Termeh (523129), страница 19
Текст из файла (страница 19)
е. ЙЬ вЂ” = — +Ь„(ах У)+Ь„(вх.У)+ЬгГвх К)= с(г й = — + а х (Ь „Х+ Ь,У+ Ь К). х у г С учетом (6.6) получаем — = — +гсхЬ. ИЬ с(Ь (6.10) й й Выражение (6.10) носит название формулы Бура и устанавливает, что абсолютная производная вектора равна сумме локальной производной этого вектора и векторного произведения вектора угловой скорости подвижной системы отсчета на дифференцируемый вектор. Рассмотрим частные случаи. 1. Если в=О,то Й~ аг гй.
2. Если вектор Ь не меняется в подвижной системе отсчета НЬ вЂ” =ахЬ. Ж 3. Если Ь = кгс, т. е. вектор Ь все время параллелен вектору угловой скорости (гс х Ь =О), то аЬ сИ 4(Г сй В частности, если Ь =ге, то 147 т. е. вектор угловой скорости ге изменяется одинаково для подвижной и неподвижной систем координат. 6.3. Теорема о сложении скоростей Зависимость между абсолютной Р, относительной Р„и.переносной р„скоростями точки в сложном ее движении устанавливает теорема о сложении скоростей. Теорема. Абсолютная скоросп1ь точки равна геометрической сумме относительной и переносной скоростей. Доказательство.
Действительно, поскольку для любого момента времени (рис. 6.3) г =го+ р, то, продифференцировав по времени это векторное равенство, получим а!Р Нго, Ы Р вЂ” = — '+ —, (6.! 1) Й Й Й о"о ар Нг где — и — — полные производные, причем — = р есть Й Й Й и "о абсолютная скорость точки М; — = то — скорость точки О'.
Й Рис. 6.3 148 Согласно формуле Бура, — = — + ге,, х р = т„+ а, х р . 1р Ыр (б.12) й с(г с1 р Здесь локальная производная — = т, представляет собой отно- с(г сительную скорость точки М Таким образом, рмт, +Р„+а, хр. Поскольку т„, + ве х р = те — вектор переносной скорости точки М то, следовательно, (6.13) и =т„+9, Пример 6. б Точка М движется с постоянной скоростью л вниз по образующей конуса, вращающегося вокруг оси Оз с постоянной угловой скоростью ы (рис. 6.4). Найти зависимость скорости точки М от расстояния з = А М, если угол а=30'. Решение. Абсолютное движение точки М по отношению к неподвижной системе Охуг представим в виде суммы двух движений: относительного по образующей АеА, конуса (с которым свяжем подвижную систему О'ХУЕ ) и переносного — вращения конуса вокруг оси Ох.
Тогда в произвольный момент времени г точка М, находясь на расстоянии я= А М от вершины конуса, имеет отно- сительную скорость т, = и сонм, направленную сверху вниз по образующей конуса. Переносной скоростью для точки М будет скорость точки А конуса, с которой в зтот момент времени совпала точка М: т, =езл югз)пЗО'чои/2, где л— расстояние от точки М до осн вращения. Вектор т, направлен по касательной к траектории точки А. Поскольку в нашем случае векторы т, и т„ взаимно перпендикулярны, получаем т=з~ю, +~, = (и + —.
2 2 з 2сзз 4 Рис. б.4 149 6.4. Теорема о сложении ускорений, или кннематическан теорема Кориолиса. Ускорение Кориолнса Найдем зависимость между абсолютным, относительным и переносным ускорениями точки. С учетом (6.13) абсолютное ускорение точки а Р Ый„а1Рк ИР, а1 а - — — — "+ — "' — — '+ (Ра + в„х р), (6.14) й й й й й гБ'„Юк где —" и — ' — полные производные векторов Г, и р„, запий й санные для неподвижной системы координат. Воспользовавшись формулой Бура, имеем — Гг Рг — — С(РО' ГГ Вг — — ГГ Р а = — "+ в„х р„+ о + —" х р+ в„, х — = й " " й 71 " й Ир =а„+ в„хи„+агг + е„х р+ в„х — + в, х р =а, +а, +е„х р+в, х(в х р)+2(в„хи„).
Так как а, + е, х р+ в„х (в„х р) =а,, получаем а =а„+а„+2(вк хй„), или (6.15) а=а, +ал +а„, где ак =2(в„хР,) (6.16) ускорение Кориолиса, или поворотное ускорение. Формула (6.15) выражает теорему о сложении ускорений, или кинематическую теорему Кориолисаг абсолютное ускорение точки являетсл векторной суммой трех ускорений: относительного, переносного и ускорения Кориолиса. Остановимся на вычислении ускорения Кориолиса, определяемого по формуле (6.16). Ускорение а„было получено Г.
Корнолисом в 18ЗЗ г., К. Гауссом в 1ВОЗ г, иЛ, Эйлером в!765 г. 150 Ускорение Кориолиса равно удвоенному векторному произведению угловой скорости переносного движения на относительную скорость точки. Согласно общему правилу векторного умножения, вектор а„направлен перпендикулярно плоскости, содержащей в, и Р, (рис. 6.5, а), в ту сторону, откуда поворот в, к т, на наименьший угол виден происходящим против направления движения часовой стрелки. Если угол между векторами в, и т„обозначить а, то по модулю ускорение Кориолиса ак =2~в„! тяпа. Р .
