Termeh (523129), страница 32
Текст из файла (страница 32)
В качестве четвертой аксиомы динамики может быть принята аксиома статики о векторном сложении сил. Тогда принцип независимости действия сил превращается в следствие: для системы сходящихся снл справедливо выражение и (р!,Р„...,Кк) Р,где Р=~Р, ь=! Разделив на массу, получаем и к а = Г/т =,) рв /т =,, 'а„ !<=! в=! 13.2. Дифференциальные уравнения движения материальной точки Из второй и четвертой аксиом следует уравнение движения точки в инерциальной системе отсчета та =Г, (13.1) где Г = , 'Ä— равнодействующая всех сил, приложенных к а! г — а!р т — =Г(бг,— ).
~Й' в!г В проекциях на декартовы оси (базис г, 7', ав ) дифференциальные уравнения движения точки имеют вид тх = р,(г, х, у, г, х, у, г); ту=р (г,х,у,г,х,у,г); тг = Г, (г, х, у, г, х, у, д). (13.3) !9 зак. !в 273 точке. Так как ускорение точки связано с ее радиус-вектором соотношением а = в! р/с!г, а сила в рамках классической механики может быть функцией времени, положения и скорости точки, из (13.1) получаем векторное дифференциальное уравнение движении точки В частных случаях дифференциальных уравнений движения точки может быть меньше.
Так, при движении точки в плоскости Оху уравнений движения будет два: тх = Г, (г, х, у, х, у); ту = Р' (г, х, у, х, у) . В случае движения точки по прямой будем иметь одно дифференциальное уравнение, например: тх=Г„(~,х,х) . В проекциях на естественные оси (базис с, и, Ь ) уравнения движения точки имеют вид Ы ю у (!3.4) где г = ~г,~, г, = й/й, р — радиус кривизны траектории.
Первое уравнение (13,4) является дифференциальным уравнением второго порядка относительно дуговой (естественной) координаты з, второе уравнение имеет первый порядок, а третье является условием равновесия для проекций сил на бинормапь. Проекции силы могут быть функциями переменных г, з, й/ш' . В проекциях на оси криволинейной системы координат, например цилиндрической, уравнения движения будут такими: т(Р— гф~) = Г„; т(г(р+ 2гф) = Р'; тй = Р,.
(13.5) 13.3. Две основные задачи динамики материальной точки На основе дифференциальных уравнений движения материальной точки решают две задачи динамики точки. Первая задача состоит в том, чтобы по заданному закону движения точки массой т определить силу, под действием которой происходит это движение. Часто первую задачу рассматривают как задачу управления движением, в рамках которой требуется установить характеристики воздействия, обеспечивающие заданный закон движения материальной точки. В зависимости от способа задания движения при решении этой задачи используют соответствующие скалярные уравнения (13.3 — 13.5). Пример 13.1. Материальная точка, имеющая массу ль движется в вертикальной плоскости по баллистической траектории у = — + зю а — е ат' 1л 1- в соответствии с уравнениями х = гетсоза(1 — ехр(-г/тй; у = -ятг + т(а г+ ге з1п ай1 — ехр(-г/т)), где а, те, т — положительные константы, единицы измерения которых м(с, г и(с и с соответственно.
Найти силы, под действием которых происходит движение точки. Реигеиие. Из приведенных уравнений следует, что точка начинает движение из начала координат ( хе = О, ур = О ) с начальной скоростью те, направленной под углом а к оси Ох. Вычисляя производные координат, находим проекции равнодействующей силы Р„= юх = -(ю/т)тесова ехр(-г/с); Р„= ту = -(т/т)(ат+ те з(п а)ехр(-г/т) . Учитывая выражения для проекций скорости точки т, = к=тесова ехр(-г/т); т, = у = — ят+(ат+кез)па)ехр(-г/т), получаем Р„=-цт„; Р =-та-1Гг„ где р = т/т — константа, Н с(м. Откуда находим Таким образом, исходные уравнения описывают движение точки под действием силы тяжести и силы сопротивления, пропорциональной скорости точки. В1порая задача состоит в определении движения точки по заданным силам и начальным условиям движения, при этом силы должны быть выражены как функции переменных, используемых для задания движении.
Решение этой задачи сводится к интегрированию дифференциальных уравнений второго порядка, в процессе которого в решениях появляются произвольные постоянные, подлежащие определению. Так, в задаче о движении точки в трехмерном пространстве, решаемой на основе дифференцнапьньпс уравнений (13.3), общие решения будут содержать шесть произвольных постоянных: 19' 275 х = х(г, С„..., С ); у = у(г, С„..., Сь ); л = г(г, С„..., Сь ), для определения которых потребуется постановка дополнительных условий. Из математики известно,что если эти условия поставлены для начальных (при г = О) значений функций и их первых производных, т.е. в виде х(0) =х„у(0)=у„г(0)=ге, х(0) = хо, у(0) = ус, я(0) =й, то задача (задача Коши) при некоторых ограничениях, налагаемых на правые части дифференциальных уравнений, имеет решение и причем единственное.
Таким образом, приложенные к точке силы определи!от только ее ускорение, движение же точки помимо сил зависит от начальных условий — положения точки в рассматриваемой инерциальной системе отсчета и ее скорости. Замечание. Первым интеграаем системы дифференциальных уравнений (13.3) называегса функциа Ф(г, х, у, х, х, у, х), зависящая от координат, ско- ростей и времени, сохраняющая постоянное значение для любого конкретного решения системы. Выражение ()= НФ1 дФ дФ, дФ . дФ ! (дФ дФ дФ вЂ” = — + — х+ — у+ — й+ — — Р'„-ь — и + — Р, дг / дг дх ф дх м ) дх " ду дх называется нреизеедней ие аренелл функции Ф(Г, х, у, х, х, у, й), вычислен- ной в силу дифференциальных уравнений (13.3).
