Termeh (523129), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Кроме того, классическая механика оказалась неприменимой к теории строения атома, и это обстоятельство явилось причиной возникновения атомной или квантовой механики. Несмотря на это, классическая механика Галилея-Ньютона продолжает сохранять свою огромную ценность как мощное орудие научного исследования различных вопросов естествознания и техники, а ее законы дают при этом вполне достаточную для практики точность. Она явилась основой для создания многих прикладных направлений, получивших большое развитие. Это механика жидкости и газа, механика деформируемого твердого тела, теория колебаний, динамика и прочность машин, гироскопия, теория полета и управления, навигация и др. Классическая механика замечательна тем, что наряду со строгостью изложения имеет широкое инженерное приложение.
Все разнообразные технические сооружения и все современные расчеты, связанные с космическими полетами, построены на основе законов классической механики и, как показывает опыт, с успехом выполняют свое назначение. Поправки и изменения, вносимые в законы классической механики теорией относительности и квантовой механикой, исчезающе малы в обычных условиях и становятся заметными только при больших скоростях, близких к скорости света, н для тел, размеры которых имеют порядок размеров атома.
Поэтому классическая механика Галилея — Ньютона никогда не потеряет своего научного значения и практической ценности. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИЙ ВЕКТОРОВ В.1. Скалярные н векторные величины. Единичные векторы В теоретической механике широко применяются методы векторного исчисления, имеющие большое преимущество перед координатным методом благодаря компактности и физической наглядности векторных формул.
Главным преимуществом этих методов является независимость векторных формул от выбора системы координат. В математической физике встречаются два типа величин: скалярные и векторные. Скаллром называется величина, которая не имеет направления, но выражается числовым значением, не зависящим от выбора системы координат.
Вектором называется количественная характеристика, имеющая как числовое значение, так и направление, и не связанная с выбором системы координат. Геометрический образ вектора — это направленный отрезок прямой, определенным образом ориентированный в евклидовом пространстве.
Точки А и В, ограничивающие вектор АВ (рис. В.1), называют его началом и концом. Длина отрезка АВ представляет собой модуль вектора АВ: А 1АВ1=АВ. Часто вектор обозначают одной букРис. ВА вой с чертой над ней: А =АВ, а его модуль — символом )А ~= А. Если вектор не связан с какой-либо определенной линией или точкой, он называется свободным.
Вектор, связанный с прямой, по которой он направлен, называется скользясиим. Если же вектор связан с точкой своего приложения, он называется приложеннъии. Рассмотрим далее основы векторного исчисления для свободных векторов. Два вектора А и В называются равньини, если они равны по модулю и направлены вдоль параллельных прямых в одну сторону: если А =В, А1ТВ,то А = В. Если два вектора равны по модулю, но противоположно направлены, т.
е. А = В, А14В, то А = -В . Векторы, расположенные в одной плоскости, называются компоанарными. Если А ~ ~В, то векторы называются параллельными, или коллинеарными; эти векторы могут быть одинаково или противоположно направленными. Единичным вектором, или ортом, данного вектора А называется вектор ао, по направлению совпадающий с данным вектором А, а по модулю равный единице (рис. В.2). Тогда А =Аао или Во =А/А. Умножая вектор А на скаляр т, получаем новый вектор В= А=тАа, направленный в ту же или противоположную сторону в зависимости от знака скаляра т.
Рнс. В.2 В.2. Проекции вектора на ось и плоскость Осью называется прямая, на которой установлено положительное направление отсчета. Ортогональной проекцией вектора А = АВ на ось ! (рис. В.З) называется отрезокА'В', заключенный между ортогональными проекциями на зту ось начала и конца вектора АВ, или алгебл л раическая величина, равная произве- АВ ! 1 де модуля ве ора на кос нус А — — — '-Ч ! угла между направлением вектора А 1 и положительным направлением осЖ:, ~ ! А' А~ В' ! (АВ), = АВсоз(АВ,!) = ~ ! АВ'~, Рис.
