Termeh (523129), страница 41
Текст из файла (страница 41)
В проекциях на оси координат имеем Ю н и 0.с-00, =,'«,~»,'* Оу-0»у =,'«,~»у * Ру-Ом —.«,~и »=! »=! »=! Законы сохранения количества движения механической системы Законы сохранения количества движения следуют из теоремы об изменении количества движения механической системы, как частные случаи описания ее движения. Напомним, что внутренние силы не влияют на изменение количества движения механической системы. Математически законы сохранения определяют первые интегралы системы дифференциальных уравнений, описывающих движение материальной точки и механической системы. Первыми интегралами для дифференциальных уравнений движения механической системы называют соотношения вида Ф, (з, х„, у», г, х, у, г, С, ) = О или »р, (з, х, у,, г, х„, у„, г„) = С, которые справедливы при любых начальных условиях.
Первые интегралы связывают время, координаты и проекции скоростей точек и произвольные постоянные С,. При решении задач о движении системы часто требуется определить лишь некоторые 348 характеристики ее движения, поэтому можно найти лишь некоюрые первые интегралы. Возможны следующие частные случаи. 1. Пусть главный вектор всех внешних сил, приложенных к н точкам системы, равен нулю: )го) =,) Г~"~ = О. Тогда из уравя=! нения (15.29) следует, что Я=С. (15.33) Этот результат (закон сохранения Д ) формулируется так: если главный вектор внешних сил, приложенных к тачкам механической системы, равен нулю, то вектор количества движения системы постоянен при движении системы.
В проекциях на оси прямоугольной декартовой системы координат получаем О, =С,'„Д„=Сз; Д, =Сз. (15.34) В (15.34) входят производные от координат точек не выше первого порядка (проекции скоростей точек), т. е. зти выражения являются первыми интегралами системы дифференциальных уравнений (! 5.30). 2. Пусть проекция главного вектора внешних сил на какую- либо ось координат равна нулю: Я," =~~Р; =О. Тогда из пере=! ного уравнения (15.30) следует, что Д„= сопзг. Формулируется это так: если проекция главного вектора внешних сил, действующих на точки механической системы, на какую-либо ось равна нулю, то проекция вектора количества движения системы на ту же ось постоянна при движении системы. Пример !5.3.
Плита ! имеет массу яь и может перемешаться по гладкой горизонтальной плоскости (рис. 15.8). Материальная точка 2, масса которой л!з, начинает движение в гладкой трубке 5 рздиусом й из положения А согласно закону з = Вр, где !а = Ьс, Ь = сопя! > О . Определить закон движения плиты ! и ее ускорение, а также силу, с которой она давит на плоскость, если в начальный момент плита покоилась.
349 1 1Ф Рис. 15.8 Решение Согласно теореме об изменении количества движения системы в проекции на ось Ох, = ХРм 4Ъ " и) й Количество движения системы 0 = я + йз = я ™зрз где т,, Р, — абсолютные скорости плиты, совершающей поступательное дви- жение, и материальной точки соответственно.
Точка 2 совершает сложное движение: относительное по окружности радиусом Л со скоростью Р, и переносное вместе с плитой со скоростью т„= т, . Таким образом, т, = т, + т, . Окончательно имеем Д = мЯ+шз(т, +т~) =(т~+тзЯ+тзт„ При этом 0~ =(~%+мз)тм+мзтл =(и~+Фз)х-63зЯфя!Пф, где т,„= х, т,„= -)йрз(п<р. Внешние силы системы — силы тяжести Р, =ш,я, Р =лгЯ и реакция плоскости Ф вЂ” перпендикулярны оси Ох, поэтому 350 и ч~"я!'1=0; ~~* =о, или Ы вЂ” ((т!+тг)х-иггйфз!пег) =О. г!! Проинтегрировав это уравнение, получим (т! + тг)х — тгЯфз!п!р = С! .
