Termeh (523129), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Проекции Ко на оси Олуг, а следовательно, и главные моменты количеств движения тела относительно осей координат, и проекции скорости точки Р на оси координат определяются формулами (15.39) н (4.7). С учетом (15.39) и (4.7) для оси Ол получаем 358 д! К. =,')',тд(удт,ь -хдт~,) = д=! я = ~тд[уд(а„у» -а хд)-гд(в,хд -а„г )] = д=! = а,~тд(уд + х„) — аД' тдх„у„— в,~ тдхдхд.
д-! д=! д-! Проекции угловой скорости здесь являются кинематическими инвариантами и вынесены за знаки сумм, а суммы есть осевой .У, и центробежные,У,,У,. моменты инерции. Аналогично можно получить зависимости для К, К,. Рнс. 15.13 Окончательно формулы для главных моментов количеств движения тела относительно осей координат с началом в неподвиясной точке примут вид Кс = 'Ушак 'Улуау 'УлРг ' У! а. +Уда» У!.ас' (15.46) К, = — У а„ -,У в, +.У,в,.
359 Уравнения (15.46) имеют одинаковый вид как для неподвижных, так н для подвижных, например, жестко связанных с телом, осей. Осевые и центробежные моменты инерции относительно неподвижных осей при движении тела являются функциями времени, так как положение тела относительно неподвижных осей изменяется. Моменты инерции относительно подвижных осей, связанных с телом, постоянны, так как со временем положение тела относительно зтих овей не изменяется. Главный момент количеств движения твердого тела относительно точки О определяется по формуле Кр =К,~+К ~'+К,/г независимо от того, какие оси координат выбраны. Использовав выражение для тензора инерции (14.14) и правило умножения тензора на вектор-столбец проекций мгновенной угловой скорости тела, получим Ко = в ~~ > Кх где КО= Ку Кг 0'х >оу Выражения (15.46) упрощаются, если для тела выбранные оси являются главными осями инерции в точке О (т.
е. ./хт = Уха =./,т = О). Тогда Кх = ~хсах1 Кг = ~гс~г1 Кг = ~г<~г (15 47) Главный момент количеств движения нри сложном движении механической системы 360 Введем подвижную систему координат СХУУ, которая движется поступательно по отношению к инерциальной системе отсчета Охух и начало которой связано с центром масс С системы. Подвижную систему СХУх называют кениговой системой координат (рис.
15.14). Для краткости движение механической системы по отношению к СХП,' будем называть движением системы относительно ее центра масс. Запишем выражение г =Рг +р„, справедливое в любой момент времени движения механической системы, и продифференцируем его по времени: (15.48) й Нг Й Тогда Р =го+У~'~. (15.49) Здесь Р, — абсолютная скорость точки Мд, а Рг — абсолютная скорость центра масс механической системы.
Докажем, что Р~"~— относительная скорость точки М„по отношению к системе координат СНУ. Рис. 15.14 Согласно формуле Бура, пря и Р» — = — + ах р„, й с1г 361 »» Р» где— Й динат. Но — локальная производная в подвижной системе коор- при поступательном движении системы СХУУ »!( Р» -!О»!! Р» — = р» »!!г с!г Главный момент количеств движения механической системы относительно неподвижного центра О для абсолютного движения системы относительно неподвижной (инерциальной) системы координат Охи равен (см.
рис. 15.11) Ко =,').Р» хжЛ. »-! (15.50) Подставляя в (15.50) выражения для г» и Р, после некоторых преобразований получаем и К!! =~Я+р»)хт (Р +Р!') = » ! »! и М =гг хРсХт»+ге х,'~ т»Р» +~и»р» хаас+ (15,51) »=! »-! »=! и + ~ р» х л»» р»!" ~. »=! 362 и Здесь ~л!»р» =Мр, =О, так как радиус-вектор центра масс »=! относительно центра масс р, = О, а следовательно, ~ л»»Р»о! = ~ ~т»р» = О, ьи ° с~~~» ! т. е. количество движения системы в ее движении относительно центра масс равно нулю.
Таким образом, уравнение (15.51) принимает вид Ко =г< хМРг+Кс!'! =МоЫ+К~! ! (15.52) я где К," .= ~ р» х т» Р»!о — главный момент количеств движений »-! механической системы относительно центра масс для относи- тельного движения системы по отношению к центру масс (по отношению к системе координат СНУ, движущейся поступательно вместе с центром масс). Таким образом„главный момент количеств движения механической системы относительно неподвижного центра О для абсолютного движения системы равен векторной сумме момента вектора количества абсолютного движения системы (приложенного в центре масс) относительно того же центра, и главного момента количеств движения системы относительно центра масс для относительного движения системы по отнои»ению к центру масс.
В проекции на ось Ог (С2) формула (15.52) принимает вид К. = М»(0)+ Ксг» где К((г) — главный момент количеств движения системы относительно оси СУ, проходящей через центр масс системы параллельно оси Ог. При плоскопараллельном движении твердого тела, если ось СУ перпендикулярна плоскости движения тела, К(г — — Аско)г, где (5) .У(г — момент инерции тела относительно оси СУ (относительным движением тела является его вращение вокруг оси СУ). Замечания» 1.
