Termeh (523129), страница 25
Текст из файла (страница 25)
(8.15) »-! »-1 Формула (8.15) выражает теорему о сложении пар сил. На основании формулы (8.15) можно сформулировать условие равновесия системы нар сил, действующих на твердое тело. При равновесии и м=~"„м» =о. (8.16) 202 Две пары сил, имеющие одинаковые векторные моменты, эквивалентны независимо от того, где каждая из иих расположена (на одной плоскости нли в параллельных плоскостях) и чему равны модули сил и плечи пар. Если пары расположены в одной плоскости, то нх векторные. моменты будут направлены перпендикулярно этой плоскости в ту нли иную сторону в зависимости от направления, в котором пара стремится вращать тело.
Поэтому в данном случае моменты пар можно различать по модулю и знаку, т. е. можно рассматривать как алгебраические величины. Условимся, придерживаясь правой системы координат, считать момент пары снл положительным, если она стремится вращать тело против направления движения часовой стрелки, и отрицательным при противоположном направлении вращения. Тогда для плоской системы пар сил М» ™»(Р» г») =хР»а» и Пример 8.6. На твердое тело, имеющее форму куба (рис.
8.31), по трем его граням действуют пары сил Р2, Р; Г~, г и 7з, Р~'. Модули моментов пар М, =60Н м, Мз =20Н м, М, =20Н и. Найти результирующую пару сил. Рнс. 8.31 Ревгенне. В некоторой точке А построим векторы моментов пар сил М,, М, М . Нескольку зти векторы взаимно перпендикулярны, то модуль результирующей пары сил М гМ, 'МгкМ,' Мв 20 20 20222Н Направление вектора М определяется косинусами углов между векторами М1, Мз, Мз и М: — — М, 3 (М,,М)= — '- —; М Д1' (М, М) = М)- М з(Н вЂ” — М соз(М, М) М,/И 203 8.6. Приведение системы сил к простейшей системе Теорема о параллельном переносе силы Теорема. Силу, приложенную к твердому телу, можно, не изменяя ее действия, перенести параллельно самой себе в любую точку тела, прибавляя при этом пару с моментом, равным моменту переносимой силы относительно точки, в которую она переносится.
Доказательспмо. Пусть в точке А на тело действует сила Г (рис. 8.32, а). Приложив в точке В, куда переносится сила Г нз точки А, эквивалентную нулю систему сил Г' = — Г' = Р (рис. 8.32, б), получаем силу Р', приложенную в точке В, и пару сил (Р, Г"), векторный момент которой М=ВАх Г =Ма(Г), что и требовалось доказать. На основании этой теоремы можно любую систему сил, действующих на твердое тело, перенести в одну точку и заменить одной силой и парой сил (рис. 8.32, в). Рис 8.32 Приведение системы сил к заданному центру Точку, к которой приводят систему сил, называют центром приведения данной системы сил.
Теорема. Произвольную систему сил, действующих на твердое тело, можно привести к какому-либо центру, заменив все действующие силы одной силой, равной главному вектору системы сил, приложенному в этом центре, и одной парой сил с моментом, равным главному моменту системы сил относительно того же центра. Рис. 8.33 Силы, приложенные в точке О, заменяются одной силой Я', которая равна главному вектору сисгивмы сил л =',)„г, . (8.17) ьм Систему пар сил можно заменить одной парой, момент ко- торой н и М =~~~ Мо(Р~) = ') (т~ хР„)=йд. (8.18) в ! 205 Пусть на твердое тело (рис. 8.33, а) действует произвольная система сил (7;, Г„..., Р», ..., Р„).
Возьмем какую-либо точку О за центр приведения и, пользуясь теоремой о параллельном переносе силы, перенесем все силы в эту точку, присоединяя при этом соответствующие пары. На тело теперь действует система сил (фу,",...,Г„',...,Г',), приложенных в точке О, и система пар сил, векторные моменты которых Моф), Мо(Г,),...,Мо(Г~),...,Мр(Р; ). При этом Р,,'=Г„, где А = 1, 2,..., Ф . равен главному моменту сиснюмы сил относительно центра приведения (рис.
