а его модуль Лг= Ьтг з(п р= Ьуй. Разделим обе части приведенной зависимости на Ы и найдем пределы, устремив Ж к нулю: 1пп — =1щ — К„хг~= 1нп~ — К„хг. я,обт зе~д~ г ~ д р~ ~г~ 7 122 Учитывая (4.4), найдем, что соотношение, устанавливагощее скорость точки тела в случае его сферического движения, принимает вид формулы Эйлера р= сух г.
(4.6) Модуль скорости точки тела т = со)г, где гг — кратчайшее расстояние от рассматриваемой точки тела до мгновенной оси вращения (рис.4.9). Следовательно, как и при вращении тела вокруг неподвижной оси, при вращательном движении вокруг неподвижной точки скорости точек тела в данный момент времени пропорциональны расстояниям от точек до мгновенной оси врасиения тела. Рнс. 4.9 Вектор скорости точки тела перпендикулярен плоскости, в которой находятся векторы со и г (запггрихованная плоскость * Для случая вращения твердого тела вокруг неподвижной оси формула Эйлера выведена в гл.
2. 123 на рис. 4.9), а следовательно, перпендикулярен Ь и направлен по касательной к мгновенной траектории точки в сторону дуговой стрелки угловой скорости тела, вращающегося вокруг мгновенной оси. Найдем вектор Г через его проекции на оси подвижной системы координат ОХУх,. Представив правую часть равенства (4.6) в виде определителя, получим 1 1 К ах а1 аг Х У У где 1, Х, К вЂ” орты подвижной системы координат ОХИ; ах, а„, ах — проекции вектора мгновенной угловой скорости на подвижные оси координат; Х, У, У вЂ” координаты точки тела в подвижной системе координат.
Развернув этот определитель по элементам верхней строки, найдем р=(а,~ — а У)1+(а Х вЂ” а Х)Х+(а У вЂ” а„Х)К. Таким образом, проекции скорости Р точки тела на координатные оси подвижной системы координат ОХУх, будут равны гх ах~ агУ' гаХаХ, (4.7) "х =аху агХ. Установим теперь проекции вектора а, определяемого соотношением (4.5), на оси той же подвижной системы координат ОХУ2,' (рис. 4.10). Вектор фс угловой скорости прецессии разложим предва- рительно на две взаимно перпендикулярные составляющие, одна из которых совпадает с осью Ох, и равна ф соз О, а вторая, равная зуз1п0, принадлежит плоскости ОХУ и совпадает с вспомогательной осью О1., составляющей с осью ОУ угол <р.
Тогда, проецируя последнюю составляющую на оси плоскости, которой она принадлежит, находим ~й =зкяпбз1п~р1+фзшйсоз~рХ+фсозОК. 124 Вектор Вй угловой скорости нутации, совпадая с линией узлов ОК, располагается в плоскости ОХУ подвижной системы координат и составляет с осью ОХ угол <р (см. рис. 4.10). Следо- вательно, для него можно записать Вй= Ь соя ц! — 9з1пд.У . И, наконец, вектор угловой скорости собственного вращения, совпадающий с осью ОУ тела, будет равен ф К . Составим вспомогательную таблицу проекций векторов, входящих в соотношение (4.5) на оси подвижной системы координат: 125 Таким образом, искомые проекции вектора угловой скорости на оси подвижной (скрепленной с телом) системы координат будут равны а» = чгяп Оз1п а+ О соя ~р; а =фяпОсозф-Оянка; (4.8) а = ф соз О+ ф.
Полученные соотношения носят название кинематических уравнений Эйлера. Они устанавливают связь между проекциями вектора угловой скорости тела а, углами Эйлера у, О, а н их первыми производными по времени. Подстановка (4.8) в (4.7) и дает искомые проекции вектора Р на оси координат ОХУг,. Скорости точек тела, лежащих на мгновенной оси (см. рис.
4.9), в рассматриваемый момент времени равны нулю, и их проекции иа оси координат должны удовлетворять следующим уравнениям: а„У-а У=О; а Х-а~У=О; а У-а„Х=О, х у г (4.9) ах аг аг Соотношения (4.9) являются уравнениями прямых, проходящих через начало координат, н представляют собой уравнения мгновенных осей вращения тела в подвижной системе координат. Если величины, входящие в (4.9), рассматривать как функции времени, то эти соотношения будут предстаюппь собой параметрическую форму уравнений подвижного аксоида.
Для неподвижной системы координат Охуг в формулы (4.7) и (4.9) вместо а „а„а и Х У, Е нужно подставить а„а„, а, и х, у, г, т. е. проекции угловой скорости а и радиус-вектора Р точки тела на неподвижные оси Ох, Оу, Ог. Если положение мгновенной оси вращения установлено, то для определения модуля угловой скорости тела а в данный момент времени достаточно модуль скорости какой-либо точки тела в тот же момент времени разделить на кратчайшее расстояние от нее до мгновенной оси вращения тела. 126 Прилгер А.д Найти неподвижный и подвижный аксоиды и угловую скорость конуса высотой Н и углом полураствора при вершине а (рис. 4.11).
если конус катится по горизонтальной неподвижной плоскости без скольжения. его вершина О неподвижна. а скорость б центра С его основания постоянна. Рнс. 4.11 Решение. Так как движение конуса происходит без сколыкения, то скорость его точки А контакта с неподвижным основанием равна нулю. Неподвижной точкой является и точка О. Следовательно, прямая ОА — мгновенная ось вращения конуса. Геометрическое место мгновенных осей врашения в неподвижной системе координат Охут — плоскосп Оху, по которой катится конус (неподвижный аксоид).
