Termeh (523129), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Рассмотрим возможные варианты граничных условий. 1. Пусть к концам нити приложены внешние силы Р, и гв. Так как натяжение нити Т направлено всегда по касательной, то на концах нити должно быть Тхт, — Рх Твтв — ~в. 2. Предположим, что один из концов нити, например А, находится на гладкой поверхности. Тогда реакция Я„ поверхности направлена по нормали к ней, т. е. Я = Я„йх, и на этом конце граничное условие будет следующим: Г„+ Т„т „+ Я„й„= О . В частности, если к концу нити не приложена внешняя сила (Р, = О), то либо Т„=Я,=О (конец нити лежит на гладкой поверхности), либо Т„ = -А„ (конец нити перпендикулярен поверхности).
12.2. Частные случаи внешних сил 1. Пусть внешние силы, действующие на нить, параллельны, т. е. г = Его, где го = сопз1 — единичный вектор. Умножив слагаемые дифференциального уравнения равновесия (12.1) векторно на Ко, получим — хг +г хГ =О. АТ о о Второй член полученного уравнения равен нулю, так как векторы коллинеарны,следовательно, а'Т вЂ” хГ =О. Ж Поскольку Г =сопз1, то — "(Т.Г,) =О, Ж 263 откуда Т х Г, =сопя(. Это означает, что под действием параллельных сил нить располагается в плоскости, параллельной силам.
2. Найдем форму нити, которую она будет иметь в состоянии равновесия под действием центральных внешних сил, проходящих через точку 0 (рис. 12.2). Рнс. 12.2 Умножив слагаемые в уравнении равновесия (12.1) векторно справа на радиус-вектор г, получим: ИТ вЂ” хд+Гхд=О. Ж Векторы Р н г коллннеарны, поэтому Р х г =О и, следовательно, ИТ вЂ” хг =О. Ж (12.6) Преобразуем это уравнение: (т и — — ар — х г = — (Т х Р) — Т х — . Ж Ж сИ Так как ~Иг~ = Ж, то Н г/ЫЯ = Т. Учитывая, что векторы Т и т коллинеарны, получим — ыр Т х — =О. Ж Следовательно, уравнение (12.6) принимает вид Ы вЂ” (Т хй)=О ИЯ или после интегрирования Т х Р = сопз1 .
Таким образом, под действием центральных сил нить расположится в плоскости, проходящей через центр сил. 12.3. Цепная ливии Найдем форму, которую будет иметь однородная нить в однородном поле силы тяжести (рис. 12.3, а). Обозначим вес единицы длины нити через у = сопз1. Вследствие того, что силы тяжести частиц нити параллельны, нить при равновесии расположена в вертикальной плоскости. Совместим с зтой плоскостью координатную плоскость Оху, причем ось бу направим вертикально вверх, Поскольку в данном случае Г„ = О, Г = -у, уравнения (12.2) равновесия нити примут вид — Т вЂ” ' =О; — Т~ =у. (12.7) Рис. 12.3 265 Из первого уравнения (12.7) следует, что ~й Т вЂ” =Т, =сопзг, Ж т.
е. проекция силы натяжения нити на ось Ох есть величина постоянная. Из (12.8) имеем Ж Т=Т,—. ~й Подставив это выражение во второе уравнение (12.7), получим То =7 Элементарная длина дуги ао = 1+ — »й. Следовательно, (12.9) Т вЂ” =7 1+ — й. Для более компактной записи обозначим а)»/~й= р. Тогда уравнение (12.9) примет вид Теф=7~1+р й Разделив переменные, получим Ф 7 = — ~й, т1+ р О нлн» полагая ТО /7 = а» ~р й ~1+,г а После интегрирования имеем »(»+/» ° »')-,! +с„ где С, — постоянная интегрирования. Проведем ось Оу через ту точку нити, где касательная к ней параллельна оси Ох.
