Termeh (523129), страница 33
Текст из файла (страница 33)
у Рещение. Совместим начало системы отсчета с исходным положением точки, а связанные с Землей оси направим как показано на рис. 13.2. Векгорное уравнение движения точки ([ р х т — = Р+ й = тя — И(Р— й) а[г Рис. 13.2 в проекциях на координатные оси имеет вид тх+ )гх = ри; ту+ ру = 0; тй+ рх = тд . Разделив эти уравнения на И и обозначив т = т/р, где т — постоянная времени, получим тх+ х = и; ту+ у = 0; тх'+ х = йт . Как видно, движение точки описывается системой несвазанных линейных дифференциальных уравнениЯ, общее решение которой х = иг + С, + Сз ехр(-г/т); у = С, +Схехр(-г/т); х = дтг + С, + Се ехр(- г/т).
Определив с помощью начальных условий: х(0) = у(0) = г(0) = О, х(0) = О, у(0) = те, х(0)= 0 „ 279 произвольные постоянные интегрирования, приведем кинематические уравнения движения точки к виду х = лг — вт[) — ехр(-г/т)1; у = тет[! — ехр(- г/т)1; з = ятг — ят'[1 — ехр(- г/ г)1. Проекции скорости точки изменяются по закону т„= и[! — ехр(-г/т)1; т = г ехр(-г/т); г, = вф! — ехр(- г/т)1. Из этих уравнений следует, что при г -ьеэ г„ -+ л, г -+ О, т, -ь ят, т.е. со временем точка будет двигаться практически в вертикальной плоскости с установившейся скоростью р = и[+ ят(г 13.4.
Движение несвободной материальной точки В рассмотренных выше задачах движение материальной точки определялось начальными условиями и взаимодействием ее с силовыми полями и окружающей средой. Все силы, приложенные к точке, выступали как заданные„т. е. как известные функции б г и Р . Взаимодействие с другими телами путем прямого контакта и связанные с этим взаимодействием какие-либо ограничения на движение в пространстве отсутствовали. Если на движение материальной точки в пространстве не налагаются ограничения, то она называется свободной.
Однако чаще движение материальной точки сопровождается непосредственным взаимодействием ее с другими материальными телами. Аналогично схематизации свойств материальных тел зто взаимодействие также схематизируется в виде кинематических ограничений, налагаемых на движение. В такой ситуации точку называют несвободной, а условия, стесняющие свободу ее движения, — связями. Связь, выраженная уравнением /'(х, у, д) = О, (13.6) является геометрической и означает, что точка движется по некоторой неизменной (время г в уравнение связи явно не входит) по- 280 верхности и не может ее покинуть ни в какую сторону.
Геометрическая связь такого типа называется стационарной и неосвобождающей. Освобождающие связи выражаются неравенствами. В случае движения по поверхности число степеней свободы материальной точки, определяемое числом независимых координат, необходимых для однозначного задания положения, меньше, чем у свободной точки, и равняется двум. Еще меньшим будет число степеней свободы, если на точку наложены две связи. Это означает, что при движении точка должна все время оставаться на линии пересечения поверхностей обеих связей. Так как в соответствии с аксиомой о связях последние могут быть отброшены, а их действие заменено соответствующими силами, уравнение динамики несвободной материальной точки примет вид (13.7) Здесь к активным силам, равнодействующая которых Р, добавляется динамичсскаяреакция связи Я. Реакция К является пассивной силой, так как зависит от приложенных к точке активных снл, физических свойств связи и движения точки.
Последнее определяет ее отличие от реакции связи в статике, что подчеркивается ее названием. Реакцию связи Я можно всегда разложить по двум направлениям на составляющие, одну из которых У направить по нормали к поверхности связи, определяемой (13.6), а другую — в плоскости, перпендикулярной к нормали. Если второй составляющей пренебречь, то поверхность можно считать абсолютно гладкой, а связь — идеальной.
В этом случае реакцию связи представляют в виде У=Хйгас1(~), где Х=Ф/бган) — скалярный коэффициент, называемый множителем связи. Векторное уравнение движения несвободной точки с идеальной связью принимает внд а!у л! — = Р + Хйгад(~) . й В проекциях на оси декартовой системы координат получаем уравнения 18 зак. и 28! тх = Г„+ Х(ф'/дх); ту = Р; + Х(д/'/су); (1 3.8) тй = г „+ Х(д/'/дх), известные как уравнения Лагранжа первого рода. В случае движения по негладкой поверхности необходимо учитывать действие связи на материальную точку в плоскости, перпендикулярной нормали. Если оно обусловлено шероховато- стью поверхности связи, то в векторном уравнении движения до- бавляется сила сухого трения, предельное значение которой при г ~ О определяется выражением Г = — р28таЫ( /) —, ч) т где р — коэффициент трения скольжения.
