Termeh (523129), страница 4
Текст из файла (страница 4)
При этом в системе координат Ойтуз существует матрица А— тензор второго ранга с элементами а, (3, 3 = 1, 2, 3 ): а!! аи азз А= аи агг агз (В.бб) ан азг азз Тензор А является самостоятельной физической величиной, способной преобразовать один трехмерный вектор в другой в любой координатной системе. Так, вектор главного момента количеств движения Х~ твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки О, определяется через вектор угловой скорости ез по известной зависимости 28 где Ю вЂ” тензор инерции тела в точке О, его компонентами явля- ются осевые и центробежные моменты инерции тела относитель- но осей Ох, Оуи Ох: 1х у .1у 1х у 1х (В.68) 1у х 1х х 1у х Ах В.7.
Свизь меигду проекциими вектора на оси двух првмоугольиых систем координат В =АЬ, (В.71) !зп азг азз ~зз! ~~22 ~~23 "з! пзг озз Ь, Ь Ь, Вх ;Ь= гдеВ = 29 В евклндовом пространстве ненулевой вектор имеет в общем случае различные проекции на оси двух систем координат с произвольной взаимной ориентацией осей. Покажем, как влияет взаимная ориентация осей прямоугольных систем координат на связь между двумя вариантами проекций одного и того же вектора. Будем исходить из того, что оба варианта проекций задают один и тот же вектор, т. е., например, для вектора Ь (рис. В.17) В„1+ Вг 7+ ВхК =Ь„!'+ Ьх3+Ь,Ь, (В69) где В„, В, В, и Ь„Ь, Ь, — соответственно проекции вектора Ь наосидвухсистем координат; а 1, У, К и з, 1, Ь вЂ” орты рассматриваемых систем координат. После скалярного умножения обеих частей уравнения (В.69) на орты 1, У, К, получим ВА Ьх(Х'1)+Ьу(1 '1)+Ьх(1г '1) 1 Ву=Ьх(!' Т)+Ь (1'.3)+Ь (Тс Х); (В.70) В7.=Ьх(з.К)+Ьу(1' К)+Ьх(Ь К) .
Более, компактный внд соотношения (В.70) имеют в векторно- матричной форме записи: В формуле (В.71) проекции одного и того же вектора Ь на осн соответствующих систем координат считаются элементами векторов-массивов В и Ь, а скалярные произведения двух ортов — элементами матрицы А, т. е. ап — — г 1, а,2 = 1'. 1 и т. д. Рве.
В.17 Отметим ряд важных свойств формулы (В.71) и матрицы А, причем условимся называть систему координат с ортами г, 1, й — первой, а с ортами 1, .1, К вЂ” второй. 1. Формула (В.71) определяет правила расчета проекций вектора на оси второй системы координат по его известным проекциям на оси первой системы, при этом матрица А считается матрицей перехода от осей первой системы координат к осям второй.
2. Согласно формуле (В.28), скалярные произведения соответствующих ортов разноименных осей координат равны косирусам углов между перемножаемыми ортами (или между соответ- 30 ствующими осями систем координат), т. е. ап — — 2 1 = сов(х, Х), л а1, — — 1 1 =сов(у, Х) и т. д.
Поэтому матрицу А называют матрицей направллю2цих косинусов. 3. Элементы каждой строки матрицы являются проекциями соответствующего орта второй системы координат на оси первой, а элементы каждого столбца матрицы — проекциями соответствующего орта первой системы координат на оси второй, например: = ( 1, а!2, а~3 ); а~ = 1» ', а!2 = 1» ', а!3 = 1» . (!211 1221 а31) 1 12!1 1Х1 а21 1» 1 а3! Уг ' 4. Сумма квадратов элементов каждой строки или каждого столбца равна единице, так как такая сумма выражает квадрат модуля орта, например: 2 2 2 2 2 2 оп+а„+а„=1, +1, +1, =1.
5. Скалярное произведение двух различных строк или двух различных столбцов равно нулю, так как такое произведение соответствует скалярному произведению двух ортогональных векторов, например: а!Уа21 +а12ам +ам'223 = 1 1 +1» 1»+1Я 6. Определитель матрицы равен единице: Йе2А=1. Этот результат можно получить, опираясь на формулу расчета смешанного произведения трех векторов(1, 1, к или 1,,1, К ), образующих правую тройку. Он соответствует объему куба со стороной, равной единице. 7.
Обратная матрица А ' равна матрице, транспонированной к матрице А: А !»»А» 8. Формула обратного пересчета проекций вектора на оси первой системы координат по его известным проекциям на оси второй имеет внд Ь =А'В (В.72) 31 В.8. Вектор-функции. Годограф вектора. Дифференцирование вектора но скалярному аргументу Если модуль и направление вектора А зависят от значений, принимаемых переменными 8 и, г, и, то вектор А называется векторной функцией этих переменных, или вектор-функцией. Ограничимся рассмотрением вектор-функций только от одной независимой переменной и А =А(г). При этом в общем случае с изменением скаляра г непрерывно изменяются и модуль, и направление вектора А . Следовательно, с учетом (В.1) можно записать А = А(2)ио(2) =А(2). (В.74) В частных случаях вектор А может изменяться или только по модулю: (В.75) а, =сопз1, А =А(г)а„ или только по направлению: А=сопз1, А =Аа,(г).
(В.76) Если вектор А = А(г) = ОМ в процессе его изменения всегда откладывается от общего начала (полюса) О (рис. В.18, а), то геометрическим местом концов этого вектора будет некоторая кривая (плоская или пространственная)„называемая годогрифом вектори А . Если полюс О принять за начало прямоугольной системы координат, то, согласно (В.7), А =А,(~)ю'+А (~)у+ А.(г)/с, (В.77) где А,(2), А,(2), А.(г) — проекции вектора А на оси координат. Тогда уравнения годографа вектора А, записанные в параметрической форме, имеют вид к=А„(г), у=А (2), я=А„(г). (В.78) В частности, если вектор А изменяется только по модулю (см.
