Termeh (523129), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Вектор «, направлен по касательной к окружности радиусом Л в направлении переносного вращения, вектор а," — к оси вращения Оя, а вектор а,' (в соответствии с а, ) — противоположно вектору «, . Как видно ва рис. 6.7, б, векторы «, н а,' параллельны оси ОЕ Ускорение Кориолиса, согласно (6.16), л а„= 2(в, х«,), ак 21свсп«11зш(йс, Рс) . ПРи С,=1с аК 2 2 0,21 зш30'=0,42 мгс ! 2 Вектор ак (рис. 6.7, б) направлен перпендикулярно к плоасости пластинки, содеРжащей веатоРы ес, и «„, так, что с копна вектоРа ак повоРот вектоРа ес, к «, на навменыпвй угол виден происходящим прапш направления движения чалмой стрелки.
Найдем абсолютные скорость и ускорение точки М Известно, что « =«, +«,. Посколысу в рассматриваемом случае векторы «, и «, оказались шаимно перпевдвкуларвымн, то со* 155 ~02! Ыут 027 Для определения абсолютного ускорения точки М найдем проекции всех векторов, входящих в выражение а =а,"+а,'+а,"+а„'+ак, на оси ОХ, О У и 02: ах = а ' сов 60'- а" з)п 60'- а„" = 0 21 — - 0 44 — - 0 3 44 = -0 62 м/с'; Гз /з а„= а,' з)п 60'+ а," соя 60' = 0,21 — + 0,44 — = 0,4 м( с 2 2 ая =а„'-ак =0172-042=-0248м/с'.
Отсюда 1' * ' ° (062 04 +0248' ОЛВ~ Теоремы о сложении скоростей и ускорений удобно применять в случаях, когда, например, известно абсолютное движение точки и требуется найти кинематические параметры переносного и относительного движений. Пример 6.3. В мальтийском механизме (рис. 6.8, а) кривошип вращается вокруг оси 0(я), перпендикулярной плоскости рисунка, с постоянной угловой скоростью го, = з/2 рад/с. Палец О, неподвижно закрепленный на кривошипе, скользит вдоль паза диска и приводит его во вращение вокруг оси 0'(7), параялельной оси 0(г).
е в2 б Рнс. 6.8 Для показанного на рис. 6.8, а положения механизма определить угловую скорость и угловое ускорение диска, а также относительное ускорение пальца 0 относительно поза диска, если (УР = ОО = Я = 0,2 м, а = 45'. 156 Рещеипп Свюкем неподвижную систему Окуз с опорой О, а подвижную систему ОХИ вЂ” с вращающимся диском (рис. 6.8, б).
Принимая палец Р за точку, рассмотрим движение точки Р кривопппа как сложное, состоящее из относительного движения точки Р по пазу диска и переносного движения— вращения диска вокруг оси О'(2) . В абсолютном двппении точка Р перемещается по окружности радиусом ОР. Абсолютны скорость точки Р Уо го,ОР=сопж, Ур =ч2 0,2=0,2эГ2м/с направлена перпендикулярно радиусу ОР в сторону вращениа кривошипа Абсолютное ускорение точки Р ао ао+ао, но ар = с, ОР = О, поскольку е, = 0 при оз, = сопзг; тогда ускорение ао = ао = гоз ОР = 2 0,2 = 0,4 м/сз н направлено,к оси вращения О(з) (см. рнс.
6.8, 6). Таким образом, абсолютное движение точки Р известно. Получим теперь кинематические характеристики относительного и переносного движений. Относительное движение точки Р— прямолинейное, следовательно, векторы о, и а, = а,' должны быть направлены плоль пазаВВ переносном движении в впаянном положении механизма точка Р находится на окружности радиусом О Р = К, поэтому вектор скорости в,зхУР, а переносное уско- рение определяется выражением а, =а,'+а,' Воспользуемся теоремой о сложении скоростей ро=р+р,. Направления относительной 1, и переносной т, скоростей известны, поэтому с учетом треугольника скоростей (рис. 6.9„а) можно заппапь т, = г, = о = 0,2 м/с. ч'2 То|да поскольку У 63зОР оззй угловая скорость диска озз оэв те/Я 0,2: 0,2 = 1 рад/с, а направление дуговой стрелки в, соответствует направлению врацения вектора г, вокруг оси О'(У) (см.