Три дифференциальных уравнения (13.8) и уравнение связи (13.6) содержат четыре неизвестные функции, следовательно, решение возможно. Однако в декартовых координатах при произ- вольном выборе системы отсчета аналитическое решение задачи удается получить лишь для простейших связей первого порядка. Более эффективными в ряде случаев являются уравнения движе- ния точки в криволинейных координатах.
Особенно удобно при этом пользоваться такой системой координат, в которой поверх- ность связи, определяемая уравнением (13.6), выступает в качест- ве одной нз координатных поверхностей. Пусть, например, точка движется по внутренней гладкой по- верхности цилиндрической трубы (рис. 13.3), уравнение которой в декартовых координатах будет /(х,у,г)=г — х — у =О. В цилиндрических координатах уравнение примет вид /'(г, ср, х) = г — г = О, а сама поверхность трубы будет координатной поверхностью. Вектор-градиент ее направлен по радиусу, и, следовательно, про- екции нормальной реакции на две другие координатные оси рав- ны нулю.
Сила тяжести Р = т8. Уравнения движения точки при- нимают вид тг ф= — т8в1пу; тг'=О; тг ф~ = — т8сову+ 111. (13.9) 232 Рис. 13З С решением этой системы уравнений связана смешанная задача динамики точки: сначала на основе первого и второго уравнений по активным силам и начальным условиям определяется движение точки (вторая задача динамики точки), а затем из третьего уравнения определяется динамическая реакция Ф (первая задача динамики точки).
Пример 13ла Материальная точка массой м начинает движение по гладкой внутренней поверхности трубы радиусом г из крайнего нижнего положения с начальной скоростью т, вектор которой расположен в касательной плоскости под углом а к образующей поверхности трубы (см. рис. 1З.З). Определить, при каких условиях точка будет двигаться, не покидая стенок трубы. Решение. Неудерживмощая связь, налагаемая на точку стенкой трубы, вырюкается в цилиндрических координатах неравенством г — г и О и находится в напряжении (действует), если У > О.
Как видно из третьего уравнения системы (13.9), У является функцией координаты Е и ее производной. Выполнив в первом уравнении (13.9) замену независимой переменной ф=ф(оф/о)р), разделим переменные н найдем первый интеграл ф /2 = С+(я/г„)созга. В соответствии с начальными условиями движения (при в=о ф=фс = = те ила/г ) произвольная постоянная интегрирования С=ф /2-я! за 283 Полстановка полученного выражения в третье уравнение (13.9) лает зависи- мость Л = тг,рф« -л?8(2 — Зсозо) . Точка при движении будет оставаться на внутренней поверхности трубы. если в любом ее положении. в том числе и в крайнем верхнем. при я?=я ( созв=-1 ). т > О.
Отсюла получаем ф, =(«сйпа) /г >5я. или «л(0)> (58«, где «л(0) = «, йпа — начальное значение трансверсальной проекции скорости точки. Расчеты показывают. что. если условие «л(0)> )58г, выполнено. точка никогда не отделится от стенок трубы и движение ее будет длиться вечно. Такой рез) льтат. несогласуюшийся с опытом. объясняется несовершенством принятой расчетной схемы. а именно илеализацией свойств связи.
Если же принять во внимание шероховатость поверхности трубы, то в первом и втором уравнениях (13 9) нужно учесть проекции силы сухого трения « = -п?(? — . Р Тогда эти уравнения примут вил Г„ф л?г ф = -тяйпв — ПФ '«; м?' = -)?Ф )? +( )? (5)' + (г„ф)? а Л' булет определяться третьим уравнением системы (13.9). Нелинейные уравнения этой системы являются связанными, так как все три функции — две координаты ( =, Е ) и сила М вЂ” присутствуют в каждом из уравнений. Система уравнений может быть проинтегрирована только численно при конкретных значениях параметров, при этом обе задачи динамики точки здесь не разделяются, а решаются параллельно. Если движение точки стеснено двумя связями вида (13.6), векторное уравнение движения с неопределенными множителями принимает вид ИР т — = Г+)ь,кга() Я)+ )ь?йга()(~~).
п(г Интегрирование системы скалярных уравнений, включающей три дифференциальных уравнения и два уравнения связи, принципиально возможно, но практически весьма затруднительно. Решение таких задач целесообразно проводить на основе дифференциальных уравнений движения точки, записанных в проекциях на естественные оси. 284 В случае движения точки по абсолютно гладкой линии, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