В этом случае при у=а, х=О, р= =а~/гй=о и С$ — — О. Тогда р+~/1+р =е'1'. Для определения р возьмем обратные величины: -х/а =е р+~Г+рт Умножив числитель и знаменатель левой части этого уравнения на сопряженное знаменателю число, получим р+ ~1+р е- 1е (12.11) Вычти из равенства (12.10) уравнение (12.11), будем иметь р=0,5(е*1' -е *1')=зЬ(х/а). Так как р = ау/с(к = вЬ(х/а), то ,= (-*~ . Интегрируя полученное уравнение, находим у = асЬ(х/а)+ С2, где С, — постоянная интегрирования.
При х = О, у = а, так как сЬ 0 =1, получаем С, = 0 и ( г л~ х а( —, у=асЬ вЂ” = — е" +е ' а 2~ (12.12) Прпиер 13.1. Найти форму троса, удерннваюшего внсвчн» мост, подстав, что всс погонного метра моста постоянен (у соваь), мост подвешен к тросу так, что вертикавьнав нагрузка равномерно распределена по данке проекцнн троса на горвэонтавьную оса, а трос нераствиим (рнс. 12.4, а). Выражение (12.12) является уравнением формы однородной нити, находящейся в равновесии в однородном поле силы тяжести (рис. 12.3, б). Это уравнение называют уравнением денной линии.
Рис. 12.4 Решение Внешние силы в вертикальной плоскости, в которой расположен трос, параллельнм. Направим ось Ох горизонтально, а ось Оу вертикально вверх. Воспользуемся уравнениями равновесия (12.2). На элемент троса Ж действует сила 7~Ь, поэтому внешняя сила, действующая на единицу длины троса, будет Г = 7сй/в~у. Уравнения равновесия (12.2) примут ввд Т вЂ” = О; Н Т вЂ” -тгй=О. Из первого уравнения получаем нх Т вЂ” =Т, =сопзг, сБ откуда Т=Те —. а1э сй Подставляя полученное выражение для Т во второе уравнение равновесия, находим ~о = 7пт ° 268 илн о'~у Т вЂ” =т. о з Полагая Т,/у = а, имеем А'у 1 ~,2 откуда после интегрирования получаем хз у= — +С,х+С . 2а Из этого уравнения следует, что трос расположится по параболе, ось которой вертикальна Если ось Оу провести через вершину параболы, а Ох на расстоянии Ь ниже этой вершины, то граничные условия для определения произвольных постоянных С, и С будут следующими: х = О, дУ/с1х = О; х=О, у=Ь. Тогда С, =О.
С, =Ь и уравнение параболы, по которой расположится трос, будет 2 у- — +Ь. 2а Прюинер 12.2. В условиях предыдущей задачи определить натяжение троса в точках А и М(рис. 12А, б). Реимииа С учетом симметрии конструкции (см. рис. 12.4, а), рассмотрим равновесие половины длины троса 1рис. 12.4, б). Сисшма внешних параллельных вертикальных сил, действующих на половину троса АМ, эквивалентна равнодействующей Р = ТАВ/2, где АВ =! — расстояние между опорами.
Натяжение троса в точках А и М обозначим соответственно через Т„и Тм . Силы Тх, Т„, Р, действующие на трос, составляют равновесную систе- му, т. е. Тх + Тм + Р = О . Откуда следует !рис. 12.4, в) Р т1 т1 Т„= — = ; Т„= Ргйа= — гйа. сова 2 сова 2 Чем больше угол а, т.
е. чем меньше стрела провисания троса по сравнению с расстоянием между опорами, тем больше его натяжение как в точке А, так и в точке М. Если в точке А трос опираетса на блок, в оси которого нет трения, то его натяжение на унес!хе АС равно Т„'=.Т„. Раздел 1?1 ДИНАМИКА В динамике изучается механическое движение материальных объектов с учетом их взаимодействия с окружающими материальными телами и средой, т. е.
с учетом сил, действующих на эти объекты. Из статики в динамику переносят аксиому освобождения от связей точек системы, теорию сложения сил и приведения систем сил к простейшему виду, из кинематики — методы и приемы описания движения и запись уравнений связей. В динамике в отличие от статики как активные силы, так и реакции связей — в основном переменные величины. Активные (заданные) силы могут зависеть от времени, положения и скоростей точек в системе, а реакции связей еще и от их ускорений.