В,З А1 = А соз(А !). (В.2) Ортогональной проекцией вектора А = АВ на плоскость П называется вектор А1В1, соединяющий ортогональнь1е проекции начала и конца вектора АВ на зту плоскость (рис. В.4). Модуль вектора Ап определяется так: 1Ап 1=Ап =1А1В1 ~=Асозу, Рнс. В.4 где <р — угол между А и Ап. 11 В.З. Координаты вектора. Анялитическое задание вектора. Радиус-вектор точки Вектор А = ОМ (рис. В.5) считается заданным, если известны его модуль А и направление, т. е. направляющие косинусы углов а, Д и у, образуемых этой прямой с осями прямоугольной системы координат Олух: л сова = сов(х, ОМ), сов 13= соз(у, ОМ), сову=сов(з, ОМ). (В.З) Рве.
В.5 А„=Асоза„ А = А сов 13; А, =Асозу. (В.4) 12 Поскольку косинусы углов а, 13 и у связаны между собой известным соотношением соз' а+ соз' 13+ соз' у = 1, то вектор однозначно определяется тремя независимыми величинами, называемыми координатами вектора. Удобнее всего принять за координаты вектора его проекции на оси декартовой прямоугольной системы координат: Поскольку ~2+Аю+Аю А2 х у ~ з то модуль вектора и направляющие косинусы, согласно выражениям (В.З, В.4), определяотся так: Аю+ 12+ 12 А, Аю А, сова= — ', сов13= — ~, созу= — '.
(В.б) А А А Введем в рассмотрение единичньюе векторы (или орты) координатных осей. Обозначим их соответственно ю, 7', К (см. рис. В5). Тогда А, =А,ю'=юхАсови, А =А,Зри'Ассам, А, = =А,К=ЕАсову- ортогональные составляющие вектора А, по- этому А = А„+ Ау + Ах = Ах ю + Ау ю' + А 7ю . Однако, согласно (В.1), А =Аао, а, =А/А. Тогда = ао,ю' = ю' сова, аою — — аою~' = 7 сов Р, ао, - — ао,юю = юЮю сову .
Следовательно, (В.7) а,= а, =совД, а„=сову, (В.8) ао, =сова, 13 т. е. проекции единичного вектора ао на оси коорж- х нат равны косинусам ую'- лов а, 13, Т для вектора А. В частном случае, ес- Х г М(х, у, х) ли вектор ОМ измеряется О в линейных единицах и х 7 у у имеет свое начало в начале координат О, а конец— х Рве.
В.б в некоторой точке М он назьювается радиус-векторам точки М Тогда проекциями вектора ОМ = г (рис.В.б) являются координаты х, у и г точки М и выражение для радиус-вектора точки Мимеет вид р=хю+у7+гК. (В.9) В.4. Сложение н вычитание векторов Суммой двух векторов А и В называется вектор А+В, соединяющий начало вектора А с концом вектора В (рис. В.
7, а, б), если вектор В отложен от конца вектора А . Это построение называется законом сложения векторов. Из рис. В.7, в ясно, что А+В=В+А. (В.10) Ф Рие. В.7 Таким образом, заключаем, что сложение двух векторов обладает свойством хоммутативности (переместительности). Из Ь АВС (см. рис. В.7, б) имеем ~А+В1 =А'+В -2АВсоза, но а=к-(А, В),тогда ~А+В1= (В.11) Сумму нескольких векторов получим последовательным применением закона сложения дву» векторов: сумму двух (А, + Аз) сложим с третьим вектором А, (рис. В.8), полученную сумму (А, + А2 + Аз) сложим с четвертым вектором и т. д.
Сложив сумму л — 1 первых векторов (А, + А2 + ... + А„, ) с последним вектором А„, получим сумму л векторов: 14 У = А, + А, + А, + ... + А„, или У =,) А, . (В.12) г Таким образом, сумма п векторов есть вектор, который изображается замыкающей стороной векторного многоугольника, составленного из слагаемых векторов. Замыкающий вектор направлен от начала первого вектора к концу последнего.