Изначальныхусловийзадачипри г=О х=О, ф 0 (в=О), х=О, ф=Ь>0, определяем С, = О, т. е. (т, +т )х-т Яфз!о!я=О, нли (т, +тг)ах-и!: Яз!пяийр = О. После второго интегрирования находим (т, + тг)х+ тгЯ сов <р = Сг . Из начальных условий определяем Сг = тгЯ, а следовательно, х = — л — (! — сов!р) (! — созЬ!) . тЯ тгЯ а!+ аг т!+ тг Ускорение плиты найдем нз уравнения — * = 0: ЫД, гг! (т, + тг)х- тгЯ(грв!п!р+ фг соз!р) О, тгЯЬ созЬ! где х = '; <р = 0; ф = Ь.
т!+тг Реакцию опоры Ы определим из теоремы об изменении количества движения в проекции на ось Оу: д и — '=ХФ' й и где Д = -тгЯфсозгр; " ф! = Ь! -(а! + а )я . г=! После подстановки имеем - тгЯ(ф сов !р - ф 3!и гр) = !У - (т! + иг~ )Я, 2 откуда Ь! (т, +тг)а+в ЯЬ вюЬ!. Сила, с которой плита давит на плоскость, по модулю равна реакции Ф, но противоположна ей по направлению.
351 Теорема об изменении количества движении механической системы в подвижной системе координат где — — первая производная по времени от вектора количестй'Е ва движения д в подвижной системе ОХУ2; а — мгновенная угловая скорость подвижной системы координат. Рис. 1$.9 Уравнение — + ее х Д = ~1 Р оо й~Е Е-! выражает теорему об изменении количества движения механической системы в подвижной системе координат. (15.35) 352 В уравнении (15.29) производная вычислена относительно неподвижной (инерциальной) системы координат. Согласно формуле Бура, можно записать (рис.
15.9) Еф ЙД вЂ” = — + ее х Д, еЕЕ еЕЕ 15.5. Теорема об изменении момента количества движении материальной точка. Теорема об изменении главного момента количеств движении механической системы Момент количества движения материальной точки Для характеристики движения материальной точки используют еше одну векторную меру движения — момент количества движения, или кинетический момент относительно центра (точки).
Моментом количества движения материальной точки массой т относительно центра О называют векторную величину, равную векторному произведению радиус-вектора материальной точки, проведенного из этого центра, на количество движения точки: Йа - — Ма (а) = Р х а = г х тб . (15.36) Вектор момента количества движения материальной точки строят в точке О по правилу векторного произведения (рис. 15.10). Рве. 15ЛЕ Проекции вектора момента количества движения материальной точки относительно центра О на оси координат равны мо- 353 ментам количества движения относительно соответствующих осей координат, т. е. (>с»), = 1с„, (>со) = >су> (1со), =>с>.
Так как К х у х, 7~о =Моф) = у хтй= т >> >>у У то моменты количества движения материальнои точки относи- тельно осей координат имеют вид А„= М, (тр) = т(у», — ху ) = т(ух — ху); >с = М (т>>) = т(ху„— хку ) = т(хх — хх); Ус> = М. (тй) = т(х» — уу„) = т(ху — ух). (15.37) Единица измерения момента количества движения в СИ— килограмм-метр в квадрате на секунду (кг.
м >с ) . г> Главный момент количеств движения механической системы 1кг м~/с =1 Н м с. 354 Главным моментом количеств движения, или кинетическим моментом механической системы, относительно центра О называют геометрическую сумму векторов моментов количеств движения материальных точек системы относительно того же центра О: и и и К,> —— ,) lсог =,у М»(>7,)=„1 уг хт>Р,, (15,38) >-! /с > ьм Вектор главного момента количеств движения Ко механической системы относительно центра О строят в точке О (рис.
15.11). Проекции главного момента количеств движения Ко системы на оси координат равны главным моментам количеств движения системы относительно соответствующих осей координат: (К>>)> К>» (К>>)у Ку~ (К>>)> К>' Рнс. 15.11 (15.39) Замечании Главный момент количеств движения материальных точек можно вычислить и относительно произвольной точки А: Ф К„=~р»! ! хя»»р (15.40) »=! Найдем связь главных моментов количеств движения данной механической системы относительно двух различных центров О и А. Согласно рис.