(В.75)), его годографом будет прямая, вдоль которой направ- 32 лен зтот вектор. Если вектор А изменяется только по направлению (см. (В.76)), его годографом является кривая, расположенная на сфере радиусом А. Годограф будет плоской кривой, если вектор А остается параллельным некоторой неподвижной плоскости. О Рис.
ила Найдем производную вектора А(г) по скалярному аргументу и Предел отношения ЛА (рис. В.18, б) к Лг (при Ьг-+0), если он существует, называется производной вектора по скалярному аргументу и Это определение совпадает с определением производной от скалярной функции. Таким образом, ЛА . А(г + Ж) — А(г) АА 1ип — ! ип ы о ЛГ ы- о,~г АГ На годографе (см. рис. В.18, а) вектор ЬА направлен вдоль хорды, или по секущей М, В пределе (Лг — эО ) секущая М,. занимает положение касательной М, и, следовательно, направ- АА ление производной — совпадает с направлением касательной к с(г годографу вектора А(г) в точке М. 33 Если вектор выражен через его проекции на неподвижные оси (см., например, (В.77), где г, 1, К вЂ” векторы, постоянные по модулю и направлению), то ВА а~ —, —, — ~И, —, ~И,.
-. 4И вЂ” = — (А, г + А,, у + А К) = — ' г + — у'+ = /с, (В.80) гВ й '* ' гВ 4(Г й~ 4п'" 41г" 4й" й" Как и для скалярных, для векторных функций справедливы следующие выражения: — — Л вЂ” — Н — (А В)= — В+А ПГ 4й ПГ а' — — ~Й вЂ” — Н — (А х В) = — х В + А х —, (В.83) й 4(г й Рассмотрим теперь частный случай дифференцирования некоторого вектора В, который изменяется только по направлению, т.
е. ~В~ = В = сопят. Годограф такого вектора — кривая, расположенная на сфере радиусом В. Производная этого вектора с1 — есть вектор, перпендикулярный к дифференцируемому 4й (рис. В.19). Действительно, поскольку, согласно (В.21), (В.82) В В =В =сопз1, то, дифференцируя это равенство„с учетом (В.82) получаем 2 — = О.
— ИВ пг Следовательно, — 1В. ИВ Й 34 т. е. производная вектора по скалярному аргументу есть вектор, проекции которого на неподвижные оси равны производным по тому же аргументу от проекций дифференцируемого вектора. Это утверждение справедливо и для производной и-го порядка: Пусть за время Дг вектор В повернулся на угол Дф и получил приращение АВ . Модуль ф можно найти как длину основания равнобедренного треугольника (~В~ = ~В + Д~Я) с углом Дф при вершине (см. рис. В.19): ~ДЯ~=2~В~зш — Р =~В~ ~ ~ )Д«р. (В.84) г Дф!г Тогда = 1йп — =~В1 йш 1лп — =~В~1пп — .
(В.85) (В . Ц . зш(Дф~г) . Дф . Дф «В ь«-ю ДГ ««9-+о Дф/2 «~о ДГ ы-+О ДГ Обозначим предел 1пп — =«в . В Др ««е ы~о Д« общем случае предел отношения Дф фр — не явлжтся производной— Д« й' ф поскольку для вектора, годограф 'Ф дВ которого — пространственная кри- Дф Ро вая, не существует функции «р = ф(1), которая определяла бы его В положение. Введем единичный вектор р, .1.В, направленный в соответсгвни с поворотом вектора В . Тогда с учетом (В.85) имеем рю =Щ 1йп — ре =ДВа'ро (В 86) «Й «Й~ . дф ь«одг Таким образом, производная вектора постоянного модуля по скалярному аргументу равна произведению его модуля на «е' и на единичный вектор, перпендикулярнь«й дифференцируемому и направленный в соответствии с поворотом вектора В . ' Остановимся на случае, когда вектор В остается параллельным неподвижной плоскости и позтому его годографом будет окружность радиусом ~В~.
Тогда существует функция ф = ф(г), Рас. В.19 определяющая вращение вектора, и 1йп — = —. Поэтому из ~~р 8р и- о~г Аг (В.86) следует — -И вЂ” ' аа йр й Й (В.87) В частном случае дифференцирования единичного вектора ае имеем (В.88) АА ~И Иа„ вЂ” = — аз+А — ~. Аг с8 й (В.89) Очевидно, первый вектор в уравнении (В.89) направлен вдоль или.против вектора ао и характеризует быстроту изменения вектора А по модулю. Согласно (В.86), ~ае вектор А — = Ав рс направлен й перпендикулярно вектору А в соответствии с.его поворотом и определяет изменение вектора А по направлению. Следовательно, АА сИ ~~о+Ага Ро ° й й (В.90) где ре3 ао. Учитывая теперь, что и модуль, и направление вектора А изменяются, зашппем его в виде (В.74): А = А(г)ае(г).
Тогда производная вектора А по скалярному аргументу г может быть представлена двумя взаимно перпендикулярными векторами (рис. В.20): Если вектор А остается параллельным некоторой неподвижной плоскости (т, е. годографом А является плоская кривая), то из (В.87) и (В.90) следует: ИА сй йр — = — а,+А — р,. Ж Й й Заметим, что равенство =~ — имеет место лишь в слуа~ 1ж1 чае, когда направление вектора А не меняется.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
