Termeh (523129), страница 34
Текст из файла (страница 34)
при идеальной связи, в уравнениях движения (13.4), которые примут следующий вид: тХ = Р,, и т~/р = Р„+ Ф„, 0 = Р'„+ Ф проекции реакции связи У будут присутствовать только во втором и третьем уравнениях. Опять имеет место смешанная задача динамики точки, причем задачи разделяются — сначала из первого уравнения по заданным активным силам и начальным условиям определяют движение точки, а затем из второго и третьего уравнений находят реакцию связи. В случае неидеальной связи появится третья составляющая реакции, проекция которой будет зависеть от физических условий взаимодействия точки со связью и войдет в первое уравнение. Задачи динамики могут не разделиться, так как уравнения окажутся связанными.
Пример 13.5. Материальная точка лз начинает движение из положения, близкого к крайней верхней точке А сферического купола, радиус которого г, Р = шя (рис. 13.4). Пренебрегая трением, определить, на какой высоте от плоскости основания нарушится контакт точки с поверхностью купола Рис. 13.4 Решение. В проекциях на естественные оси уравнения движения точки имеют вид ~'~с ш — '= шхзше; ш — = шясояв — Ф. й « 285 Выполнив замену независимой переменной ~Ь,/бг =г, бв,/(падр), приведем пер- вое уравнение к виду ~ ИУ = йгЯл5ЯЙР и после интегрирования при начальных условиях г = 0 при <р = вр получим в~ = 28г(сов<рв -сов<р), гле севере =1.
Данное выражение определяет зависимость скорости точки от угловой координаты только на участке ее движения в контакте с поверхностью купола. Из второго уравнениа находим Ф = тбсовгр-та~/г = тл(3соввр-2) . Пример 13.6. Разгонный участок лыжного трамплина выполнен в виде дуги окружности радиусом г = 50 м. Лыжник, масса которого т = 80 кг, начинает разгон без начальной скорости нз точки старта А, расположенной на высоте й = г/2 над точкой отрыва В (рис. 13.5). вр На лыжника действует сила сопротивле- А ния воздуха я =-рр г (й=рг ), где )г = 0 16 Н. сз/м' — аэрации ~ический Я коэффициент, сила трения о снег, коэффи— М Ь циент трения скольжения / =0,1 и сила тюкести Р = тб . Рассматривая лыжника т как материальную точку, найти его ско- Р рость в конце участка разгона.
Решение. Определим положение лыжника на участке разгона естественной о координатой в = АМ = нр (см. рис. 13.5) . Рис. 13,5 Векторное дифференциальное уравнение движения р И т — = Р+)т'чр +)Г бг 1в спроецируем соответственно на касательную и нормаль естественного трех- гранника: Иг, з.
т — 'ттбв!па-Р -)вг; г(г 1Р „з т — = — тк сова+ У, г (13.10) 286 Контакт нарушится в положении, где Ф = О, т. е. при соввр' = 2/3. Высота точки над основанием в этом положении й = гсоввр' = 2г/3. где а = л/3- ср, Найдем из второго уравнения )гс и подставим выражение В = /Ф = /'(лгйсоза+ тч'/г) в первое уравнение (13.10). Получим нелинейное дифференциальное уравнение и — ' = -(р+ /сл/г)», + ад(з(па-/сова) . с(ч, г (13.11) с!с Выполним замену независимой переменной с!ч,/с(с = ч,сйс,/(гс(ср), введем новую переменную .
= г,' = чг и представим уравнение (13.1!) в виде — + 2(сг = к (э!п(л/3-чг) -/соз(гг/З-ср)), г йр где !с =(г)с/т)+/'=0,2 — приведенный коэффициент трения; и = 2лг = = 980 мг/с В частном решении г' = Аз)п(л/3-ср)+ Всоз(л/3-Чг) этого линейного уравнения константы А и В, определенные методом неопределенных коэффициентов, равны 2!с+/' г 1 — 24/ г 1+4)сг 1+4,(г Постоянная интегрирования С общего решения г = Секр(-2йр)+ Аз!п(л/3-чг)+ Всоз(л/3-ср) в соответствии с начальным условием ( г = 0 при са = 0) равна С = -А з)п(л/3) — В соя(л/3) = -0,787 и, Тогда в конечной точке В участка разгона при ср = л/3 скорость лыжника будет ГВ с ф-2~ сс) = = 0,5567и = 17,4 м/с . Движение лыжника без учета сопротивления воздуха описывается более простым дифференциальным уравнением, которое можно получить из (13.11), положиввнем а=О и /'=О.
Решение г = из [соз(л/3 - ср) — соз(л/3)] этого уравнения при тех же начальных условиях позволяет найти другое значение скорости в конце участка разгона; .ЛЯ- счЯ-Сгсс-гг~~ь, которое показывает, что сопротивление воздуха заметно снижает скорость лыжника. 287 13.5. Динамика относительного движения Неинерциальной является система отсчета, которая с ускорением движется относительно другой, инерциальной системы отсчета.
Движение точки рассматривается одновременно по отношению к двум системам отсчета, т. е. является сложным (рис. 13.6). При этом предполагается: 1) движение неинерциальной системы отсчета О'ХУУ относительно инерциальной Олуха, или переносное для точки движение, задано и от движения материальной точки не зависит; 2) приложенные к точке силы в соответствии с уравнением динамики (13.! ) определяют абсолютное ускорение точки — ускорение относительно инерциальной системы отсчета; 3) предметом изучения является движение точки относи- тельно неинерциальной системы О'ХУУ, т. е. относительное движение.