15.11, г» =г,+ря! !. (15.41) Из (15.38) и (15.41) имеем 355 С учетом (15.38) запишем главные моменты количеств движения механической системы относительно осей координат: л л Кя = ,')„Мя(л!ятя) = ~л!я(уяхя - ляу!»)» я=! l» ! и и К = ЯМ (тЯ) = Ят„(х„х„— х„г ); я=! я=! и л К, = ~~ М,(т„Ц) =г т„(х„у — у х ). !» ! я ! Л' л — (.» ) 'с — ч -(») Ко - — » (г» + р»' ) ха»т» --г( х» м»т» +» р» хм»т» = г» хД + Кх »=! »! »! и где ,"! ш Р = Мхе = Д вЂ” количество движения механической системы. »=! Окончательно получаем Ко =г» хй+Кх =Мо(й)+К» (15А2) Точки О и А произвольно выбраны, т» — абсолютная скорость точки в инерциальной системе отсчета (см. рис.
15.! 1). Спроецировав (15А2) на оси Оз и параллельную ей АЕ, получаем Ко. =(гх х»м»)о +К»я = Мо.(»ы»)+К»». и — 'с" -(в) — -(в) Кв = » р» хм»т», р» »=! Выполнив преобразования: и и Кв — — ~(р»(~~+ ВА)хт б = ) р(") = р("'+ ВА. и х л)»Р» + ВА х ~ м»б», » ! получаем «, =К»»-ВАха=К„+Мв(О) и и 'с'! — (») — ч где К» = х» р» хм»т» ( Д =х» м»т» »=! »=! Главна»й момент количеств движения относительно оси вращения яри вращательном движении твердого и»ела Пусть твердое тело вращается вокруг неподвижной оси Ж с угловой скоростью оз (рис. 15.12). Определим главный момент количеств движения этого тела относительно оси Ол. Согласно определению, и К, =2 М (т»в ). (15.43) » ! Проекция скорости точки А тела на касательную к траектории ее движения )'» =о)А! а момент количества движения относительно оси Ог 356 Пусть теперь обе точки А и  — произвольные (подвижные) (см.
рис. 15.11). Запишем М (т»Р») = т к Ь» = с»ст»Ь», где с»с ~ 0 (с»„=ас =0). Подставив М,(т»Р ) в выражение (15.43), получим К =ос~ т»Ь„' =с» .Ус, »-1 я где У =,~ т»Ь» — момент инерции тела относительно оси И вращения Ог. Окончательно имеем (15.44) Знак К. — главного момента количеств движения твердого тела относительно оси вращения — определяется знаком проекции угловой скорости в.. Рас. 15.12 357 Таким образом, главный момент количеств движения вращающегося тела относительно неподвижной оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно оси вращения на проекцию угловой скорости вращения тела на ось вращения. Замечание Главный момент количеств движения врашаюшегося тела относительно точки О Ко = К„> + К,~ + К.я . Здесь К„= —./„>в,; Кг = —.>',.г»,; К, =./,га>, (15.45) где,/„> Ун — центробежные моменты инерции.
формулы для вычисления К,, К приведены без вывода Они могут быль получены из обшил формул для случая движения тела с одной неподвижной точкой. Если ось врашения Оз тела является главной дла точки О, то У =,/, =О и, следовательно, К„= К =О, а Ко = К,Й. Вобшем случае Ко не направлен по оси вращения тела. Главная й момент количеств движения твердого тела при сферическом движении Твердое тело с закрепленной точкой при движении в любой момент времени имеет угловую скорость оз. Главный момент количеств движения тела относительно неподвижной точки и Кг> = ~ гя х т„Ря, я ! где Р„=ахг . Тело разбито на Ф элементов с массой т„и абсолютной скоростью Р (рис. 15.13).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
