Termeh (523129), страница 17
Текст из файла (страница 17)
рис. 4.13). Скорость точки А р„ = О, так как в данный момент времени эта точка принадлежит мгновенной оси вращения конуса Скорость точки В р и» = вЬи = в ВЕ = —,2Н япа = 2р Няпа Вектор Рз перпендикулярен плоскости ОВЕ и в соответствии с направлением вращения конуса вокруг мгновенной оси ОА направлен параллельно оси Ох неподвижной системы координат. Поскольку мгновенная угловая скорость в конуса постоянна, его угловое ускорение определяется как производная от вектора постоянного модуля (4.20): ~Св е= — =в,хв. г(г Кратчайшее расстояние от точки С до оси Оз равно СЕ = ОСсоза = Нсоза и р в СЬ Н сова Так как в„йв, то 2тг з=в,вяп(в, в)=в,в= Н' з!п 2а Ускорение какой-либо точки конуса определим в соответствии с (4.15) как геометрическую сумму вращательного и осестремительного ускорений.
Для точки А конуса а„'Р=ехОА; аив з.ОА; йй=вхби. Вектор а„'Р направлен перпендикулярно плоскости, в яоторой лежат векторы з и ОА, т. е. параллельно оси Ог вверх. Поскольку р, О, то алии О . Таким образом, г г ,р,р 2» Н р аи = аи, а„= аи = к ОА = Н яп2а сова Нсозгаз!па г . Для точки В конуса Вии =з.ОВ 2рг Н т а =зОВ=. н Н'яп2а сова Нсоз'аз(па -и аз =вхив 132 2г 2 2 пв =а ВЕ= з з 2Нз)па=— Н'яп а Няпа Вектор авм перпендикулярен плоскости, образованной в точке В векторами а, ОВ, принадлежит плоскости Оуз, а его направление определяетсл векторным произведением ахОВ.
Вектор ов~ перпендикуларен плоскости, образованной в точке В векторами в, Рв, и направлен от точки В к мгновенной оси вращения конуса (см. рис. 4. $3). Полное ускорение точки В найдем как диагональ параллелограмма, построенного на аекторвк ов, авв .' ов= У 1 4 соя 2а 4 Н япа соз' а соз' а Глава 5 ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА 5.1.
Число степеней свободы. Обобщенные координаты. Уравнения движения Движение твердого тела относительно рассматриваемой системы отсчета 5 на интервале времени (г,, ~ ) называется. общим случаем движении, если на этом интервале времени нет геометрических ограничений на положение и ориентацию тела. В данном случае в отличие от ранее рассмотренных движений предполагается, что тело может геометрически свободно двигаться в пространстве. Свобода движения тела здесь понимается не как отсутствие препятствующих сил, а как принципиальная возможность осуществления любого варианта движения тела из занимаемого им положения. Такую возможность твердое тело имеет, например, находясь в пустоте или в деформируемой среде — газе, жидкости.
Если учитывать деформирование поверхностей всех смежных с ним тел в зонах контактов, то движение твердого тела должно быть также отнесено к случаю общего движения. Термин «общий случай движения» дан в связи с тем, что все иные типы движения твердого тела можно рассматривать как его частные проявления.
Формулы кинематики и динамики общего случая движения справедливы для любых движений твердого тела. Приведем примеры общего случая движения твердого тела: полеты самолета, ракеты, спутника относительно планеты; качка судна в воде относительно берегов; галопирование вагона или подрессоренного корпуса автомобиля относительно грунта при езде по неровной дороге; вибрация вращающегося ротора, установленного в упругих опорах, относительно корпуса; движение груза, подвешенного на упругом тросе, при движении стрелы подъемного крана.
Положение любой точки твердого тела, а следовательно, и положение самого твердого тела в системе отсчета движения Я« определяется положением каких-либо трех фиксированных его точек, не лежащих на одной прямой, ибо такие точки позволяют построить в теле базисную систему Я с началом в одной из них.
Поскольку в системе Я координаты любой точки тела постоянны, то движение ючек тела является следствием движения самой системы Я, т. е. выбранных базисных точек. Последнее доказывает, что характеристики движения произвольной ючки полностью определяются движением трех выбранных базисных точек тела. Поэтому при изложении формулировок определений частных случаев движения твердого тела достаточно указывать свойства геометрических ограничений лишь для его базисных точек. Например, движение тела будет поступательным относительно системы Я„пока хотя бы два из трех отрезков, соединяющих три базисные точки, не изменяют своей ориентации в Я». Из девяти координат трех базисных точек тела лишь известь могут быть независимыми, поскольку длины трех отрезков между этими точками твердого тела должны сохраняться.
