Termeh (523129), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Чтобы определить .У„ и /г, необходимо вычислить интеграл вида (14.12): Рис. 14.12 312 Согласно (14.! 1), .1, крй~Н' .1„=,1 = — '+ = М(0,15й~+ 0,1Н ). 2 30 Пример 14.1. Определить моменты инерции конуса относительно осей Су' н А У !см. рис. 14.11). Решение Согласно теореме Гюйгенса-Штейнера, Зг = Ул — М(ОС), гле ОС = Н/4, тогда МН ./, = М(0!5Я~+О!Н )- — =015М(йк+025Н ). 16 диалогично ,/ю —,1,У+ М(АС)г, глс АС = 31'4 Н . Откуда Улг = 0 6М(Нг + 0 25й~) Пример 14.2. Опрслелить момент инерции треугольника относительно оси Ох !рис, !4.!3). Решение Момент инерции .1„= (у'йи, гм ! г1 =011,Ф; р =МИ: а = — (6 — у) 1р,, Н вЂ” плотносгь и Ь илонигль треугольника соогвегстаенш>),!!осле полстапоаки имеем Ма Ма г г ь = — — (Л вЂ” у)йу; .1, = — )у (» — у)е!у Ь' 1г ' Ь' )ге Откупа накопим М)г .1 = —.
6 Рнс. 14.13 М ай' ай Я=в Я 12 2 20 Зек. 1а 313 Пример 14.3. Определить моменты инерции прямоугольного параллелепипсла относительно к<юрггинатных осей (рис. 14.14). Решение Момент инерции относительно оси Ох .Iг = /(Х +У )ГЬЛ, (М) где йл = рсдхтГу, р= М/(аЬс) . После подстановки получим о .I.= — )ГГу)(х +у )й= — (а +Ь ). Аналогично находим .Г, = — (Ь + с ); Г = — (а +с ). Рнс. 14.14 Рнс. 14.18 Решение. Воспользуемся формулой (!4.!0), а которой Г;(х)= Я-~~г~ — =-. у;(=) = Я+ з!г — = . Вычислим интегралы в числителе и знаменателе, исполь- Г з зуя подстановку х = го соз<р: 'о о /, = )8Я(йз+го — хз)Дт- зсгх =8йг,, ')(йз+гозз!пзГр)з!пзисГГр о о = кйго (4 йз + 3 го ) ' и о Гз = 4Я )зГгд — х Ж = 4Я3го з!и Гргрор = 2пйго . Гз з Гз ° 2 2 -и о Окончательно имеем 3!4 Пример 14.4.
Определить момент инерции тора относительно оси симметрии Ос !рис. !4.!5). М кйо 4Я +Згоз 1 з 3 з'1 =М Я + — го). 2 2<<иго <, 4 ) Лример И.5. Дла эллипса — „+ —,=1 определить моменты инерции х у а Ь (рис. 14.16). Рис. 14.16 Решение .),= (у'«ш, <м> где <зм = 2р<хЫу; р, = М/(каЬ); х = а<11 — уз1Ь После подстановки получаем МЬ ,/ = 4р а )у (1- — «у = 4р аЬ < з)п <рсоа дияр =— < з у з г Ьз 4 о о <при вычислении интеграла использована подстановка у = Ьсоа<р). Аналогично находим М о<4 и так как .I< =.I„о.)», то у М ( 3 +Ьз) 4 14.6.
Момент инерции относительно оси, проходящей через заданную точку Пусть ось 01 проходит через данную точку О. Выберем прямоугольную декартову систему координат с началом в точке О, с осями которой ось 01 образует углы а, р, у (рис. 14.17). Момент инерции механической системы относительно оси 01: и у 1~ уг Из прямоугольного треугольника ОМ А» имеем Ь = г„вгпб. Рис. 14.17 Запишем векторное про изведение А сов а сов ~3 соз у х„у„ = г(х„соз13 — у„сову)+ Ях„сову — х„сова)+ + Х(у„сов а — х„соз 13).