рис. 6.8, 6). Согласно теореме о сложении ускорений, в рассматриваемом случае получаем выражение (6.20) ар =ао а, +а,"+а, +ак 157 Молуль и напрышение вектора ао уие были определены. Модуль ее»гора а, а" =вял=1.0,2=0,2м/сз, направлен он к оси О'(2) . Для вектора Нк = 2(в, х «„) получаем а» =2а,«,зш90' 2 1 0,2=0,4м/с'. -аосоз45'=О+О+а» -~а,'~; арсоз45'=а,-а,"+0+0. Из (6.21) находим 1:= ° . а,'~ = а» + ар соя 45' = О, 4+ О, 4сГ2: 2 = О, 68 м/ с . (6.21) (6.22) Следовательно, угловое ускорение диска ИИО6 ет = ее = — = — — — ' = 5,4 раа/с'.
О'В Я 0,2 Направление дуговой стрелки в, соответствует нвправлению вектора а,' . Из (6.22) находим а, = ар соз45'+а, "= 0,4ч'2: 2+0,2 0,48 м/сз . 3. Переносное движение — плоскопарадлельное (плоское). 158 Его направление установим, пользуясь правилом векторного произведения (см.
рис. 6.8, 6). Направления векторов а, и о,2а," извести. Построив, согласно (6.20), многоугольник ускорений (рис. 6.9, б), запишем проекции векторов, входящих в (6.20), на оси ОХ и О'У соответственно: В этом случае переносные скорость и ускорение точки Мнаходим как скорость и ускорение точки тела, совершающего плоское движение. Пусть при этом эа полюс выбрана точка С. Тогда Ум йе Ус + ймс (б.23) ам =гг, =ас+а,",,с+а,,',,с, (б.24) где к„с — -оз,СМ, а" =оз,СМ, а',с =н,СМ, СМ вЂ” расстояние точки Мдо полюса С. чь Пример 6.4.
Диск 1 радиусом Я=0,4м (рис. 6.10, а) катится без скольжения по прямолинейной направляющей 2, закон вращения диска 9=3!-(~ (9 в рвд, г в с). Внутри паза 3 на диске 1 движется точка М по закону МеМ=я(г) 0,23(г'+г),гдегвм,гвс. Длл изображенного на рис.
6.10, а в момент времени 0 =1с положения диска 1, когда а = 30', определить абсолютные скорость и ускорение точки М 3 1 О Рис. 6.10 Реляелне. Свяжем неподвижную систему отсчегв Олу с направляющей 2, в подвижную систему О"ьУ с диском 1 (рис. 6.10, б). Тогда абсолютное двюкение точки М будет состоять>из относительного (прямолинейного) двюкення точки М по пазу 3 и переносного (плоского) движения диска 1. В относительном двюкении к моменту времени г, 1с точка М переместится на расстояние МеМ),ч =046м. Поскольку ОМ М М Хм(г)=з(г), то относительные скорость т, и ускорение а„найдем так: т, =Х =я=0,23(2г+1)>0, т,л~ =0,69 м/с; 1 т„= т„= 0,69 м/с . 159 а, =тл =Х =сонм>0, а„=(ах(=0,46мус .
/ 2 Векторы т, и а, направлены вдоль паза 3 в сторону возрастания координаты Х, (!) (см. рис. 6.10, 6). Вмчислнм теперь угловые скорость и ускорение диска 1 в переносном движении по заданному закону и(!): ен =к„е„=е)<0, е„=-2рад/с . а Таким образом, при с = 1 с диск катится замедленно, т. е. направления !~го- вых стрелок а, и е, противоположны (см. рис.
6.10, 6). При отсу!стени скольжения точка конпата диска ! с напрввапощей 2 являет- ся МЦС диска. Поэтому для точки С центра диска несложно определить ско- рость Гс и ускорение йс.' тс й щ СР„в Я, тс =1 О 4 = О 4 м/с, ос=а= ~ Я !вф, ас ~ес~ 2 04=08м/с'. Направление вектора тс соответствует направлению вращения диска вокруг МЦ4, а вектора а„- =ос — противоположно кс прн замедленном движении (см. рис. 6.10, 6).
Переносные скорость и ускорение точки М найдем, согласно (6.23) и (6.24), приняв за полкк точку С: Р, =те+хне, тмс =ез,МС, МС~, „=ОМз!п30'=046 05=023м, тнс~„„=! 023=023м/с; а, ос+лыс+а'с, а„"~ а~МС=! 023 023м/с', 1-'= а„' ) = в,МС = !е, )МС = 2 О, 23 = О, 46 и/ с . Абсолютнвя скорость точки М р т, +т„или р=г, +те+кис. Записав последнее равенство в проекциях на осн Ох н ф (рис, 6.11, а): т„т„сов 30'+ тс + тнс = 0,69~/3: 2+ 0,4+ 0,23 = 1,23 м/с, т =т„зш30', г =0,69 0,5=0,345м/с, находим 623 +0345 128 Абсолютное ускорение точки М 160 а а„+а, +ак, (6.25) а а„+ос+а,цс+ави+ак где ак =2(в,кт,), ак ю2а,т„ва90'=2 1 0,69=1,38м/с .
