Termeh (523129), страница 14
Текст из файла (страница 14)
1. Угловое ускорение можно определить дифференцированием по времени угловой скорости или угла поворота плоской фигуры, если онн заданы как функции времени: Ч' с, = — '=Й, = — =(р. В ~ (2 Причем, если в данный момент времени алгебраическое значение углового ускорения тела ф>0, то направление дуговой стрелки е совпадает с принятым положительным направлением отсчета угла поворота ф, если же 1р < 0 — то противоположно ему. Во многих задачах зависимость угла поворота или угловой скорости данного тела рассматриваемой системы от времени неизвестна, но ее можно установить по параметрам движения других тел этой системы, известным в рассматриваемый момент времени. Например, в планетарном механизме (рис.
3.1б) известен закон изменения угловой скорости в2 = еэ2(г) водила ОА. Требуется определить угловое ускорение с, планетарного колеса. Поскольку обкатывание его происходит без скольжения, то его МЦС лежит в точке Р контакта колес. Следовательно, г„АО ( Я1 еэ = — '=еэ — =оэ 1+ —, ! 2 2~ АР г 1, г! откуда 106 Рас. 3.16 2. Угловое ускорение можно определить, зная вектор скорости какой-либо точки плоской фигуры и положение ее МЦС. Пусть известны скорость т, и расстояние от точки А до МЦС АР как функции времени тя = тя(г); АР = АРЯ. Тогда го =тд (АР. Дифференцируя это соотношение по времени, получаем Если АР=сопз1 (качение колеса радиусом Я без скольжения, точка А — центр колеса), то 3. Угловое ускорение плоской фигуры можно найти по уравнению, связывающему известные ускорения двух точек плоской фигуры, ггв =ггл + цу + цу.
(3.14) Записывая данное равенство в проекциях на ось, перпенднкулярнуго вектору ускорения ав, и считая а„и оз известными, получаем уравнение с одним неизвестным ~а'„~. Решив его относительно ~аа„~, находим ('~вм( ВА Пример 3.4. Определить угловое ускорение а линейки АВ эллипсографа (рис. 3.17), если в рассматриваемый момент времени, угловые скорость ю, и ускорение а~ кривошипа ОС известны, а размеры звеньев и положение механизма заданы.
Рис. 3.17 Решение. Так как ускорение шарнира С, по сути, задано, примем точку С за полюс, участвующей в плоском двюкении линейки АВ. Тогда, согласно (3.14), — — и — э В с вс с с Вс ас' В этом уравнении векторы ас, йс и авс известны по модулю и направлению. Вектор ас по модулю ~йс ~ = ю, . ОС и направлен к оси вращенил криво- шипа О(г) . Веатор а по модулю равен ~йс~ = а, ОС и направлен в соответствии с направлением дутовой стрелки углового ускорения аг Так как 108 и =оз,.ОС=от,СР„где Р, — МЦС линейки АВ, ОС=СР и оз, = = вс! СР, — ОС оз, /ОС = оз„то, следовательно вектор аа, по модулю 1:=' йас ~ = пз, ВС = оз, ОС и направлен от точка В к полюсу С ).
Векторы йа и ая известны лишь по направлению ( аас перпендикулярен ВС, а аа параллелен оси Оу) (см. рис. 3.17). Спроецировав упомянутое векторное уравнение на ось Ох, перпендикулярную неизвестному вектору йа, и полагая, что дуговая стрелка углового ускорения Е линейки направлена против направления движения часовой стрелки, найдем 0 =-ас созчгь аФ~ агпгр+ пас соагр пес а)п9. (Здесь в силу принятого направления дуговой стрелки аз проекция аа. на ось Ох будет отрицательной.) Отсюда "ас =(оас ос)сгйч +ос =ос >О (авс =ос). я я а 1 е Поскольку ало =а,ВС=езОС (ВС =ОС), то е;ОС ез = ОС ОС Направление дуговой стрелки углового ускорения линейки эллипсографа определяется установленным знаком а~с. Так как аз, > О, то это означает, что выбранное ранее направление углового ускорены а верно, т.
е. его дуговая стрелка действительно в данный момент времени направлена против направления движения часовой стрелки. Глава 4 ВРАЩЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ 4.1. Число степеней свободы. Углы Эйлера. Уравнении вращении Движение твердого тела называетсл вращением вокруг иеиодвизкиай точки, если во все время движения одна и та же точка твердого тела остается неподвижной. Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки называют сферическим двииееиием, поскольку траектория любой точки тела располагается на поверхности сферы с центром в неподвижной точке тела.