Рис. 13.6 288 Представим абсолютное ускорение точки в виде трех составляющих а=а,. +а,, +а„, где а,,а,,а„ вЂ” соответственно переносное, относительное и кориолисово ускорения, и подставим в уравнение (13.1). Разрешая полученное выражение относительно а,, находим та„= Г + ( — та,, ) + ( — та„) . Произведения, содержащиеся в скобках, имеют единицу измерения силы, хотя силами в истинном смысле этого термина, т.
е. характеристиками взаимодействия с другими материальными телами, они не являются, а выступают в качестве некоторых поправок на неинерциальность системы отсчета. Их называют соответственно переносной силой инерции Ф„= — та„и кориолисовой силой инерции Ф„= — та„.
Поскольку переносное движение предполагается заданным, то силы инерции являются известными функциями времени, относительных координат и скорости точки. Формулы для ускорений в общем случае переносного движения известны нз кинематики: а„, =ао, -ь ах р+егх-(сох р); ак =2ег хе„. Таким образом, векторное уравнение движения точки в неинерциальной системе отсчета, или основной закон динамики относительного движения, имеет следующий вид: (13.12) та„=г + Ф„+Фа Если учесть кинематические соотношения а„= Йт„/сй = = сТ'р/сй', уравнение (13.12) можно представить в форме дифференциального уравнения относительного движения точки, причем, если точка является несвободной, то к активным силам добавится реакция связи т,~ гР/ Ргг Р + )1 + ф + ф (13.13) Записывая векторное уравнение (13.13) в проекциях на те или иные оси неинерциальной системы отсчета, получают соответствующие скалярные дифференциальные уравнения, которые отличаются от скалярных уравнений движения точки в ннерциальной 289 системе отсчета (13.3) — (13.5) лишь тем, что в их правых частях к проекциям приложенных сил добавляются проекции сил инерции.
Приведем частные случаи относительного движения точки в динамике. 1. При поступательном движении неинерциальной системы отсчета О'ХКУ в силу того, что переносные угловые скорость и ускорение отсутствуют (а„= О, в„= 0), кориолисово ускорение ак = О, и относительное движение точки определяется уравне- нием та„=Р+ Ф„, где Фе = — т ае, а, = а, . 2. При поступательном, равномерном н прямолинейном движении системы отсчега О'ХУ2,' Ф, =Ф =О, та„= Г, т.
е. зта система превращается в одну из инерциальных. Уравнения движения точки как по отношению к основной инерциальной, так и по отношению к любой другой инерциальной системам отсчета оказываются одинаковыми. Невозможность путем наблюдения за механическим движением тел отличить одну инерциапьную систему отсчета от другой составляет содержание принципа относительности Галилея. 3.
Равномерный и прямолинейный характер относительного движения материальной точки (а, = 0) имеет место при условии равновесия системы приложенных к точке сил и ее сил инерции: Р+Ф +Фк =0 4. Условием покоя точки по отношению к неинерцнальной системе отсчета является равенство Г + Ф„= О.
Пример 13.7. При аварийном покидании самолета кресло с пилотом общей массой м = 250 кг с помощью катапультирующего устройства отделяется от самолета с начальной скоростью ке = 20,0 м/с . В момент катапультирования самолет пикирует под углом а к горизонту со скоростью не = 20,0 м/с и ускорением а =(я/2)з(па (в и/с ) (рис. 13.7). Сила, действующая на кресло со стороны неподвижного (предполагаем отсутствие ветра) воздуха, /г =-Нг„ где р — аэродинамический коэффициент, р = 50 Н с/м; г, — абсолютная 290 (относительно воздуха) скорость кресла.
Полагая кресло с пилотом материаль- ной точкой, найти координаты точек пересечения траекторий кресла и самолета при пикировании с а = 0...30' . Ресиеиие. Опасной при катапультировании является ситуация встречи кресла при его падении с с ][ Х самолетом. Поэтому движение с кресла будем рассматривать в свя- с ]т ванной с самолетом системе коор- р с о динат, Эта система отсчета движется поступательно и прямолинейно, но ускоренно, и поэтому являетсл неинерциальной. Векторное уран- и пение движения кресла Йй Рис.
13.7 т — =Р+Я+Ф,, Ас где Р = тй, В = -Нт„= -р(й+й), Ф„= -та, спроецируем на оси координат: тХ =-р(Х-и)-тлв)па+та; ту=-тнсоза-гсУ, или тХ+Х = из+ос-(лв)па-а)т; ту+У =-лтсова, где т = т/р = 5,0 с — постовннзя времени. Частное решение первого уравнения Х = Ас+ Всз/2; методом неопределенных коэффициентов находим константы В = а, А = ие —,лтв(па . Частное решение второго уравнения У = -Отсева с. В общем решении уравнений Х = С, +Ссехр(-с/т)+(ие — Втв)па)с+асс/2; У=С, +С4 ехр(-с/т)-Отсева с постоянные интегрирования определяем в соответствии с начальными условиями Х(0)=У(0)=0, Х(0)=0, У(0) и~: — С, =С, =(и,-лтв)па)т, С, =-С, =(ге+лтсова)т. Тогда уравнения движения примут вид Х = (из -лтв(па)т[с/т-1+сир(-с/т)]+ ос~/2; У=(г,+лтсова)т[1-ехр(-с/т)]-лтсова с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
