Termeh (523129), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Раздел 1 КИНЕМАТИКА Кинематика — раздел теоретической механики, в котором изучается механическое движение тел без анализа определяющих это движение условий и причин (с геометрической точки зрения). Механическое движение, то есть изменение положения материального тела в пространстве, определяется по, отношению к некоторому телу, которое называется телом отсчета. С телом отсчета связывают систему координат, в которой рассматривают перемещение исследуемого материального тела или системы тел с течением времени. Начало отсчета времени выбирают произвольно.
Связанная с телом отсчета система координат с принятым в ней отсчетом времени образуют систему отсчета. Изучение механического движения в кинематике возможно на основе задания движения материальных тел. Задать двилсение материального тела означает указать способ или алгоритм, позволяющий однозначно определить положение рассматриваемого материального тела в выбранной системе отсчета в любой момент времени.
В данном разделе будут рассмотрены главы по кинематике точки и абсолютно твердого тела. Простейшей моделью материального тела, размерами которого в условиях решаемой задачи можно пренебречь, является материальная точка. При этом в кинематике понятие материальной точки тождественно понятию геометрической точки.
Абсолютно твердым, или просто твердым телом называется модельное представление материального тела в виде тела (системы материальных точек), в котором расстояние между любыми точками является неизменным. 38 Глава 1 киижмьтикА точки 1.1. Скорость точки Кинематика точки — раздел кинематики, в котором исследуется механическое движение материальных точек.
Одной нз важных характеристик движения точки является траекенорик, т.е. геометрическое место последовательных (с течением времени) положений точки в пространстве, определяемое в той или иной системе отсчета. Другими кинематическнмн характеристиками движения точки являются скорость и ускорение. Основными задачами кинематики точки являются задачи по определению траектории, скорости и ускорения точки, а также исследованию закономерностей их изменения.
Среди способов задания движения точки выделяют еекнеорный, координатный и естестеенный. Все три способа взаимосвязаны, т. е. возможен переход от одного способа задания движения точки к другому. Предположим, что точка при движении по траектории в момент времени Е совпадает с точкой М и ее положение определяет радиус-вектор р(Е), проведенный в некоторой системе отсчета из неподвижной точки О, а в момент времени (Е+ ЬЕ) — с точкой М„которой соответствует радиус-вектор р(Е+ЬЕ), (рис. 1.1): Приращение радиус-вектора за промежуток времени ЬЕ составит Ьг = г(е+ Ье)- г(е) .
О~ношение этого приращения к промежутку времени ЬЕ можно определить как средиюю Скорость 7 точди за время ЬЕ, асср = Ьг /ЬЕ. Предел этого отношения, когда промежу- 39 ток времени Ь| стремится к нулю, называют скоростью точки в момент времена 1. Такой предел есть производная от радиус- вектора точки по времени, т. е.
Ьг Ю Г= йю — = — =г. ы-+о Ьт с(1 (1.1) Т ия Вектор ч направлен по приращению Ьг радиус-вектора точки, т.е. по направлению секущей ММ,. При стремлении Ь1 к нулю секущая в пределе становится касательной к траектории в точке М поэтому вектор Р направлен также по касательной (см. рис. 1.1). Таким образом, скорость точки есть векторная физическая величина, равная первой производной по времени от радиус- вектора точки; скорость всегда направлена по касательной к траектории, а ее численное значение определяется модулем Я .
Единица измерения скорости в СИ вЂ” метр в секунду (м/с). Путь Х, пройденный точкой по траектории за промежуток времени Ьт =(1, -1,), можно определить как предел суммы модулей приращений радиус-вектора точки ~Ьуь ~ за малые отрезки времени Ьт», на которые разбивается промежуток времени (г» -г,), приусловии, что ~Ьг»~-+ О, Ж» -+ 0: ч Х= 1пп ~)Ьг»)= 1пп,'~ » Ь»» = )ь(г)й.
(1.2) )»г! ~» ~, о» Ьг Здесь т(г) = ~ъ (г)( — модуль скорости, выраженный в виде функ- ции времени. 1.2. Ускорение точки Если откладывать вектор Р = Г(г) точки в текущие моменты времени нз некоторой неподвижной точки О„то получим линию в пространстве, называемую годографом скорости (рис.
1.2, а). Очевидно, что приращение скорости за время Ьт составит ЬГ = Р(г+ Ьг) — Г(г) . Отношение этого приращения к промежутку времени Ьг, за который оно произошло, определяет среднее ускорение точки за рассматриваемый промежуток времени. Предел этого отношения при Ьг, стремящемся к нулю, называется ускорением точки в момент времени г, т. е. (1.3) а = 11ш — = — =Ф= —,=Р. »»-+О ЬФ»»г пг По своему физическому смыслу ускорение есть скорость изменения скорости, и направлено оно по касательной к годографу скорости (см. рис. 1.2, а). Определим направление вектора а, вычисляемого согласно (1.3), по отношению к траектории точки. Очевидно, что направление вектора Ьр/Ьт всегда совпадает с направлением приращения скорости ЬГ. При Ьг-+ 0 точка М, на траектории приближается к точке М а плоскость, в которой лежат векторы Р и ЬГ, поворачиваясь вокруг вектора Г, т.