В динамике ставятся следующие задачи: по заданному движению определить силы, вызвавшие его, и по заданным силам установить движение системы. Встречаются также смешанные задачи, в которых необходимо решать оба типа задач. Кроме того, в динамике определяют силы взаимодействия точек (тел) системы. Свойства материальных объектов в динамике схематизируют, из всей совокупности свойств во внимание принимают только те, которые являются существенными для механического движения. В зависимости от того, какую часть свойств учитывают при решении задач механики, получают различные модели материальных объектов.
Простейшая модель материального тела в механике — материальнаа тачка — представляет собой тело, которое независимо от его формы и размеров можно принять за геометрическую точку, обладающую определенной массой. Материальная точка — зто не обязательно тело малых размеров. Колесо, которое катится по шероховатой поверхности, нельзя рассматривать как материальную точку при любых его размерах. В зависимости от постановки задачи одно и то же тело может либо выступать, либо не выступать как материальная точка: все зависит от того, меняются силы, действующие на тело при изменении его ориентации по отношению к 220 окружающим телам и среде, нли нет.
Например, спускаемый космический аппарат вне пределов атмосферы движется под действием сил тяготения, которые от ориентации аппарата практически не зависят, н, следовательно, аппарат можно рассматривать как материальную точку. Прн движении того же аппарата в атмосфере появляются силы, зависящие от его ориентации, и считать аппарат материальной точкой уже нельзя. Движение материальных объектов представляет собой изменение их положения в пространстве и во времени по отношению к другим телам. В рамках классической механики пространство принимается трехмерным эвклидовым.
Кроме того, пространство и время считаются абсолютными, т. е. не зависящими друг от друга, а также от материи и движения. Принимается также, что масса точки не зависит от скорости ее движения. Глава 13 ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ 13.1. Аксиомы динамики Основу классической механики составляют принятые как аксиомы законы Ньютона, опубликованные нм в 1686 г.
в сочинении «Математические начала натуральной философии». В современной форме аксиомы формулируются применительно к простейшей модели материального тела — материальной точке. 1. Существуют системы отсчета, называемые инерииальными, по отношению к которым материальная точка, не испытывающая действия или находящаяся под действием уравновешенной системы сил, сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного двмнсения.
Таким образом, первая аксиома постулирует возможность существования тел и связанных с ними систем отсчета, движущихся без ускорения, т. е. поступательно, равномерно и прямолинейно, причем любая из таких систем отсчета может быть принята за неподвижную при решении задач динамики. Никакое тело во Вселенной не является полностью изолированным от воздействий, позтому инерциальные системы отсчета 271 являются воображаемыми и могут быть введены с той или иной степенью приближения. В частности, близкой к идеальной является гелиоцентрическая система отсчета, начало которой совпадает с центром Солнца, а оси направлены на удаленные звезды.
2. Ускорение материальной точки относительно инерциальной системы отсчета пропорционально приложенной к точке силе и совпадает с ней по направлению. Если à — приложенная к точке сила, а — ускорение точки относительно инерциальной системы отсчета, то Положительный коэффициент пропорциональности т характеризует инертные свойства точки и называется массой.
Масса материальных тел определяется методом сравнения с эталонами. В случае г = О а = О, т. е. точка оказывается в состоянии движения по инерции. Таким образом, вторая аксиома устанавливает причину нарушения инерциального состояния точки (действие на точку других материальных тел), а также соотношение между ускорением (мерой отклонения точки от инерциального состояния) и силой'(мерой механического воздействия). 3. Силы взаимодействия двух материальных точек направлены по прямой, соединяющей эти точки, в противоположные стороны и равны по модулю, т.
е. — рг. Следовательно, третья аксиома определяет условие взаимодействия между двумя материальными точками. Ее называют еще законом о равенстве сил действия и противодействия, хотя здесь имеет место только равенство модулей сил, сами же силы противоположны по направлению. 4. Ускорение, полученное точкой под действием системы сил, равно векторной сумме ускорений от действия отдельных сшь т. е. если ф, рг,..., Р;,..., Рн ) — система сил, приложенных к точке, то н а=» а„, где а„= Р„/т. 272 Таким образом, четвертая аксиома постулирует принцип суперпознцин сил, или принцип независимого действия.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
