Termeh (523129), страница 23
Текст из файла (страница 23)
8.11, б): ~~ + рз + ~ з + рс ° гз Рис. 8.11 В общем случае для системьз сходящихся сил: (8.1) Результат сложения векторов не зависит от последовательности их сложения. Графическое сложение векторов возможно и без построения параллелограммов сил. Для этого нужно 181 от конца вектора одной силы отложить вектор другой силы, затем от его конца отложить вектор какой-либо третьей силы и т. д., пока не будут отложены все силы. Для нахождения равнодействующей системы сил нужно соединить начало первого вектора с концом последнего (см. рис.
8.11, б). Многоугольник ОАВСВ называется силовьин многоугольником. Рае. 8Л2 Таким образом, система сходящихся сил эквивалентна одной равнодействующей силе, которую можно определить замыкающим вектором Я* силового многоугольника, построенного на векторах-силах системы сходящихся сил. Другими словами, равнодействующая системы сходящихся сил равна их геометрической сумме.
Аналитический способ задания и сложения сил Аналитический способ решения задач статики основывается на представлении вектора силы в виде трех его составляющих по 1В2 направлениям осей прямоугольной декартовой системы координат. Будем пользоваться правой системой координат (рис. 8.12). В этой системе координат г'=Г,г'+Г ~'+Г,А.; Г, =Усова, Р, =Гсов~3, Р, =г'сову; г. з Проекция вектора г" на координатную ось есть скалярная величина, которая может быть положительной, отрицательной или равной нулю. Если равнодействующая Я = ) Р», Р„=Г„3+Г„~+Г К, ьи то Ф М я Я,' =') Г»,, Я' =~Г~~, Я,' =~~~ Р„, .
(8.2) ьн гм гм Таким образом, проекция вектора равнодействующей системы сил на какую-либо ось равна алгебраической сумме проекций векторов (составляющих) сил на ту же ось. Модуль равнодействующей (8.3) а ее направление можно определить через направляющие косинусы: я„" д л,' сова = — "; сов~3= — У; сову = — '. (8.4) Я* К Я* Кроме сложения сил иногда возникает необходимость их разложения. Разложить данную силу на несколько составляющих означает найти такую систему нескольких сил, для которой данная сила является равнодействующей.
Задача разложения является обратной задаче сложения сил. Разложить вектор Я по двум заданным направлениям на плоскости или по трем направлениям в пространстве труда не представляет. В первом случае вектор Я будет диагональю параллелограмма, во втором — диагональю параллелепипеда, ребра которого параллельны заданным направлениям. 183 Условия равновесия системы сходяи4ихся сил Так как система сходящихся сил эквивалентна одной равнодействующей, то тело под действием такой системы сил будет находиться в равновесии тогда, когда равнодействующая равна нулю, т. е. силовой многоугольник двлисен быть замкнут. Условия равновесия в векторной и аналитической форме имеют соответственно следующий вид: к Л' =я~;Г„=О; (8.5) ь! и я н Я„' =,') Г,„=О; Я' =~Р, =О; Я; =~У„, =О.
(8.6) ьи ьм 4=1 Равенства (8.5) и (8.6) содержат заданные и неизвестные величины. Их называют уравнениями равновесия. Последовательность ретения задач снииники Для решения задач статики целесообразна следующая методика. 1. Выбор тела (или тел), равновесие которого должно быть рассмотрено. 2. Освобождение от связей, т. е.
действие связей нужно заменить действием сил. 3. Составление уравнений равновесия. После освобождения от связей выбранное тело (или система тел) стало «свободным». На него действуют заданные силы и неизвестные силы реакций. Для свободного тела, находящегося в равновесии, записывают уравнения равновесия в векторной (8.5) или в аналитической (8.6) форме. 4. Решение уравнений равновесия.
Решение рекомендуется, как правило, проводить в общем виде (алгебраически): получить формулы для искомых величин, подставить числовые значения и найти результат. Решение в общем виде проще проверить и, если допущены ошибки, то обнаружить их. 5. Качественная оценка решения. Полученным результатам целесообразно дать качественную оценку, т. е. проанализировать их соответствие физическому представлению о распределении сил. Такая оценка на практике иногда помогает обнаружить 184 ошибки. Например, если стержень АВ (рис. 8.13), поддерживающий балку, в результате решения задачи получился растянутым, то такое решение ошибочно, так как на самом деле стержень сжат.
Рне. 8.13 Приведем примеры решения таких задач. Пример 8.1. Между вертикальной стенкой и заделанной в нее пластиной находится цилиндр, вес которого Р (рис. 8.14, а). Определить силы давления цилиндра на стенку и пластину. Решение Рассмотрим равновесие цилиндра. Для этого освободим его от связей. Приложим к центру тяжести цилиндра силу Р, а действие сашей заменим действием сил. Силы Ф,, У, реакций сашей должны быть направлены по нормалям к поверхностям в точках контакта (рис.
8.14, б). Вюкно правильно наметить линию действив реакции сввзи. Если линии действия всех сил пересекаются в одной точке, то система сил будет системой сходящихся сил. Условием равновесия является равенство нулю равнодействующей системы сил: Я =Р+)У, еягз =О. Построим векторный треугольник (рнс. 8.14, е) н найдем Ф, =Рсгйа, )к"з =Р/з)па (при малом угле а лг, и Фз могут быть очень большими). По условию задачи требуется найти силы давления цилиндра на стенку и пластину. Применив закон действия и противодействия, получаем силы -Ф, и — ДГ,, показанные на рис.