Сумма п векторов обладает также свойством коммутативности. На рис. В.8 видно также, что сумма и векторов обладает и свойством сочетательнаспш (ассоциативное лги): Рвс. В.а Разностью двух векторов А и В называется вектор, полученный от сложения векторов А и — В (рис. В.9) А — В =А+( — В). Видно, что сумма векторов А+В есть одна диагональ параллелограмма, построенного на векторах А и В, а разность — другая его диагональ. Рис. В.9 15 У=Аг+ А, +А, -ь...+Ан г+ А„= = (А, + А, )+ А, + ...
+ (А„, + А„) = =(А, +А, +А,)+(А, +...+А„,)+А„. Таким образом, построение векторного многоугольника можно осуществить, складывая векторы А„А, ..., А„в любом порядке, в любых сочетаниях. Если векторный многоугольник оказался замкнутым (т. е. конец последнего из слагаемых векторов совпадает с началом первого), то сумма векторов равна нулю: г У=~А,. =О. г=! Здесь Я„=„>,А,„, Я =„')„А,, Я. =',) А, ~=! г=! ! Согласно (В.5), Н Я=! !=~А~= Я ~=! (В.14) (В.15) а направление вектора В определяется с помощью направляю- щих косинусов из выражений, аналогичных (В.б). В.5. Умножение векторов В векторном исчислении различают два вида произведений векторов: скалярное и векторное. Скалярное произведение двух векторов А и В есть скалярная величина, равная произведению модулей А и В этих векторов л на косинус угла ( А, В ) между ними: А В = А В соз(А, В) ~ О, (В.1б) л л где А В > О, если О < А, В < —, и А В < О, если — < А, В ь к.
Как показано на рис. В.10, скалярное произведение двух векторов можно еще рассматривать как произведение модуля одного вектора на проекцию на него другого вектора: !6 Чтобы определить модуль и направление вектора У вида (В.12), воспользуемся аналитическим способом сложения векторов. Пусть нужно сложить п векторов А„А, ..., А„А„, где А, = =А,„!+А„1+А,,/! (!=1,2,...,л). Складывая зти векторы, согласно (В.12), получаем Я=,' А, =,) А„г+,) А„, !'+,) А,. А. (В.13) А В =В(Асоза) =А(Всоза).
(В.17) Рнс. В.10 Из соотношений (В.1б), (В.17) следует: 1) скалярное произведение двух векторов обладает свойством коммутативности, т. е. А В=В.А; (В.18) 2) скалярное произведение векторов обладает свойством распределительности относительно суммы векторов, т. е. (А+В) С =А С+В.С =С А+С.В; (В.19) 3) при умножении вектора на скалярную величину имеет место сочетательный закон: тА лВ=тпА В (В.20) Кроме того, из (В.16) следует, что соз(А, В) =1, А В = А В при А ТТ В; (В.21) соя(А, В) = — 1, А.В = — АВ при А ('4 В; соз(А, В)=0, А В =0 при А.1В; (В.22) л соя(А,В)=1, А В =А при А =В.
Для единичных векторов, согласно (В.22), имеем 7'=~' /с =К г =0; с . ю' = 7'. ~' = к я = 1. (В.23) 3 зак. 16 17 Используя соотношения (В.19) и (В.23), запишем скалярное произведение двух векторов через вх проекции. Если А = А„г + +Ау1+А,Ь В вЂ” В о+Ву1+ВгЬ то А.В =(А„~'+Ау3+А,Х)(В,~'+В ~'+В,7г)= (В.24) =АВсов(А, В)=А,В, +А В +А,В,. Таким образом, скалярное произведение двух векторов равно сумме попарных произведений одноименных (по индексу) проекций векторов на координатные оси.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