Представим ~~„х гг~ в виде )7, хгг( =(1 г згпб)' =3чг„'= и г зг =(х„совр — уг сову) +(х сову — х„сова) + +(у„сова — х сов~3) и преобразуем полученное выражение: Ь„=(хг +у~)сов у+(х„+з„)сов ~3+Ы + х,)сов а— — 2х„у, совисоз13 — 2х„х„созасову — 2у,х, сов13сову. 316 Для .У, получаем .У! =сов а,'~ т (у„+ г„)+сов 13~ т„(х, +г„)+ ь=! я-! и ! и +сов~ у~т (х~ + у2) — 2совасов13,) т„х„у„— /с! я=! — 2совасову~~ т„х„г„— 2сов5совуЯл!„у,а„, или .У„ Уя "Уа .У вЂ .У =У 'Уж —.У.
—.У У= .У, (14.14) где .У =.У„; .У = У; .У„=,У, . Матрица (14.14), составленная из осевых и центробежных моментов инерции относительно прямоугольных декартовых осей координат, называется нвензором инерции. Эта матрица— симметричная и с действительными элементами. 3!7 .У, =.У„сов' а+,У сов 13+У„сов у— (14,! 3) — 2У„совасовД вЂ” 2У совасову — 2У .
сов13сову. В этой формуле и и и .У„=,~ т„(у„+г„),,Ух = ~ и (х +х„), .У. =,) и (х~ + у') в.! ь=! ь.! — моменты инерции системы относительно осей координат, а и и и .У„= ~) т~х у„,,У . =~) т х г„,,У . =~ т у„х„ я=! ь=! ь.! — центробежные моменты инерции относительно тех же осей. Как следует из (14.13), для определения момента инерции относительно произвольной оси необходимо знать углы ориентации этой оси а, р, у и моменты инерции относительно осей координат с началом в рассматриваемой точке О: .У„, .У„,,У...У„, .У„, У .. Эги моменты инерции записывают в виде матрицы 14.7. Эллипсоид инерции. Главные оси инерции Эллипсоид инерции — поверхность второго порядка, построенная в любой точке тела — характеризует спектр моментов инерции тела относительно осей, проходящих через эту точку. Для построения этой поверхности на каждой оси 01, проходящей через точку О, откладывают от этой точки отрезок ОК= 1/,Р, Геометрическое место концов отрезков ОК (точек К) и является эллипсоидом инерции.
Получим уравнение эллипсоида инерции в системе координат Охуг (рис. 14.18). Подставив выражения сова = хуОК = Д х, соз13=уу'ОК =Ду, сову =г/ОК=Дг в формулу (14.13), получим .У„х + .У,у +,У.г — 2,У„ ху — 2.У .хг — 2У,уг = 1. (14.15) Рис. 14.18 Выражение (14.15) — это уравнение центральной поверхности, не имеющей бесконечно удаленных точек, так как для всех осей отрезок ОК имеет конечную длину. Такая поверхность и есть эллипсоид инерции. Для бесконечно тонкого тела в виде 318 прямолинейного отрезка эллипсоид инерции вырождается в цилиндр, если точка 0 принадлежит отрезку или прямой, содержащей этот отрезок.
Для каждой точки тела существует свой эллипсоид инерции. Если оси координат направить по взаимно перпендикулярным главным осям эллипсоида инерции (ОХ, О)", 02 на рис. 14.18), то его уравнение будет иметь следующий вид: ,У Х +,У„У'+.У~к (14.16) Главные оси (оси симметрии) эллипсоида инерции, построенного в точке твердого тела, называются главными осями инерции для данной точки тела.
Следовательно, в каждой точке тела имеются три главные оси инерции, которые являются главными осями эллипсоида инерции, построенного в данной точке. Эллипсоид инерции, построенный для центра масс тела, называется центральным эллинсоидом инерции, а его главные оси — главными центральными осями инерции тела. Моменты инерции тела относительно главных осей инерции в точке называются главными моментами инерции для этой точки тела.