8.!4, а 12 зак. 16 185 Рнс. 8.14 Пример 8.2. Нить, на концах которой закреплены грузы весом Р, и Рз, перекинута через блоки А и В (рис. 8.15, а). В точке О к нити подвешен груз, вес которого Р=1000Н. Система грузов находится в равновесии при а=60', (1 = 30', Иренебрепш трением на осах блоков, определить вес грузов Р, и Р, . Решение Силы натяжения Т, Т, и Т нити грузами равны по модулю их весам.
В данной зедаче блоки не изменяют значений сил, а изменюот только их направления. В точке О пересекаются линии действия всех сил (Т, Т,, Т ), позтому рассмотрим ее равновесие (рис. 8.15, 6). Для составления условий равновесия воспользуемся их аналитической формой (8.6): 186 Рис. 8.15 Построим систему координат с началом а точке О (рис. 8.15, е). Проещврул силы на оси координат, находим Я;=Твсов33-Тсова=0, Я'=-Т+Тв1на+Т,в1п(3=0. Откуда 137 соз)3 Т, = Тз —, Т = Т, йп а+ Тз жп 33, созп или Т =Тз з!Пп — +з!П)3 соя)3 сока Подставляя числовые значения, получаем Тз = Рз 6 500 Н; Т, = Р, = 866 Н .
Положительные значения Т, = Р, и Т, = Р, свидетельствуют о том, что ик направления выбраны правильно. Верно и то. что Р, > Р,, так как в противном случае ие будет соблюдаться условие равновесия Я„' = О. При решении задач статики иногда удобно пользоваться теоремой о трех силах. Если твердое тело находится в равновесии под действием трех непараллельнык сил, леэкаи)их в одной плоскости, то линии действия этих сил пересекаются в одной точке. Докаэапзельство. Сложив две из трех сил, например Р; + рз = я, приходим к выводу, что тело находится в равновесии под действием двух сил Рз и Я .
Следовательно, силы Рз и я лежат на одной прямой, а линия действия силы рз проходит через точку пересечения линий действия сил р1 и рз, что и требовалось доказать. Пример ЙЗ. Однородный стержень весом Р и длиной 41 опирается на неподвижный цилиндрический шарнир А и упор В (рис.
8.16, а). Угол наклона стержня к горизонту а = 30', АВ= 31 . Определить реакции связей. Рне. 8.16 188 Решение Рассмотрим равновесие стержня. Реакцию связи неподвижного шарнира вместо двух составляюшнх представим одной силой Йл, направленной в точку Р пересечения линий действия снл Р н )1я (рнс. 8.16, б). Из геометрических соображений (см. рнс. 8.16, а, б) находнм )3, =60' н ))з =30', а нз силового треугольннка (рнс. 8,16, в) определяем ))л = Р—; 11е = Р— .
)'3 ЕЗ 3 3 8.4. Момент силы относительно точки и относительно оси Момент силы относительно точки Пусть к телу в точке А приложена сила Р (рис. 8.! 7). Тогда моментом сильк с" относшп точки О называется вектор Мгз(Г), приложенный я точке О перпендикулярно плоскости треугольника ОАВ и равный М (Р) гхГ, (8.7) где г — радиус-вектор, проведенный из точки О в точку А приложения силы Г . Рнс. 8.17 !89 Модуль вектора Мо(Г) равен произведению модуля силы Г на расстояние Ь от точки О до линии действия силы, которое называется плечом силы относительно точки О, т.
е. )М„(Г)! = (Р!. ~г(зш а = ей. Нетрудно заметить, что радиус-вектор Р из точки О может быть проведен не только в точку А, но и в любую другую точку, лежащую на линии действия силы г", так как при этом будет изменяться и Р, и угол а, однако ~г1 8(па = Ь останется без изменения. Момент силы относительно точки равен нулю, когда линия действия силы проходит через зту точку. Момент системы сил относительно точки Если мы имеем систему сил Р;,Г„...,Г „...,Г, (рис. 8.18), то вектор Ео, равный сумме моментов всех этих сил относительно точки О (8.8) называется главным моментом системы сил онтосительно точки О. Рнс.
8Л8 Если все силы приложены в одной точке (рис. 8.19), то 190 Ф Ф Х,~ =~(рхс»)=г хЧ~~ Р» — — г хя'. »-1 »-1 Выражение (8.9) представляет собой векторную запись теоремы Вариньона: момент равнодействующей относительно какой- либо точки равен сумме моментов составляющих сил относительно той же точки. Ео Рис. 8.19 Момент силы относительно оси Моментом силмг" относительно оси называется проекция векторного момента этой силы, взятого относительно любой точки оси, на зту ось, т. е.
М,(г)=(йхг),. (8.10) Покажем, что проекция момента силы Г, взятого относительно какой-либо точки О оси Ох, на зту ось не зависит от положения точки на оси (рис. 8.20). Равенство (8.10) можно представить в виде М,(7)=,(уха), =(РхГ)3с =фхр)Р'. Из рис. 8.20 следует, что модуль векторного произведения (к х г ) есть величина постоянная для любой точки на оси. Численно он равен удвоенной площади треугольника с основанием й и высо- 191 той а'=гз(п(Й,Р). Сила Г тоже остается постоянной, следовательно, величина (гхоз), не зависит от по- А ложения точки О.
Моменту силы относительно оси можно дать другое определение: мо- Х ментом силы г относительно прош вольной оси Ог называется момент проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную оси Од взятый относительно точки О~ пересечения оси Е с плоскостью П (рис. 8.21). При этом момент силы рассматривается как скаРае.8.28 парная величина М,(г ) =кгпп = ма,(гп)~ (8.1 1) для которой берется знак «+», если проекция силы на плоскость, перпендикулярную оси, стремится вращать тело вокруг оси противоположно часовой стрелки, и знак «-» в противном случае. В формуле (8.11) МО, (Р11) = к гПй есть алгебраический момент силы УП относительно точки 01.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