Аналогичные определения можно дать для любой произвольной системы дифференциальных уравнений. В курсе дифференциальных уравнений доказывается, что функция Ф будет первым интегралом системы дифференциальных уравнений тогда и только тогда, когда ее производная, вычисленная в силу этих уравнений, будет тождественно равняться нулю. Для того чтобы полносп ю нанти закон движения материальной точки, достаточно найти шесп, функционально независимых первых интегралов. Действительно, пусть Ф|(г, х, у, г, х, у, х) = С~,' Фб(г х у х, х, у, й) = Сб — шесть независимых первых интегралов системы (! 3.3). Так как по условию Фо ..., Фь — функционально независимы, то, определяя х, у, х, х, у, х как 276 функции г и шести констант Сп ..., Сь, получаем общее решение системы (13.3) в виде х = х(0 Сп ..., Сь); У = У(0 С,, ..., Сь); х = х(0 Сп ..., Сь); х = х(0 Со ..., Сь); у = у(0 С„..., С,); х = х(б Сп ..., С,) .
Отметим, что знание одного первого интеграла системы позволяет пони- зить ее порядок на единицу. Возможность получить аналитическое решение задачи для произвольных начальных условий существует не всегда и зависит от того, насколько сложна система дифференциальных уравнений. Даже при одномерном движении точки в соответствии с уравнением тх=Г„ в случае, когда Г„ = Г„(г,х, х) является произвольной функцией всех своих переменных, аналитическое решение выполнить не удается. В таких ситуациях приходится обращаться к приближенным и численным методам интегрирования.
Пример 13.2. Материальная точка М имеющая массу и = 4,9 кг, брошена с поверхности Земли с начальной скоростью, направленной вертикально и равной те =98,0 мlс. сила сопротивления воздуха й=-рт Р (Я=ма~), где р= = О 02 Н.с lм'. Определить, на какую высоту П над поверхностью Земли и за какое время б поднимется точка, а также какова будет скорость т, ее призем- пения. Решение.
Систему отсчета, связанную с Землей, при исследовании кратковременных движений можно считать достаточно близкой к инерциальной. Направим ось Ох системы отсчета вертикально, совместив ее начало с начальным положением точки (рис. 13.!). Сила тяжести Р =тя . Векторное дифференциальное уравнение движения точки Б' м — =мя+й пг в проекции на ось Ох имеет вил мх = -тя-рх з — при подъеме ( т, = х > 0 ) и тх = — тя+ рх~ — припадении(т, <О, (ы,)= — т,). Рис.
13.1 277 Полученные дифференциальные уравнения явлаются нелинейными, поэтому решать их будем методом понижениа порядка и разделения переменных. Риделим в уравнениях все члены на коэффициент р и введем обозначения: Л=м/)г =245,0 м — характерная постоянная расстояния; и =яЛ=мя/р= = 2401 ма/с — квадрат предельной скорости падения точки ( и = 49 м/с ) под действием силы тяжести в среде с сопротивлением, пропорциональным квадрату скорости (при такой скорости силы уравновешиваются Я = тя) . Дифференциальное уравнение движения точки на этапе подъема примет вид с(чд 2 2 2 Л вЂ” '=-дЛ-ч, = — (и +ч, ) .
й Разделив переменные, представим уравнение в виде Ы(ч,/и) 1+(ч,/и)' где т = Л/и = 5,0 с — характерная постоянная времени. Интегрируя, находим агс!8(ч,ди) = С, -гд. В соответствии с начальными условиями движения (при г = 0 ч, = ча) постоянная интегрирования С, =ага!8(чс!и) . Врема подъема г, точки до крайнего верхнего положения, в котором ч, = О, 0 = т С, = т ага!8(чч/и) = 5 ага!82 = 5,54 с. Для определения высоты подъема выполним замену независимой переменной г(ч,/й =(г(ч,/сПЯ(г/г(з) = (г(з/г(г)(г(ч,/с3х) =ч,1,сЬ,/й) и представим дифференциальное уравнение движения в виде и2 чч 2 Общее решение этого уравнения будет (Л/2)1п(из+чз) = С вЂ” г.
В соответствии с начальным условием ч, = ча прн з = 0 постоянная интегри- рования С =(Л/2)1п(и +ч'). В высшейточке подъема ч, =О, и высота Н =(Л/2)1п(1+те/и~) =1225!п5 ч197 м. Для определения скорости приземления в дифференциальном уравнении, описывающем движение точки на этапе падения, произведем замену независи- мой переменной и разделим переменные: Л вЂ” = -с(з.
ч,йч, 2 з и -ч, В общем решении 1п(и -чз) = С, + 2з/Л 278 в соответствии с начальными для этапа падения условиями (т, 0 при х = Н ) постоянная интегрирования С, =!п(и )-2Н/Х. Таким образом, зависимость проекции скорости точки ст координаты имеет вид ,((- *([ — 2(Н-ФХ! . откуда скорость приземления точки (0([~- ~7- М-ТЮ((( - (Г- Й-(.(! Оь9( -(38 (. Пример 13.3. Материальная точка массой т, находящаяся на некоторой высоте нвд поверхностью Земли, движется в условиях ветра, дующего равномерно со скоростью и. Сила сопротивления, 0 действующая на точку со стороны х воздуха, Я =-Им„, где 0 =соим>0, й, — скорость точки относительно воздуха Точка начинает движение с начальной абсолютной скоростью Рс, Р направленной горизонтально под прямым углом к скорости ветра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