Положение свободного твердого тела можно определить тремя точками, не лежащими на одной прямой и неизменно связанными с телом. Поскольку на девять координат этих точек наложено три ограничения, выражающих неизменность расстояний между ними, можно сделать вывод, что число независимых параметров, задаюшил положение свободного тела в пространстве, а значит, и число степеней его свободы, равно шести. Если во время движения твердого тела одна и та же его точка остается неподвижной, то число степеней свободы такого тела уменьшится по сравнению со свободным на три единицы. Следовательно, тело, совершающее вращение вокруг неподвижной точки, имеет три степени свободы, и для оценки его положения и движения необходимо задать три независимых параметра (координаты). Сделать это можно различными способами.
Например, в качестве таких параметров могут быть введены предложенные А.Н. Крыловым так называемые корабельные углы„определяющие положение тела (корабля) относительно системы координат, связанной своим началом с его центром ыо тяжести С. Пусть система координат СХУУ 1рис. 4.1), жестко связанная с кораблем„в исходном положении совпадает своими осями с осями неизменного направления неподвижной системы координат Слух. Тогда, если ось СХ направлена от кормы к носу корабля, ось СУ вЂ” к его левому борту, а ось СУ образует с ними правую систему координат, то углы Крылова будут определены следующим образом: угол дифферента Ч1 — угол между осью Сх и линией СК пересечения координатных плоскостей Схз и СИ', угол рыскания <р — угол между линией СК и осью СХ и, наконец, угаи крена Э вЂ” угол между осью СУ и линией СМ пересечения плоскостей Схз и СУу.
Зная эти углы для каждого момента времени, можно всегда найти положение системы координат СлХУ, а следовательно, и положение тела (корабля), скрепленного с ней, относительно неподвижной системы координат Схуг. Рас. 4.1 В тех случаях, когда угловая скорость вращения в одном направлении значительно больше угловых скоростей вращений в 111 двух других направлениях (генераторы, моторы, турбины, гироскопы), положение тела, как правило, определяется углами Эйлера: углом прецессии 1р, углом нутации О, углом собственного вращения 1р.
Чтобы задать эти углы, представим себе твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной точки О (рис. 4.2). Введем неподвижную систему координат Охуг, имеющую начало в точке О. Жестко свяжем с телом вторую, подвижную систему координат ОХУг. с началом в той же точке.
Чтобы определить положение твердого тела в неподвижной системе координат Охуг, достаточно определить в ней положение неизменно связанной с телом подвижной системы координат ОАТХ Рис. 4.2 Линию ОК пересечения координатных плоскостей Оху (на рис. 4.2 изображена в виде заштрихованного овала) и ОКУ (ограничена белым овалом) назовем линией узлов.
Тогда угол прецессии 1р определяет положение линии узлов ОК относительно неподвижной координатной оси Ох. Для изменения этого угла тело должно вращаться вокруг неподвижной оси Ог, называемой осью прецессии. Угол нутации 8 определяет положение подвижной 112 осн Ог, относительно неподвижной Ог и равен углу между этими осями. Изменение угла 8 сопровождается вращением тела вокруг линии узлов ОК, называемой осью иуиищии. Наконец, угол собственного вращения «р характеризует вращение тела вокруг оси Ог, называемой осью собственного еращенык. В подвижной плоскости ОХУ это угол между линией узлов ОК и подвижной осью ОХ Положительное направление отсчета углов Эйлера «р, О и «р противоположно направлению движения часовой стрелки, если смотреть на поворот тела с положительных направлений осей Ог, ОК и Ог, соответственно.
Углы Эйлера являются независимыми параметрами, характеризующими положение тела с одной неподвижной точкой относительно неподвижной системы координат. Онн широко используются в теории гироскопов. Движение гироскопа симметричного тела, имеющего неподвижную точку на своей оси симметрии, в общем случае можно представить состоящим из трех движений (рис. 4.3): вращения с большой угловой скоростью вокруг оси симметрии (осн собственного вращения), прн котором меняется угол собственного вращения «р; вращения вместе с осью симметрии вокруг неподвижной оси Ог (оси прецессии), прн котором меняется угол прецессии «р, и движения оси симметрии гироскопа относительно линии узлов ОК, в результате которого меняется угол нупщни 8 между осями 02 и Ог. При прецессионном движении ось симметрии гироскопа Ог описывает волнистую коническую поверхность, если же угол нугации О не меняется, то описываемая ею поверхность будет правильной конической.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
