Termeh (523129), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Решении В рассматриваемом механизме тела 1 и 2 совершают вращательное движение (нх неподвижные оси вращении совпадают с осями цилиндрических шарниров О и О, соответственно). Тело 3 совершает поступательное движение (линия, проходящая через точки А и В, все время остается вертикальной, а линия, проходяшвя через точки В и Р, — горизонтальной). Тело 4 также совершает поступательное движение, перемещаясь в вертикальных направляющих.
Проекции угловой скорости и углового ускорения тела 1 на ось вращения Оз найдем по формулам ы н = ф = Ь - 2с1; е „= ф = -2с, л л раа Зл рад Прн ! =)с ф =- рвд; ын = — —; е,, = — —, а модули угловой скос л рад Зл рад росгн н углового ускоренна тела 1 м, = — —; е, = — —. 2с'2с' Направление угловой скорости тела 1 показано на рис. 2.7, а дуговой стрелкой, совпадаощей по направлению с дуговой стрелкой, указывающей положительное изменение угла ф, так как ын > 0; дуговая стрелка углового ускорения, для которого ен < О, имеет противоположное направление.
Углы поворота тел 1 и 2 в их вращательных движениях одинаковы (ОА и О,В являются противоположными сторонами подвижного параллелограмма ОАВ(4 ), так что угловая скорость и угловое ускорение тела 2 идентичны аналогичным параметрам тела / (ге~ = и,; с, = к, ). Рнс. 2.7 /Зля точки Л, как точки, принадлежащей телу /, совершающему вращательное движение, тл =ш,/. =(и/2) 0,2м0,314 м/с. Вектор т„З.ОА и направлен в соответствии с направлением дуговой стрелки угловой скорости тела / (см.
рис 2 7 и). Ускорение точки А а„ = й„' +а„". Вектор а',З.ОА, его направление соотвщствует направлению углового ускорения тела /, а модуль 1' и„'~ с,/. (Зп/2).0.2 и 0,942 м/с'. Нормальная составляющая ускорения а", направлена из тачки А к точке О, а'„' =ге~ ОА =(к/2) .0,2м0,493 м/с . Полное ускорение точки Л расположено на диагонали прямоугольника, построенного на 83 = 1,07 м/с (см.
рис. 2.7, а). Так как тело 3 совершает поступательное движение, то скорости и ускорения всех его точек одинаковы и равны скорости и ускорению самого тела 3, поэтомУ Рэ = Ро = тэ, а, = ао — — а„. ТРаектоРией точки А Явллетсл окРУжность радиусом г = / = 0,2 м с центром в точке О(0, О), а точки Π— окружность с таким же радиусом и центром в точке Оз с координатами хо, =е=0,5м, у<>, -— -</= — 0,4м (см. рис. 2.7, а). В месте контакта тел 2 и 4 в точке Е выделим точки Ез и Е<, физически принадлежащие телам ' 2 и 4 соответственно. Для точки Е имеем: = сэ // ч 0.157 м/с; вектор Рь,3 О<Е и его направление соответствует направлению дУговой стРелки Угловой скоРости тела 2; УскоРение аь =аь +а„д, где г вектор о,<:,.~О<Е н направлен в соответствии с направлением углового ускорения тела 2, ~а<, ~ =аз/2=(Зл/2) О! 0,47! и/с, а вектор а„"; направлен наточки Е к точке О,, а," =еэ~/2=(л/2) 0,1 ч0,247м/с; полное ускорение аь распоЛ2 гй ложено на диагонали прямоугольника, построенного на векторах а~ и а~'.
как 2 на сторонах, его модуль а„, = )~а~,, + а<,;„ч 0,532 и/с (см. рис. 2.7, б). Из условия отсутствия проскальзывания между телами 2 и 4 в точке их контакта следует Ргч =Рь,, т. е. скорости точек Е' и Е, одинаковы (равны н по величине, н по направлению); ага =а,';,, т.
е. полное ускорение точки Е4 равно тангенциальной составляющей ускорения точки Е, . Скорости и ускорения всех точек тела 4, совершающего поступательное движение, одинаковы и равны скорости и ускорению самого тела 4: Р„= Рк, а< = аь (см. рис. 2.7). ш' Глава 3 ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА 3.1. Разложение плоского движения твердого тела на поступательное и вращательное движения Плоским, или плоскопароллельным, движением твердого тела называют такое его движение, при котором точки тела движутся в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости. Примерами такого движения могут служить: качение шестерни с подвижной осью по другой неподвижной шестерне, качение колеса по прямолинейной направляющей, движение шатуна кривошипно-шатунного механизма.
Плоское движение твердого тела имеет большое практическое значение, поскольку звенья большинства механизмов н машин, применяемых в технике, совершают в процессе их эксплуатации именно такое движение. При изучении плоского движения необходимо рассмотреть способы задания этого движения, приемы и методы вычисления скоростей и ускорений точек тела. Пусть твердое тело совершает плоское движение. Тогда, согласно определению, все точки тела будут перемещаться в плоскостях, параллельных между собой и некоторой неподвижной плоскости П (рис. 3.1).
Отсюда следует, что любая прямая АВ, перпендикулярная этой плоскости и принадлежащая телу, будет в процессе его двилсения перемещаться вместе с ним поступательно, т. е. траектории, скорости и ускорения всех точек этой прямой будут одинаковыми. Таким образом, для изучения движения точек, лежащих на рассматриваемой прямой, в соот- 85 ветствии с основной теоремой о поступательном движении достаточно знать движение одной из них, например точки А. Следовательно, плоское движение твердого тела полностью определяется движением плоской фигуры Я, образованной пересечением тела любой плоскостью П, параллельной неподвижной плоскости, и задание плоского движения твердого тела может быль сведено к заданию движения плоской фигуры в плоскости, параллельной плоскости П,.