В формуле (14.16) это .У, .У„, .У . Моменты инерции относительно главных центральных осей инерции называют главными центральными моментами инерции тела и обозначают .У,х, Угг ..У, Сравнив уравнение (14.16) с уравнением эллипсоида инерции, записанным в канонической форме: х~ у' у~ — + — ь — =1, 2 62 2 (14.17) получим 1 1 1 К',1Т'' К' т. е.
большей оси эллипсоида инерции соответствует меньший главный момент инерции тела для данной точки. Эллипсоид инерции называется трехосным, если все главные моменты инерции для точки тела различны, и эллинсоидом вращения, если два главных момента инерции для точки тела равны.
Все прямые, расположенные в плоскости, перпендику- 3!9 лярной оси вращения, являются главными осями инерции тела в точке. Эллипсоид инерции становится сферой, если все главные моменты инерции тела в точке равны. Все оси инерции, проходящие через центр сферы, являются главными. Уравнения эллипсоида инерции (14.16), (14.17) не содержат центробежных моментов инерции, т. е. центробежные моменты инерции относительно главных осей инерции равны нулю: Ухг = У.ст = Угг = ().
(14.18) Справедливо и обратное утверждение: чтобы оси прямоугольной системы координат были главными осями инерции, необходимо и достаточно выполнить условия (14.18). Запишем формулу (14.13), когда оси ОХ, ОТ, ОУ являются главными осями инерции в точке О. В этом случае все центробежные моменты инерции равны нулю и .У, = .Уг соз' а + У„ соз' Д+ .Уз соз' 7 .
(14.19) С помощью этой формулы при известных главных моментах инерции в точке О определяют момент инерции относительно оси 01. Моменты инерции относительно произвольной оси 01 (рис. 14.19), согласно выражению (14.19) н теореме Гюйгенса— Штейнера, вычисляют по формуле .У, =,Уг + Мс(' =.У, соз' и+,У, „соз' 13+.У,т соз' 7+ МсУ', Рис. 14Л9 320 где .У,»,.Уст,.У,г, М, сУ вЂ” главные центральные моменты инерции тела, его масса и расстояние между осью О! и параллельной ей осью С!', проходящей через центр масс тела.
14.8. Свойства главных осев инерции тела Теорема 14.1. Если одна из осей координат, проведенных в точке, является главной осью инерции тела для этой точки, то два центробежных момента инерции, которые содержат индекс главной оси инерции, равны нулю (рис. 14.20). О Рис. ! 4.20 Доказательства. Пусть ось ОУ является главной осью инерции для точки О, т.
е. одной из осей симметрии эллипсоида инерции, построенного для этой точки тела. Проведем в точке 0 две взаимно перпендикулярные и перпендикулярные оси ОУ оси Ох и Оу. Уравнение эллипсоида инерции в этих осях имеет вид .У„х + У»у +.У»У вЂ” 2.1, ху — 2.У,»хЯ вЂ” 2.У гу2 = 1. Так как 02' — ось симметрии эллипсоида инерции, то найдутся в плоскости Охс точки М(х, О, » ) и М, ( — х, О, с), лежащие на поверхности эллипсоида. Координаты этих точек удовлетворяют равенствам ,У„х +,У»У' — 2.Ус»а =1; .У„х' +.У~У~ + 2.У„~х2 ж (.
Вычитая из второго уравнения первое, получаем 4,У»гх2' = О. Так как х и с не равны нулю, то У»г ж О. Аналогично рассуждая для двух точек, расположенных в плоскости (»2»с„можно показать, что и .Ууг — — О. Замечание 1. Уравнение эллипсоида инерции в осях Ох, Оу, 02 принимает вид .У,хз+У у +.Ух2» -2.1 ху = 1. (14.20) Замечание 3. Среди осей, перпендикулярных между собой и оси ОД находятся главные оси инерции ОХ и О У для точки О. Определим положение этих осей из условия,У»„= О. Координаты Х», У» и х», у» материальной точки М» массой м»(см, рис.!4.20) связаны мел»ду собой слелуюшим образом: Х» =х»сова+у»в!па, У» =-х»ила+у»сова, Координата 2» при повороте осей Ох, Оу не юменяется.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
