Termeh (523129), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Уравнения для обратного перехода будут следующими: е = ага!я[у(г)/х(г)1 . Единичные векторы, образующие векторный базис полярной и декартовой систем координат, связаны зависимостями г х[+ у1» х1» - у[ /х+у З~х+у так что хт» + учу — — хру ут» »[х +у з[х +у (1.23 ) ха, +ус а, =ага- -г' .. з[х'+у ха, -уа„ ор =оРо = 3[х +У (1.28 ) Прымер 1.2. В условиях задачи, сформулированной в примере 1.1 перейти к заданию движения точки в полярной системе координат, полярная ось которой совпадает с осью Ох декартовой системы координат.
Для указанного момента 52 Несложно получить и обратные выражения для проекций скорости и ускорения точки на оси декартовой системы координат через их проекции на оси полярной системы координат. времени г = 1 с найти радиальную н трансверсальную составляющие скорости и ускорения точки, показать их на чертеже. Решение. В данном случае .->*'>>.>'>>- д~.Р; Е = 8Ь(г)! ( Н= а1 /(Ы)1 Проекции скорости и ускорены точки на радиальную и трансверсальную оси полярной системы координат могут быть вычислены по формулам (1.23) и (1.28) соответственно. Однако удобнее воспользоваться формулами (1.23 ) и (1.28 ), подставив в ннх вычисленные в примере 1.1 длл момента времени 1 =1 с значения координат точки и проекций скорости и'ускорения на оси декартовой системы координат.
В итоге получаем: «,=3/>Г2»2,12м/с; зр -1/ч2»-0707 м/с; о„=>/2»1,41м/с'; а, =->/2 и-141м/с'. Радиальные и трансверсальные составвпощие скорости и ускорения точки изображены на рис. 1.4. Задание движении точки в криволииейквгх координатах Движение точки в пространстве можно считать заданным, если известны законы изменения трех ее декартовых координат х, у, л как функций времени (см. (1.6)).
Однако в некоторых случаях пространственного движения материальных точек (например, в областях, ограниченных поверхностями различной формьг) использование уравнений движения в декартовых координатах неудобно, так как они становятся слипжом громоздкими. В таких случаях можно выбрать другие три независимых скалярных параметра аг, >гг, о„называемых криволинейными, или ойойи(еикаиии коордииаталт, которые также однозначно определяют положение точки в пространстве.
Тогда радиус-вектор точки может быль выражен функцией как декартовых, так и криволинейных координат: Г = г(х> у> л) = х! + я + дк = г(дг > яг > яз) . (1.30) При зтом следует иметь в виду, что декартовы координаты точки могут также быть выражены в виде функций, завиаццих от криволинейных координат: л = «(% > Чг Чз ) ' У = У(Ч1 > Чг > Чз ) > ™Я1 ° Чг > Чз ) . 53 ям = '(% з'зм > Чзм )1 гзм гйзмэЧ2эбзм)1 (1.32) гзм =т Ыъм ~ тзм ~ яз ) ' Касательная к ~'-й координатной линии в данной точке называется координатной осью Ма„относящейся к 1-й криволинейной координате в данной точке (рис. 1.6). Положительные направления координатных осей эадаютсл единичными векторами, которые называются баэисиими.
Они определяются через частные производные от радиус-вектора точки по 1-й обобщенной координате в данной точке М: е, = — —, ю'=1,3. (1.33) дг Здесь Н, = — — параметр, который называется 1-м коэф- ~~ ~м фидиеииюм Ламе и равен значению модуля частной производной от радиус-вектора точки по 1-й криволинейной координате, вычисленной в данной точке М Каждый из векторов е, имеет направление, соответствующее направлению движения точки конца радиус-вектора Р при возрастании ю-й обобщенной координаты (см. (1.32)).
