Termeh (523129), страница 13
Текст из файла (страница 13)
рис. 3.9, б) н построим в некотором масштабе вектор Р, . Через конец этого векюра (точку а) проведем прямую аЬЗАВ ( РЖАВ ) до пересечения ее в точке Ь с прямой, проведенной из Во параллельно направлению искомой скорости точки В (РвАОзВ). Тогда вектор аЬ представляет собой в выбранном масштабе скорость точки В при врашеиии шатуна вокруг новика А т. е. Рвл, а вектор В„Ь вЂ” искомую скорость Рв . 97 Рие.
3.9 СПРОЕПИРОВаа ВЕатОРЫ, ВХОДЯШИЕ В УРаВНЕНИЕ Рл —— РЛ + ггая, На НаПРаВЛЕНИЕ О,у, получим О = -т„в!па+ кщяпр, или -я101Аяпа+ ягАВяпр = О. Откуда находим я1О1 А 5! П а яг = АВ51пр 3.7. Ускорении точек тела прн плоском движении Перейдем теперь к определению ускорений точек плоской фигуры.
Выше было показано (см. 9 3.3), что при движении плоской фигуры в любой момент времени справедливо соотношение (3.2) между скоростями двух ее точек. Проднфференцировав его по времени, получим ~~уд ~' рл ~г 1 ал Ыг Й й 9а а рв Здесь =аг, — =а„ вЂ” ускорения точек В и А относи- Ж й . с(эее тельно неподвижной системы координат; — = агх — ускореаг ние точки В при вращательном движении плоской фигуры вокруг подвижной оси, проходящей через полюс А перпендикулярно плоскости фигуры, нли просто вокруг полюса А. Таким образом, (3.6) ае =а„+агх, т. е. ускорение какой-либо точки плоской фигуры при плоском движении равно векторной сумме ускорения полюса и ускорения этой точки при враигателъном движении плоской фигуры вокруг полюса. Учитывая, что Рг„= в х АВ, найдем И Р а' — И в — а'АВ а, = — = — (в х АВ) = — х АВ+ ез х — = агй Ж Й = Ю х АВ+ в х (в х АВ), (3.7) модули которых а,'„~=аАВ, а,"„=в'АВ.
1-'= (3.9) Касательное ускорение а ' направлено перпендикулярно отрезку АВ в сторону, указанную дуговой стрелкой в (рис. 3.10, а). Нормальное ускорение а"„направлено от точки В к полюсу А. Таким образом, Ыа где — = г — угловое ускорение тела при плоском движении. сй' Оценивая слагаемые в соотношении (3.7), отмечаем, что ускорение точки а „при вращательном движении плоской фигуры вокруг полюса, как и в случае вращения тела вокруг неподвижной оси, состоит из касательной и нормальной составляющих: а = ахАВ, а"„=ах(ахАВ)= вхргх, (3.8) Обозначив угол между ускорением а „и отрезком АВ через а, найдем з 1аа =в пал е (3.11) пВА Угол а постоянен для заданных а и е, т.
е. в данный мо- мент времени, и не зависит от положения точек тела. Рис. 3.10 Как и при определении скоростей точек движущейся плоской фигуры, в необходимых случаях рассматривают план ускорений точек фигуры. На рис. 3.10, б построен в масштабе многоугольник ускорений.
.Пример З.З. Колесо радиусом Ю катится по неподвижной прямой (рис. 3.11). Известны ускорение центра колеса а., угловая скорость оз и угловое ускорение е . Определить в данный момент времени ускоренна точек А, В и Р, расположенных на концах вертикального и горизонтального диаметров обода колеса. 100 Рис. 3.11 Реазеиие. Примем за полюс точку С, ускорение которой задано.
Тогда, согласно (3.6) и (3.8), ускорение точки А а„=ас+азс+адс, где а„с =еСА=яК; а,",с =в'СА=в К. Ускорение а„'с перпендикулярно отрезку СА и направлено в сторону, ука- ванную дуговой стрелкой е, а а„"с направлено от точки А к полюсу С. Построив для точки А план ускорений, входящих в правую часть исходного равенства, найдем искомый вектор как вектор а„(см. рис. 3.1! ).
Его модуль .. =4~ ...7.~ю' =~Я',.и7-'Р. Рассуждая аналогично, находим для точек В и Р соответственно: аас =гСВ=гК; авс — -в СВ =в К; .,=~4~-'7+~.~,7=4, ° 'ег+ *Р ~а рс~ е СР = еК; арс = в РС = в К ', аг = (ас -и ) +(а, ") = (ас -еК) +в К 1 2 2 з а з В частном случае, если а, =ар ' еК, то ар =в К=а~с. Этот результат 2 возможен, очевидно, когда колесо катится по неподвижной прямой без скольжения, то есть когда МЦС колеса совпадает с точкой контакта его с основаиием— точкой Р. Таким образом, ускорение точки Р колеса при его качении по неподвижному основанию не может быть равно нулю, поскольку нормальная составшпощая ускорения а~.