8.33, б), т. е. М = Хо . Заметим, что главный вектор системы сил не зависит от выбора центра приведения. Он вычисляется по такой же формуле, что и равнодействующая, но при этом не эквивалентен данной системе сил. На основании доказанной теоремы можно сформулировать условие эквивалентности системы сил: две системы сил, приложенных к твердому телу, эквивалентны, если они имеют одинаковые главные векторы и главные моменты относмпельно одного и того же центра.
В противоположность главному вектору главный момент системы сил зависит от выбора центра приведения. Теорема Вариньона о моменте равнодействующей Теорема. Если данная система сил имеет равнодействующую, то момент ровнодеиствующей относительно любой точки О равен сумме моментов сил системы относительно той лсе точки .
Доказательство, Пусть некоторая система сил (Р, Гз,..., и Г„,..., Рн ) имеет равнодействующую Я' = ~ Р„, приложенную в точке А (рис. 8.34). Перенесем Я" в произвольную точку Π— центр приведения — параллельно себе. При этом добавится пара сил (Я', Вк) с моментом М =М,(Я ). Кроме того, М есть главный момент системы сил относительно центра О, равный сумме моментов всех сил относительно этого центра, т. е. М = ХМО(Ра) ° Рас.
8.34 ьм П. Вариньон (1654-1 И2) — амдноцзийса французский математик и механик. 206 Сравнивая между собой полученные выражения для М, получаем математическую запись теоремы Вариньона Мо(Л ) =ХМож). ягя Проецируя векторы, входящие в обе части зтого равенства, на любую ось, проходящую через центр О, находим, что теорема Вариньона справедлива и для моментов относительно оси. Реакция заделки Связь, которая запрещает как линейные, так и угловые перемещения твердого тела„называется заделкой. При приведении сил реакции заделки к точке А (рис.
8.35) на основании теоремы о приведении системы сил к заданному центру получим силу Я, и пару сил с моментом М„. Модуль силы и момент пары сил в заделке могут быть определены из условий равновесия твердого тела, к которому они приложены. Например, для балки, показанной на рис. 8.35 (плоская система сил), будем иметь А, =Р, М, =Г1. Рис.
8З5 Соотношение между главными моментами системы сил относительно двух центров приведения Допустим, что при приведении системы сил к центру О получили главный вектор Я и главный момент Х~. Найдем выражение главного момента Х„той же системы сил относительно нового центра О, (рнс. 8.36) 207 и н Х„, =Ее„кхрк); Е, ='Е(у„кхрк) Рис Злб Из векторного треугольника ОкО, находим го = О О+ го Тогда н ьо —— ~(О,О+гак)хРк =О,Ох'к Рк +~к1,го, хРк). к ил км к=1 Окончательно получаем А„= Ао + О,О х Я . (8.19) Таким образом, главный момент системы сил относительно второго центра приведения О, равен сумме главного момента системы сил относительно первого центра приведения О и векторною момента главного вектора, приложенного в первом центре приведения, относительно второго.
Инварианты системы сил Инвариантами системы сил называются скалярные или векторные величины, не зависящие от выбора центра приведения. 208 Первый инвариант — главный вектор системы сил. Для любого центра приведения Я = ') Р„. ь ! Второй инвариант — скалярное произведение главного вектора на главный момент системы сил. Для доказательства этого утверждения умножим равенство (8.19) скалярно на главный вектор Я: Хо Я = ХаЯ + (О! О х Я)Я Поскольку (О,Ох Я) Я =О, то Т„Я =ХаЯ. Чаапные случаи приведения пространственной системы сил к простейшему виду Покажем, к какому простейшему виду можно привести пространственную систему сил, не находящихся в равновесии. В общем случае любая система сил эквивалентна силе, равной главному вектору Я, и паре сил, момент М которой равен главному моменту Е„относительно центра приведения О: н и и Я=).Р,; М=Х(га, Рм)='ЕМа(Р,)=т . lс ! Ф=! 1-! Частные случаи дальнейшею упрощения можно получить из анализа второго инварианта системы сил. Допустим, что второй инвариант системы сил Ед1 Я = О, тогда возможны следующие случаи.