Рнс. 6.11 Нвпрввление векторе ак получим, повернув вектор т, на 90' в направлении переносного вращение. Нв рис. 6.11, 6 изображен многоугольник ускорений точки М, построенный с учетом (6.25). Записав (6.25) в проекцнлх на оси СЬ и Оу: а„=а„совЗО'-ас -)а„'с~+акашЗО'= =0,46с/3:2-0,8-0,46+1,38 0,5 -0,17м/с'; а„а„яп30'-а„",~-ак соз30' О 46 О 5-0 23-138т/3:2 -119 м/с', найдем абсолютное ускорение точки М Д -~011+119 оч 161 Глава 7 СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА 7.1.
Теорема о сложении угловых скоростей при сложном движении твердого тела Движение твердого тела так же, как и материальной точки, может быть рассмотрено одновременно в нескольких системах координат (см. гл. 6). Пусть одна из них является условно неподвижной, а другая движется относительно первой (рис. 7.1, а). Тогда движение тела относительно неподвижной системы координат (абсолютное движение) можно рассматривать как сложное, состоящее из движения тела относительно подвижной системы координат (относительное движение) и движения вместе с подвижной системой координат как единого целого относительно неподвижной системы координат (переносное движение).
Таким образом, сложное движение твердого тела представляется как результат сложения двух движений: относительного и переносного . Подобным образом движение твердого тела можно разложить на п составляющих движений при введении в рассмотрение и систем координат, из которых одну принимают условно неподвижной, а движение каждой из последующих определяют относительно предыдущей (рис. 7.1, б). Теорема При любом виде переносного и относительного движений твердого тела его абсолютная угловая скорость !в не- В этой главе при рассмотрении задач на сложение соответствующих движений рассчитываются лишь угловые скорости тел и скорости их точек в заданный момент времени, считая, что ускорения могут быть определены, исходя из конкретною вида движения (абсолютное, относительное или переносное) твердого тела либо на основании рассмотрения сложного движения точек тела. !62 подвижной системе координат) равна сумме относительной и переносной угловых скоростей тела.
$ Рвс. 7.1 Доказательство. Рассмотрим движение твердого тела относительно подвижной системы 0'АУЛ, которая в свою очередь движется относительно неподвижной системы Охув (см. рис. 7.1, а). В каждом из рассматриваемых движений твердого тела связь скоростей его точек А и В в любой произвольный момент времени может быть установлена по формулам "в ="л+ "вл' "в =йл+йвв' "в — — в„"+Рвв (7.1) где Рв„= а х АВ, Р,", =в„хАВ' Рвл = в, хАВ; Й, аз,, а„— соответственно абсолютная, относительная и переносная угловые скорости движения тела. Скорости точек А и В могут быть также определены, исходя из теоремы о сложении скоростей точек И т„=т„+ т,; (7.2) -г -е ~в "в+~в. Из (7.1) и (7.2) последовательно несложно получить Рв = й„+ а х АВ, Рв = тл + йвл + Рю = тл + Ю, х АВ + Б, х АВ .
Приравнивая правые части этих равенств„находим 163 в х АВ = а„х АВ+ в,, х АВ =(в„+ а„) х АВ. Так как вектор АВ произвольный, то аг + ве' (7.3) Последнее и требовалось доказать. В случае & составляющих движения тела, в каждой из которых угловая скорость равна а,, где ! = 1, 2,..., и, абсолютная уг- ловая скорость тела определится как векторная сумма ее состав- ляющих: а=~в,. ~=! Так как абсолютная угловая скорость тела не зависит от разложения движения на составляющие, то ее можно рассматривать как кинематический инварианис 7.2.
Сложение вращений вокруг пересекающихся осей В случае вращательных относительного и переносного движений твердого тела, когда оси их вращений пересекаются в точке О (рис. 7.2), абсолютное движение будет движением твердого тела вокруг неподвижной точки О (сферическим движением) с угловой скоростью, определяемой согласно (7.3). Нетрудно убедиться, что скорости всех точек, лежащих на линии, по которой направлен вектор а, равны нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