Ь.5 Заметим, что вектор Р„" (см. рис. 6.5, а), равный по модулю т„' = г„яп а, представляет собой проекцию вектора относительной скорости г, иа плоскость П, перпендикулярную вектору в„. Сформулируем правило Жуковского, очень удобное для определения ускорения Кориолиса: ускорение ак можно получить, спроецировав вектор Р„на плоскость, перпендикулярную вектору в„увеличив полученную проекцию ч„' в 2в, раз и повернув ее на 90' в направлении переносного вращения.
151 Если траектория относительного движения — плоская кривая, находящаяся в плоскости, перпендикулярной в„, то, согласно правилу Жуковского, направление ак можно получить, повернув на 90' в направлении переносного вращения сам вектор относительной скорости т„ (рис. 6.5, 6). Пусть точка М движется по гипотенузе АВ треугольника О'АВ, вращающегося вокруг неподвижной оси Оя с угловой скоростью ез„, (рис. 6.6). На рис.
6.6, а относительная траектория точки М описывает коническую поверхность, а в случае, изображенном на рис. 6.6, б, плоскость треугольника О'АВ перпендикулярна оси О(г) переносного вращения. Позтому направление вектора а„на рис. 6.6, б получено поворотом вектора т„на 90' в направлении переносного вращения. О'О Ряс. 6.6 Остановимся на частных случаях, когда ускорение Кориолиса обращается в нуль. 1) ез,, = О, т.
е, переносное движение — поступательное; 2) г„= О, т. е. в те моменты времени, когда в относительном движении точка останавливается, например, при изменении направления относительного движения; 152 3) яп(в,, Р„) = яп а = О, когда вектор скорости относительного движения параллелен вектору угловой скорости переносного вращения ( т, б а, ). Следует также отметить, что ускорение Кориолиса зависит от выбора подвижной системьг координат, т.
е. при различном разложении одного и того же абсолютного движения на относительное и переносное возможны разные ускорения Кориолиса. 6.5. Сложение ускорений в частных случаях переиосиогодвижении 1. Переносное движение — поступательное. В этом случае ускорение Кориолиса обращается в нуль ( в, = 0) и абсолютное ускорение складьпщется из относительно- го и переносного: а =а, +а,. Если переносное движение — поступательное, равномерное и прямолинейное, то абсолютное ускорение равно относительному: а =а„. Действительно, в этом случае ак = О, гз, = 0.
2. Переносное движение — вращение вокруг неподвижной оси. В этом случае переносные скорость и ускорение оцпеделяются по формулам Р, =в,хр, т„=от„Ь; (6.17) а, =а,"+а,'1 а," =а,х(а,хр), а," =го~Ь; (6.18) (6.19) пе аехр» ла вазЬт где Ь вЂ” расстояние от точки до оси вращения. 153 Пример б.2. Трубка (рис.б.т,а), имеющие форму полукольца радиусом Я 0,1 м, ижреплена на пластинке, вращающейса вокруг неподвижной оси Оз по закону ф(г) 4с-гз (ч — вред, с — во). Внутри трубки движетск шарик М по закону г(г) — 0 1(и/3)гз (з — в м г — в с) Для момента времени г, — 1с определить абсолютные скорость и ускорение шарика М. Рис.
6.7 Решение. Введем неподвижную систему координат Олуг, где ось Ог совладает с осью вращениа пластинки. Подвижную систему координат О'ТУ2 свяжем с пластинкой. Принимая шарик М за точку, представим абсолютное движение точки М как сумму относнтельн му относигельного движения по трубке на пластинке и переносного вращения пластинки вокруг оси Оя. В относительном движении траектория точки М вЂ” полуокружиосгь ралЮ- сом Я= 0,1 м. К моменту времени г, =1с точка Мпереместилась по атой траектории на расстояние М М=з~,м 0,1(и/3)м (рис6.7, б). Тогда л.МеО'М= г! л = — рад = 60' .
О еделим в зтот момент времени положения касательной т и нормальной л осей на относительной траектории точки. Относительная скорость предел т' = я 0,2(и/3)с, т„'! = 0,21 и/с, Г= 1ч 1Ф относительное ускорение л, =и,"+о,', 154 где а," =11/Я, а,"~ 0211/01 044м/с; а„'=«, =г'=сопя!>0, а„'= Сс 1с = 0,2л/3 = 0,21 м/сз . Вшсторы «, и а, направлены по касательной в сторону увеличения коорди- наты и Переносное движевве дла точки М вЂ” вращение пластинки вокруг оси Оя с угловой скоростью е„=ф=4-2с~ >О, асс~ 2рад/с 4=!с с*е 1с и угловым ускорением а„=е„=ас=сопзС<0, в„=-2рад/с Векторы а, и а, указаны парне.6.7, б. В момент времени с, =1с точкаМ находится на расстошши Л = Язш60'= 0,086 м от оси вращения и совпадает с йс той точкой пласппши, которая движется по окружности радиусом Л = 0,086 м . Следовательно, переносные скорость и ускорение точки М находим пз выражений (6.17), (6.18) и (6.19)1 «, а Л=2.0,086=0,172м/с; а, а,"+а,', а," сс~Л 4.0086 0344м/с; Ц = ~е„~Л = 2- О 086 = 0 172 м/сс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