Поэтому положение тела в общем случае движения задается шеспзью независимыми переменными параметрами о„...,оь, называемыми обобщенными координатами тела. Это означает, что тело имеет шесть степеней свободы относительно системы Я . Большего числа степеней свободы твердое тело как самостоятельный объект изучения никогда не имеет. Возможны различные варианты выбора обобщенных координат. Для наглядности восприятия в качестве последних обычно выбирают геометрические параметры — прямолинейные или криволинейные координаты и углы. Типовой вариант выбора обобщенных координат для общего случая движения твердого тела показан на рис.
5.1. Тело здесь изображено в виде прямоугольного параллелепипеда, который надо воспринимать как некоторый «кусочек» тела произвольной формы. Помимо основной 135 системы Я отсчета движения здесь используются две вспомогательные подвижные системы Я, и Я . С некоторой точкой тела, например А, связано начало осей системы Я,, направления которых всегда совпадают с направлениями одноименных осей исходной системы Ю . При таком условии система Я, движется поступательно относительно системы Я,. Положение системы Я, относительно Я может быть задано, например, с помощью декартовых координат точки А. Рис. 5А Система Я, с началом в точке А жестко связана с телом. Поэтому любое нетривиальное движение тела (и осей системы Я, ) относительно системы Я, будет сферическим по определению этого вида движения.
Пространственная ориентация осей системы Я, относительно системы Я, может быть задана, например, тремя углами Эйлера. Три декартовы координаты хя, у„, г„точки А и три угла Эйлера Ч~, О, ф являются обобщенными координатами тела в системе Яо. Представленный вариант обобщенных координат не является единственным.
Начала систем Я, и Я можно совместить с любой точкой тела. Вместо декартовых координат точки А 136 можно использовать, например, ее цилиндрические координаты, а вместо углов Эйлера — иную систему углов. Совокупность уравнений Ч, = 7;(г) (1=1,б), (5.1) определяющих зависимость обобщенных координат тела от времени, называют законом движения тели, али уравнениями его движения, на некотором интервале времени (г„г,). Например: Ч1 А Л( )~ Ч2 уА г2(г)~ ЧЗ гА гЗ(г)р (5.2) Ч. = Ч' = ~~(г) Ч~ = В = ~~(г)» Чб = сР = ~ь(г) Информация, заключенная в уравнениях движения (5.2), является исчерпывающей для расчета любых кинематнческих характеристик движения отдельных точек и пространственной ориентации тела.
Получение информации об общем случае движения тела в заданных физических условиях в виде (5.1) обычно составляет главную цель задач динамики твердого тела. Любой вид движения твердого тела можно рассматривать как частный случай общего движения. Нетрудно убедиться, что частным случаям законов изменения обобщенных координат твердого тела (5.2) отвечают частные виды движений твердого тела, в том числе и покой. Так, если углы Эйлера на некотором интервале времени остаются постоянными, то движение тела соответствует определению поступательного движения.
Аналогично, если координаты точки А остаются постоянными, то движение тела соответствует определению сферического движения. Если же остаются постоянными координата г„и два угла Эйлера у, О(В = О), то движение тела соответствует определению плоского движения, параллельного плоскости осей Озу системы Яо. Таким образом, фиксируя некоторые обобщенные координаты, можно генерировать различные частные случаи движения тела с меньшим числом степеней свободы. Другой вариант сокращения числа степеней свободы твердого тела — установление какой-либо функциональной зависимости между двумя или несколькими исходными обобщенными координатами.
Например, будем считать, что при движении тела 137 изменяются лишь две координаты: г и угол д, причем их изме- пения пропорциональны одно другому, т. е. г = го + Н (р/(2к ) Тогда движение тела соответствует одностепенному винтовому движению с шагом винта Н, поскольку за полный оборот тела (ср=2я) точка А перемещается вдоль оси Оя на расстояние Н (рис. 5.2). Закон такого винтового движения задается лишь одной функцией, например ф = 1'(г) . Взаимосвязь между исходными обобщенными координатами может иметь более сложный вид, например при движении тела по поверхности с непрерывным контактированием.
Аналитическое выражение такой зависимости определяется формой тела и формой поверхности. Для простоты рассмотрим случай движения круглого тонкого диска— монеты радиусом Я по плоскости стола (рис. 5.3). Расположим оси Ох и Оу системы Я в опорной плоскости, а в качестве точки А системы Я, возьмем центральную точку 1 диска, при этом ось АУ системы Я, направим перпендикулярно плоскости диска. При непрерывном контактировании тел значение координаты я„ будет зависеть от угла наклона плоскости монеты к плоскости стола: я „= Яз|п(К, /с) = Яз|п О, где  — угол нутации в группе углов Эйлера, задающих пространственную ориентацию осей системы Я относительно системы Я0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