е. касательной к траектории в точке М занимает свое предельное положение, совпадающее с плоскостью, являющейся соприкасающейся плоскостью кривой 41 (траектории) в точке М (рис. 1.2, б) . В итоге можно сделать заключение, что вектор а лежит в соприкасающейся плоскости траектории в точке М, причем направлен он всегда внутрь вогнутости траектории точки в этой плоскости.
Годогрвф Рис. 1.2 Если траектория точки является плоской кривой, то соприкасающаяся плоскость совпадает с плоскостью, в которой лежит траектория точки. Таким образом, ускорение точки а есть векторная физическая величина, равная первой производной по времени от скорости Геометрически соприкасающаяся плоскость определяется как предельное положение плоскости, образованной касательными к кривой в точке ЬГ и в соседней точке М, при неограниченном сближении этих точек. » сл» 1сЬ 1 аЪ а» =а » сй» 2 г/г» е// (1.4) Модуль проекции ускорения на ось Мт„, равный )а„~=~сЬ/с/г), характеризует собственно изменение скорости по величине.
Знак этой проекции определяет характер движения. Так, при а„=~Ь/й>0 (угол а между векторами а и Г меньше 90') движение ускоренное, прн а„= а»/г/г < О (угол сс > 90') — замедленное, а при а„= сЬИГ = 0 — равномерное (» =сопв1). В общем случае равномерного движения точки по прямолинейному участку траектории а = О, » = сопз1; при равномерном движении по криволинейному участку траектории»=сопзГ, но» ~сопят, поэтому а./ », а и 0. точки или второй производной от радиус-вектора точки; вектор а расположен в соприкасающейся плоскости и направлен в сторону вогнутости траектории точки в этой плоскости; численное значение ускорения определяется модулем ~а~. Единица измерения ускорения в СИ вЂ” метр на секунду в квадрате (м/с ).
Если при движении точки по траектории модуль скорости возрастает со временем (с/» / с/г > 0 ), то такое движение называется ускоренным, причем, если <Ь/й=сопз1 >О, то равноускоренным. Если же модуль скорости при движении точки уменьшается (~Ь/с// < 0), то движение является замедленным, а при сЬ/й = сопз1 < 0 — равнозвмедленным. В случае»(Г) = сопзг ( ~Ь / г/г = 0 ) движение называется равномерным. Производную сЬ/й можно интерпретировать как проекцию ускорения а на ось М т„, совпадающую по направлению с направлением скорости» (см.
рис. 1.2, б). Эта проекция может быть найдена так: а„= Пр»а = а„т„, где т„= » /» — вектор, имеющий направление скорости, и модуль, равный единице. Тогда 1З. Векторный способ задании движении точки Движение точки можно задать, если выразить ее радиус- вектор в некоторой системе отсчета в виде функции времени Р=г(г). (1.5) Функция г(~) для определенности дальнейших рассуждений предполагается непрерывной, дважды дифференцируемой. Такое задание радиус-вектора точки предполагает наличие системы отсчета, но не конкретизирует ее. В данном случае траеюпорию пючки можно определить как годограф ее радиус-вектора, пхе. геометрическое место концов радиус-вектора г, изменяюгцегося во времени согласно зависимости (1.5).
Определения скорости и ускорения точки при векторном способе задания движения соответствуют приведенным в 9 1.1 и 1.2. Формулы для их выражения имеют вид (1.1) и (1.3). Векторный способ задания движения точки ввиду своей простоты и компактности широко применяется для введения основных понятий и кинематических характеристик движения точки, которые в дальнейшем используются в том числе и при других способах задания ее движения, а также в теоретическом изложении различных разделов курса.
1.4. Координатный способ задания движении точки Для задания движения точки координатным способом необходимо ввести систему отсчета с некоторой системой координат и дать зависимости изменения координат точки в виде функций времени . Эти зависимости называются кинематическими уравнениями двиэкеиаи точки в соответствующей системе координат. Рассмотрим случаи задания движения тгачки в конкретных системах координат. Функции, определвгощие изменение координат во времени, во всех далее рассматриваемых случалх будут полагатьсв непрерывными, дважды дифференцируемыми. Задание движении точки в нрлмоугольной декартовой системе координат Прямоугольная декартова система координат с началом в точке О и осями Ох, Оу, Ог показана на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