Для задания движения точки в криволинейных координатах необходимо иметь уравнения движения точки в виде а, =а,(г); 1=1,3. (1.31) Характеристиками криволинейной системы координат являются координатные линии и координатные оси. Координатные линии (а,), проходящие через любую выделенную точку М пространства с фиксированными значениями координат а,н, азм, а,м и соответствующие каждой г-й криволинейной координате, можно определить как годограф радиус- вектора г„точки М, изменяющегося в результате варьирования ' одной выделенной 1-й криволинейной координаты при условии, что другие сохраняются постоянными и равными их знаЧениям в вьщеленной точке: Таким образом, в общем случае при любом текущем положении точки М в пространстве можно построить семейство координатных линий (д,), осей Му,.
и базисных векторов е,, соответствующих каждой нз трех криволинейных координат д, (см. рис. 1.6). Рве 1.б Если базисные векторы е, во всех точках пространства взаимно перпендикулярны, то такая система криволинейных координат называется ортогональной. При этом е;.е, =О, если 1 ~ 1, 1 = 1, 3, 1 =1, 3 . В дальнейшем будем рассматривать только такие системы. С учетом (1.30) коэффициенты Ламе могут быть выражены через частные производные от декартовых по криволинейным координатам в виде (134) 55 Скорость точки М при задании ее движения в криволинейных координатах определится в виде векторной суммы составляющих скоростей, параллельных координатным осям: Ж дГ.
дГ . дг Р= — = — д, + — 9з+ — 9, =гее, +г„е, ~-г„ез. (1.35) е. ч Проекции скорости на соответствующие координатные оси равны (1.36) г„=й е, =Н,д„1=1,3 Модуль скорости в ортогональной криволинейной системе координат можно рассчитать по зависимости Н,'у,' Н,'у; 'Н,'у,' . (1.37) В формулах (!.34) — (1.37) значения производных и коэффициентов Ламе вычисляют для текущего положения точки М в пространстве. Проекции ускорения точки М на оси криволинейной системы координат определяют в соответствии с (1.3), (1.33) и (1,35) по формуле с! ! !Ыр бг! а„=а ~, = — е, = — — —, 1=1,3. (1.38) (г ' Н,1,.(! ад,!' Преобразуем выражение (!.38) к удобной для расчетов форме. Для этого выражение в скобках представим в виде В последнем слагаемом в (!.39), изменяя порядок дифференцирования, проведем тождественное преобразование ! — — — — — — — (1.40) дч дР ад, ад, ' (1.41) 56 Дифференцируя левую и правую части выражения (1.35), полу- чаем Соотношение (1.41) называется тождеством Лагранжа.
С учетом (1.39), (1.40) и (1.41) из (1.38) можно последовательно "=-',[Ф') '[:)]-',[" [';) ';1 1 сХ дйз /2 др' /2 -2 ° или, обозначив — = Т, окончательно имеем 2 а,=— (1.42) аие1 + аиез + аиез где а — проекции ускорения на оси, определяемые согласно (1.42), 1=1,3. Модуль ускорения в ортогональной криволинейной системе координат вычисляется по формуле а= ал +ал +ал . 2 2 2 Ч! 92 и Задание движения точки в цилиндрической системе координат Координатами точки в цилиндрической системе координат яввпотся скалярные параметры Я, <р, У.
Система уравнений движения точки имеет вид Я = Я(г); ф = ср(г); У = У(г). (1А4) 4 Зак. 1Б 57 Таким образом, ускорение точки при задании ее движения в криволинейных координатах определится в виде векторной суммы составляющих ускорений, параллельных осям этой системы координат, На рис.
1.7 показаны радиус-вектор Р, проведенный из начала координат, а также координатные линии и оси рассматриваемой системы в произвольной точке М траектории. Видно, что координатные линии (Л) и (41) расположены на поверхности кругового цилиндра с радиусом основания, равным Я, при этом координатная линия (2) является его образующей. Данная криволинейная система координат — ортогональная, так как ее оси (МИ, Мф, МЕ) и соответствующие им базисные векторы (Рс, рс, А,) взаимно перпендикулярны. Рае 1.7 В рассматриваемом случае декартовы координаты точки могут быль выражены через криволинейные в виде х=Ясозу; у=Аз(пср; г = У.