1. Если для данной системы сил Е, = О, а Я ~ О, то система сил приводится к равнодействующей Я', равной Я и проходящей через точку О. 2. Если Я = О, а Х„ в О, то система сил приводится к паре сил с моментом М = Е„, который на основании (8.19) не зависит от выбора центра О. 3. Если Я;~ О, Х!! ~ О, но Т .1 Я „то заданная система сил приводится к равнодействующей Я, равной Я, но проходящей не через точку О, а через точку О„отстоящую от точки О на расстоянии 15 Эйк. 16 209 (8.20) Действительно, главный вектор Я и пара сил с моментом Ц лежат в одной плоскости.
Представим момент пары сил в виде произведения Х, = ЯЫ и расположим пару ( Я ', Я ) так, как показано на рис. 8.37, причем выберем ~Я'~ =~Я'~ =~Я~. В результате силы Я и Я' уравновесятся, а система сил будет эквивалентна одной равнодействующей Я, проходящей через точку О, . Рис. 8.37 Теперь рассмотрим систему сил, для которой второй инвариант ХОЯ ~ О. В простейшем виде такую систему можно представить совокупностью векторов Хо и Я, расположенных на одной линии и называемых динамическим винтом (рис. 8.38). К одной силе (или одной паре сил) данную систему сил привести нельзя.
Докажем, что если Х, Я ,-сО, причем в общем случае вектор Е, не параллелен вектору Я, то система сил приводится к динамическому винту. Разложим Т„на две составляющие: Е,, на- 2!0 правленную вдоль Я, и Ц, перпендикулярную Я (рис. 8.39). Вектор Е, представим в виде пары сил Я', Я", равных по модулю силе Я, как зто показано для вектора Т, на рис. 8.37, т. е. Ц =Я'И. Силы Я и Я' взаимно уравновешиваются, а вектор Е, как свободный перенесем в точку О,. В результате имеем динамический винт Я', Х, проходящий не через точку О, а через точку О, . Прямая, вдоль которой (через точку О,) направлен вектор Я ', называется исаю динамического винта. Рис 8.38 Рис.8.39 Пример 8.7.
На твердое тело, выполненное в виде куба с длиной ребра о (рис. 8.40), действует система, состоящая из девяти равных по модулю сил 7 ( й = 1,...,9 ). Привести систему сил к вершине куба — точке О и упростить ее. Рис. 8.40 Решение. Построим систему координат с началом в точке О и определим проекции на оси координат главного вектора )! и главного момента Ео . Найдем модули главного вектора и главною момента я =Я+я +!!, =049 '. ь,-(с.!*,.!1-мн. Второй инвариант системы сил ЕоЯ =Е„К„+Е К+Е,Я, =6Р~а. 212 '=Х".=-" "=Х' =~" ы! Ф-"! 1=9 !=9 Е„=,') М„(7)=0; Е,=ЯМ,Я)=-2Ра ые Я, =~Р„, =ЗР; А ! ыа Е, =~~! М!(7ь) =4Ра. Так как Цй и О, то система снл приводится к динамическому винту.
Модуль момента динамического винта Е, определим исходя нэ того, что Е я=(4+Т )д 4г, где Е, направленно й,а Тч1.Я. Следовательно, 1од 6 о т'19 Параметры динамического винта Глава 9 РАВНОВЕСИЕ ТЕЛ 9Л. Условия равновесии системы сил Условия равновесия произвольной пространственной системы син Произвольная система сил, приложенных к твердому телу, эквивалентна силе, равной главному вектору А, и паре сил с моментом, равным главному моменту ьо относительно какого-либо центра О. Чтобы такая система находилась в равновесии, необходимо и достаточно равенство нулю и главного вектора Я, и главного момента Т .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