Рис. 3.1 Рассмотрим твердое тело, участвующее в плоском движении (рис. 3.2). Совместим координатную плоскостыЪу системы координат Охуя с плоской фигурой Я тела. Выделим два любых положения фигуры Ю, которые она занимает в процессе плоского движения тела. Поскольку положение плоской фигуры вполне определяется положением ее двух точек или отрезка, соединяющего эти точки, то исследование движения плоской фигуры можно свести к изучению движения принадлежащего ей отрезка АЗ. Перемещение фигуры из одного положения в другое можно разложить на поступательное движение вместе с произвольной ее 86 точкой, называемой полюсом, и вращение в плоскости Олу фигуры вокруг оси„параллельной оси Оз и проходящей через выбранный полюс.
Рис. 3.2 В самом деле, выберем за полюс, например, точку А. Тогда при поступательном движении фигуры отрезок АВ, перемещаясь параллельно самому себе, займет положение А,В,'. Повернув отрезок на угол ~р, совместим его с отрезком А,В, плоской фигуры в новом положении, обеспечив тем самым рассматриваемое движение плоской фигуры. Аналогичный результат получается, если выбрать за полюс точку В. Важно отметить, что тогда как поступательная составляющая плоского движения тела в общем случае различна для разных точек тела, величина и направление отсчета угла поворота плоской фи~ры всегда одни и те же, т. е. они не зависят от выбора полюса.
3.2. Уравненян двизкения, угловая скорость и угловое ускорение твердого тела при плоском движении Итак, для исследования плоского движения твердого тела достаточно изучить движение его плоской фигуры. Совместим плоскость Оху неподвижной системы координат Жуя с плоскостью П, в которой движется плоская фигура (рис. 3.3). 87 Рис. 3.3 Плоская фигура при движении имеет три степени свободы н ее положение определяется тремя независимыми координатами: декартовыми координатами хд и уд полюса А и углом поворота ф отрезка АВ вокруг этого полюса. При движении плоской фигуры координаты х„, у„полюса А и угол ф, изменяясь с течением времени, являются некоторыми однозначными и непрерывными функциями времени к Уравнения хх =Л(~)' ух =Л(~) ' ф=Л(г) определяющие положение и движение плоской фигуры в неподвижной плоскости Оху, называются ураенениями плоского деижения лмердого тала.
В плоском движении вращение твердого тела вокруг подвижной оси, проходящей через полюс, характеризуется углом ф. Как и при вращении тела вокруг неподвижной оси, за положительное направление отсчета угла ф принимают направление, противоположное направлению вращения часовой стрелки. Ввеч дем проекцию угловой скорости оэ и проекцию углового ускоРениа аг .на ось Аг, длЯ плоского ДвижениЯ твеРдого тела: АлгебРаические величины озг и аг могУг быть как положитель- ными, так и отрицательными; они не зависят от выбора полюса.
88 При плоском движении твердого тела угловую скорость и угловое ускорение считают векторами, направленными вдоль подвижной оси, перпендикулярной плоской фигуре. Направление вектора в должно быть таким, чтобы с его конца вращение фигуры виделось бы происходящим против вращения часовой стрелки.
При ускоренном вращении направления е и а совпадают, при замедленном — противоположны. Поскольку выбор полюса произвольный, а и а являются свободными векторами. Очевидно, при этом, что угловая скорость ф и угловое уско- рение ф плоского движения твердого тела — суть проекции соответствующих векторов на ось 2, а их знаки — свидетельство совпадения или несовпадения направлений векторов со и а с положительным направлением оси У(г).
3.3. Скорости точек тела при плоском движении Представим движение плоской фигуры и ее отрезка АВ в неподвижной системе координат Охи ~рис. 3.4). Для произвольного момента времени справедливо векторное равенство гв =г„+АВ. Рве. ЗА При движении плоской фигуры векторы г, и га изменяются и по модулю, н по направлению, вектор.же, АВ изменяется только по направлению, так как его модуль равен постоянному для твердого тела расстоянию между точками А и В.
Запишем производную по времени от обеих частей равенства (3.1): 89 6 зэк. 19 Ирв Игл ИАВ аг й й ИАВ Обозначив — = Гв„и назвав Г „скоростью точки В тела аг прн вращении его вокруг полюса А, получим вв ="л + "вл. (3.2) Рассмотрим вектор Г „. Поскольку А — вектор постоян- ного модуля, то а' — ~ — ~ й~ Рвл = (АВ)=~АВ~ — т=АВфт, г(г йг где Т вЂ” единичный вектор, лежащий в плоскости фигуры, перпендикулярный АВ и направленный в сторону возрастания угла поворота фигуры у. Тогда вектор Г „лежит в плоскости движущейся фигуры, перпендикулярен отрезку АВ, соединяющему точку В с полюсом А, и направлен в сторону вращения фигуры вокруг этого полюса (см.
рис. 3.4). Определим модуль вектора рвв: "вл =~~вл~ =~АВ)ф~. Обозначив ~ф~ = оэ, запишем увл — — гоАВ. (3.3) Применив формулу Эйлера, представим выражение (3.3) в векторной форме: НАВ Рвл = — — — оэхАВ. аг Окончательно имеем Рв = Р, + Рвл - — Р, + оэ х АВ . (3.4) Таким образом, скорость какой-либо точки фигуры при ее плоском движении равна векторной сумме скорости полюса и скорости знюй точки при вращении фигуры вокруг полюса. 3.4. Мгновенный центр скоростей В любой момент времени при плоском движении фигуры существует единственная точка фигуры, скорость которой равна 90 нулю. Эту течку называют мгиовенниии центром скоростей (М4С). Найдем эту точку, обозначив ее Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