В подвижной же системе, связанной с конусом, геометрическое место мгновенных осей образует коническую поверхность, совпадаюшую с поверхностью самого конуса (подвижный аксоид). Так как т = ы Ь, а л = СЕ = Н з(п а, то ННз(па Если вектор скорости точки С конуса направлен в сторону, указанную на рис. 4.11, то вектор его мгновенной угловой скорости направлен от вершины конуса к основанию по мгновенной оси вращения ОА. Учитывая, что скорость какой-либо точки тела, с одной стороны, есть первая производная по времени от ее радиус-вектора 127 г, проведенного из неподвижной точки тела, а с другой — определяется векторной формулой Эйлера (4.9), можно записать с'р — = вхр.
Й Поскольку модуль радиус-вектора г — расстояние между двумя точками М н О твердого тела — постоянен (см. рис. 4.9), равенство (4.10) можно рассматривать как формулу для вычисления производной по времени от вектора постоянного модуля, изменение которого сводится лишь к его повороту вокруг неподвижной точки. Если взять в качестве таких векторов единичные векторы 1,,У, К. подвижной системы координат ОХИ, вращающейся с угловой скоростью в (см. рис. 4.9), то а11 — а1У вЂ” а1К вЂ” = а х1; — = а х.У; — = а х К, (4.11) о1 с11 Й Формулы (4.11) называют формулами Пуассона. 4.6.
Ускорении точек тела Рассмотрим твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной точки О, н выберем в нем какую-либо точку М (рис. 4.12). Если в данный момент времени скорость точки тела равна Р, то ее ускорение может быть выражено формулой а =от/о1. Полагая Р = а х Р, запишем Ир Ы Ыв Ир а = — = — (ахр)= — хрь вх— сй с11 й~1 М Поскольку й а1 й = В, а й г (о1 = р = а х Р, то а=вхр+ахр (4.12) Установленное соотношение называют формулой Рнеальса.
Она дает представление о распределении ускорений точек в твердом теле, движущемся вокруг неподвижной точки. Ускорение а есть сумма двух ускорений. Первое а =вхр (4.13) называют вращательнымускорением, второе 128 (4. 14) а =ахи осестремительнмм ускорением точки. Таким образом, а = авр + аы.
(4.15) Рис. 4.12 Вектор вращательного ускорения а направлен перпендикулярно к плоскости, образованной векторами а и г (заштрихованная плоскость на рис. 4.12), так, что с конца его поворот первого вектора до совмещения его со вторым виден происходящим против направления движения часовой стрелки. Модуль вектора а, равен л а =)ахг~в егяп(в,г)=ай,, (4.16) 129 где й, =гяп(а, р) — кратчайшее расстояние от точки до линии, вдоль которой направлен вектор углового ускорения а в данный момент времени (см. рис. 4.12). Вектор осестремительного ускорения а (см. рис. 4.12), являясь результатом векторного произведения в и р, перпенди- кулярен к плоскости, образованной последними, и направлен от точки М по перпендикуляру, проведенному из нее на мгновенную ось вращения тела.
Модуль вектора а, учитывая (4.б) и то, что а 1 Р, равен а =1ез х Р1 = езтз(п(сз, Р) = езт =сз~Ь. (4.17) Итак, ускорение точки тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, равно векторной сумме вращательного и осестремительного ускорений. Модуль ускорения а равен (4.18) Отметим, что формула Ривальса (4.12) напоминает формулу (2.2) для ускорения точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Вращательному и осестремительному ускорениям здесь соответствуют тангенцнальное а, =вЯ и нормальное а„=о~Я ускорения.
4.7. Вычисление углового ускорения тела Для вычисления ускорения произвольной точки тела, вращающегося вокруг неподвижного центра, необходимо знать его угловое ускорение в . Рассмотрим один нз способов его определения. Если угловая скорость, а значит, и ее проекции а„, в , ьз„ на неподвижные оси координат являются известными функциями времени, то проекции углового ускорения тела на те же оси определяются следующим образом: аго, . Йо, Ыв. (4.19) аг ~ Ж й Зная проекции вектора в, найдем его модуль и направление в пространстве (косинусы тех углов, которые вектор а составляет с осями координат). Если угловая скорость постоянна по модулю, то В= — = ез,, хБ, НЮ (4.20) ~й где в„— угловая скорость дифференцируемого по времени вектора угловой скорости ш .
Рассмотрим пример вычисления угловой скорости и углового ускорения тела, а также скоростей и ускорений его точек при вращении тела вокруг неподвижного центра. Пример К2. Правильный конус с углом при Вершине 2а и высотой Н катится по неподвижной горизонтальной плоскости без скольжения, при этом вершина О конуса остается неподвижной, а центр С его основания движется по окружности, расположенной в горизонтальной плоскости, с постоянной скоростью б (рис. 4.13). Найти угловую скорость и угловое ускорение конуса, скорости и ускорения точек А и В его основания. Рнс. 4.13 Рпаенва Введем неподвижную систему координат Охуз с началом в точке О конуса и осью Оу, направленной в данный момент по его образующей ОА, вдоль которой конус касается неподвижной плоскости.
Поскольку конус катится без скольжения, то скорости всех его точек, лежащих на образующей ОА, равны в данный момент нулю. Следовательно, мгновенная ось вращения конуса совпааает с образующей ОА и направлена вдоль оси Оу. Установив положение мгновенной оси вращения, найдем модуль мгновенной угловой скорости конуса. Поскольку г, =вСО, где СР = ОС з1п а — кратчайшее расстояние ст точки С до мгновенной оси, то "г ю= — = —,=сопзг СО Нз!па 131 Учитывая заданное направление вектора Рс р, отложим от точки О вдоль мгновенной оси ОА вектор в так, чтобы видеть с его конца вращение конуса вокруг этой оси в направлении, противоположном направлению движения часовой стрелки (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