= в К имеет ненулевое значение. з 101 3.8. Мгновенный центр ускорений Ф При определении скоростей точек плоской фигуры было установлено, что в каждый момент времени существует такая точка Р фигуры (МЦС), скорость которой равна нулю. Покажем, что в каждый момент времени существует точка фигуры, ускорение которой равно нулю. Такая точка называется мгновенным центрола ускорений (МХЩ. Обозначим ее через Д. Рассмотрим плоскую фигуру, совершающую движение в плоскости рисунка (рис.
3.12). Примем за полюс какую-либо точку А, модуль и направление ускорения а„которой известны в рассматриваемый момент времени. Пусть в этот момент времени известны угловая скорость ш и угловое ускорение е фигуры. Из формулы (3.6) следует, что точка Д будет МЦУ, если а„ + а~„ =О, т. е. когда ад = -а~„. Так как вектор а,,д составляет с линией АД угол а (18а=е/оэ' ), то параллельный ему вектор а„направлен к линии, соединяющей полюс А с точкой Д, также под углом а (см. рис. 3.12). Рис. ЗА2 Проведем через полюс А прямую МЖ, составляющую с вектором его ускорения угол а, откладываемый от вектора ал в направлении дуговой стрелки е .
Тогда на луче АФ найдется точка Д, для которой а„= — аа„. Поскольку, согласно (3.10), ~а „~ = АД~/е' + еэ", то точка Д (МЦУ) будет отстоять от полюса А на расстоянии АД= (аА ~ (3.12) е в+ аз Таким образом, в каждый момент движения плоской фигуры, если со и в не равны нулю одновременно, имеется единственная точка этой фигуры, ускорение которой равно нулю. В каждый последующий момент времени МЦУ плоской фигуры будет находиться в различных ее точках. Если МЦУ вЂ” точку Д выбрать за полюс, то ускорение любой точки А плоской фигуры аА =аа+аАа =аАа так как а, =О. Тогда а„= а „= ДА~/я + со' .
(3.13) Ускорение аА составляет с отрезком ДА, соединяющим эту точку с МЦУ, угол а, откладываемый от ДА в сторону, противоположную направлению дуговой стрелки углового ускорения е (см. рис. 3.12). Ускорения точек фигуры при плоском движении пропорциональны расстояниям от МЦУ до этих точек (см. (3.13)). Таким образом, ускорение всякой точки фигуры при. ее плоском движении определяется в данный момент времени так же, как и при вращательном движении фигуры вокруг МЦУ.
Выше (см. пример 3.3) было показано, что при качении колеса по прямой без скольжения ускорение его МЦС не равно нулю. Следовательно, в общем случае МЦС и МЦУ являются разными точками плоской фигуры. Рассмотрим случаи, когда положение МЦУ можно определить с помощью геометрических построений. юз 1. Пусть известны направления ускорений двух точек плоской фигуры, ее угловые скорость и ускорение (рис. 3.13). Тогда МЦУ лежиг на пересечении прямых линий, проведенных к векторам ускорений точек фигуры под одним и тем же острым уг; лом 6 а=агсгй — ~О, 2 отложенным от векторов ускорений точек в направлении дуговой стрелки углового ускорения. Рве. 3.13 2. Пусть известны направления ускорений хотя бы двух точек плоской фигуры, ее угловое ускорение а = О, а угловая скорость а~О.
Это возможно, например, когда плоская фигура вращается в своей плоскости с постоянной угловой скороспю или в = 0 в какой-либо момент времени. Тогда Гйа=а/сз' =О, а=О, и МЦУ лежит в точке пересечения прямых линий, по которым нзззравлены ускорения ее точек (рис. 3.14), а сами ускореиия направлены к зтому центру, так как они представлены лишь нормальными составляющими от вращения фигуры вокруг МЦУ. Следователыю, расстояния от них до МЦУ будут Ад=а.~ют, ВЯ=ОВ1юа. 104 Рис. 3.14 Рис. Х15 3. Пусть известны направления ускорений хотя бы двух ток плоской фигуры, ее угловая скорость а = О, а угловое усконие в ~ О. Это возможно, когда в процессе плоского движения 105 тела меняется направление его вращения.
Поскольку гяа = а/оэ = ао, угол а — прямой. Следовательно, МЦУ лежит на пересечении перпендикуляров, проведенных из точек фигуры к векторам их ускорений (рис. 3.15). Расстояния от точек, ускорения которой известны, до МЦУ будут АД=а„/а, ВД=а /а (см. (3.12)). 3.9. Способы вычисления углового ускорения тела прн плоском движении Из (3.7) следует, чго для определения ускорения произвольной точки плоской фигуры необходимо знать угловое ускорение тела е . Рассмотрим некоторые способы его нахождения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