Тогда коэффи1щенты Ламе, согласно (1.34), для данных криволинейных координат во всех точках определятся так: Н =1; Н =Я; Н =1. Проекции скорости точки на оси цилиндрической системы координат Я, т РУ, Р У, (1.45) а ее модуль 58 Ф Функция Т=ню!2=()т'+Я'ф'+У~)!2. Тогда проекции ускорения будут ао =Ё-Яф; а~> =Ир+21ггр; ат =У, (1.46) а его модуль, согласно (1.43), 2 2 2 а= ад+а +ал . Как частный случай, полагая в (1.45) и (1.46) с = О, можно получить формулы для проекций скорости и ускорения на оси полярной системы координат с полярной осью, совпадающей с осью Ох (см.
рис. 1.7), с полярной координатой г = Я и полярным углом ~р (см. (1.23), (1.28)). Задание движения точки в сферической системе координат Координатами точки в сферической системе координат являются скалярные параметры г, <р, О, отсчитываемые так, как показано на рис. 1.8. Система уравнений движения точки в данном случае имеет вид (1.47) На рис.
1.8 изображены радиус-вектор г, проведенный из начала координат, углы д и О, а также координатные линии и оси рассматриваемой системы в произвольной точке М траектории . Видно, что координатные линии (<р) и (О) лежат на поверхности сферы радиусом г. Данная криволинейная система координаттакже является ортогональной. Ее оси Мг, Лзер и МО и Приведенные ниже формулы даны длл сферической системы координат с углом 8, отсчкгыввемьлв от оси й, как показано на рис. 1.8. В некоторых других скучиш угол 8 можно отсчитывать ст проекции радиус-вектора точки на плоскость Олу, и тогда приведенные здесь соотношении несколько изменлтсл. соответствующие им единичные векторы е„,е„,ев, определяющие положительные направления осей, взаимно перпендикулярны. Рис.
1.8 Декартовы координаты точки в соответствии со схемой, приведенной на рис. 1.8, могут быть выражены через криволинейные координаты так: х=гсов<рв(пО; у=гв(п<рв1пО; в=гсовО. Тогда коэффициенты Ламе (1.34) Н,. =1, Н, = в1п О, Н, =', проекции скорости точки на оси сферической системы координат у„=г, у =гф51ПО, у~ =гО, (1.48) а„=г' — гф яп 0 — гО г г 'г.
а =г(рв1пО+2гфв(пО+2гфОсовО; а =гО+2г0-гф'в1пОсовО, (1.49) 60 а ее модуль т — т~ + т~~ + в~~ — гз + г2фз гйпз О+ г20з Функция Т = т'!2 =(г' + г'ф' 81п' О+ г'О')!2, следовательно проекции ускорения (!.42) на оси сферической системы координат а его модуль а= а,+а +аь. 2 2 2 Как частный случай, полагая в (1.48) и (1.49) 0 м к/2, можно получить формулы для проекций скорости и ускорения на оси полярной системы координат с полярной осью, совпадающей с осью Ох (см. рис. 1.8), полярной координатой г и полярным углом ср (см. (1.23), (1.28)). 1.5. Естественный способ задании движении точки Если траектория точки известна (т.
е. в некоторой системе отсчета определена графически, с помощью уравнения или другим образом), то задать движение точки можно естественным способом. Для этого необходимо: зафиксировать на траектории точку начала отсчета, выбрать положительное и отрицательное направления отсчета дуговой координаты и указать уравнение движения точки по траектории в виде з =з(1). (1.50) Всего этого в совокупности достаточно для однозначного определения положения точки в пространстве в любой момент времени. Скалярнь1й параметр з в данном случае имеет смысл криволинейной (дуговой) координаты, модуль которой определяет текущее расстояние по траектории от начала отсчета (точкн 0) до подвижной точки М, а знак показывает, з(г) по какую сторону от начала отсчета 0 + находится точка М на траектории (рис; 1.9).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