Из (15.51) следует, что главный момент количеств двнження механической системы относительно центра масс для абсолютного двнження снсгсмы: л л л ч — — ч — -(») (») (г) К; = » р» х е»г» = » е»р» х г( +» р» х е»г» = О+ Кс = К(. »=! »=! »=! 2. Главный момент количеств движения системы относительно подвижной точки А лля относительного движения системы по отношению к центру масс равен н ч б(»)лего) » =~„». »» »=! где р,'"' = р»+АС.Тогда и л ,и К() =~(р +АС)хе г(") =~ р еЯ")+АСхЧ~~ еЯ") =КС"), »=! »ы »=! и так как ~»е»г» = О.
о) 363 Теорема ой изменении момента количества движенца материальной точки Запишем уравнение движения материальной точки Нт и — =Г й и умножим его векторно слева на радиус-вектор г (рис. 15.15) сЮ гхм — =гхГ, с11 Рис. 15Л5 Преобразуем левую часть полученного уравнения: ~Ю с1 й г х т — = — (Гх тР) — — х тР. Й й й с1г Но — х тр = р х тр = 0 как векторное произведение коллинеар- аг ных векторов. Далее получаем а1г х тй) с%о = — =г хГ =Мо(Г), Й Й или 364 с~йо М (р) (15.54) й Формула (15.54) выражает теорему об изменении момента количества движения материальной точки: первая производная по времени от момента количества движения точки относительно центра О равна моменту равнодействующей силы относительно того же центра О.
В проекциях на оси прямоугольной декартовой системы координат имеем с(йх, у . ~~~г — =М (Р) — »=М (Р) — '=М (Р) (15 55) с(1 " Ы1»»1 Теорема об изменении главного момента количеств движении механической система (15.57) 365 Рассмотрим механическую систему М„(/с=1,2,...,))1), со- стоящую из У материальных точек, к каждой из которых приложе- ны равнодействующие внешних р»ьо и внутренних р»' сил. для каждой точки М» запишем теорему об изменении момента количе- ства движения относительно неподвижного центра О (рис.
15.16): а)1 — (г» х т )!» ) = г х р»!" ~ + г» х г»'!) . Просуммировав (15.56) по всем точкам и и и ~ — (г„х т р ) = ') г„х р»!') + ~ р х р»!') »=! с)1 »-!»=! и преобразовав левую часть уравнения, получим н 1 „! и „)г ~ — (Р хт»р») = — (~~! г„хтр») = — о. » )а)1 Ж „, н Здесь К!) = ~ !» х т»р» — главный момент количеств движения »=1 механической системы относительно центра О. Главный момент внутренних сил и Е(!) =Хг, хр„!!) =О, » ! а главный момент внешних сил и н Х ° Х ( ) ь=! ьм Окончательно имеем У '~~о х," М (ров) ~~.и а1 (15.58) (15.59) Рис. 15.16 366 Формула (15.59) выражает теорему об изменении главного момента количеств движения механической системы: первая производная по времени от главного момента количеств движения механической системы относительно неподвижного центра О равна главному моменту внешних сил, приложенных к точкам системы, относительно того же центра.
В проекциях на оси прямоугольной декартовой системы координат получаем соотношения, выражающие теоремы об изменении главного момента количеств движения системы относительно осей координат: )( — '=',))"„и. (г,") = с(„'; г и ) ! )( ==~ м.(г„("))=ь(,"). с(г (15.60) Теорема об изменении главного момента количеств движении механической системы относительно подвижного контра Преобразуем — — +~„Г„' =0: 'Ф вЂ” ьо ()(г р хд+ — =г х ',) à — — +',) р хР ')! х — и) сФ вЂ” (А) (е) А х ) 1 /с г нлн )( — =,'1 р хГ ' -)! хД, ~"! А — (А) (е) ) А (15.61) к где г р„х Р„' = Е; — главный момент внешних сил относи- % — (А) н) (ю) (=! тельно точки А. В проекции на какую-либо ось, например АУ (см.
рис. 15.16), получаем (15.62) Уравнение (15.62) выражает теорему об изменении главного момента количеств движения системы относительно подвижной 367 Используя полученные ранее выражения (15.40) — (15.42) и (15.59), запишем г1К! (!) — — !гА — (Ф г~~~А о = — (г„хд+Кх)= — "хд+г х — + — "= с(г ())г " " ((г " г(г М )( = ')" (), + р(" ) х Р„н) . г.! зто выражение с учетом, что оси. Подчеркнем, что уравнения (15.61) и (15.62) записаны для абсолютного движения механической системы. Теорема об изменении главного момента количеств движения механической системы для ее относшнельного движения по отношеншо к центру масс Пусть подвижная система координат СХУУ связана с цент- ром масс и движется поступательно относительно неподвижной системы Охуг (рис.
15.17). Согласно теореме об изменении глав- ного момента количеств движения системы относительно центра О для абсолютного движения механической системы, бКо — !") — = ~к хГ„"', а)г а также с учетом (15.52) и г, = ге+ р, запишем а! — —,„, Ю, — ЫД а)К,," (5) — [гг х Д + К,." 1 = — х Д + г!. х — +— й ' ' а)! ' й а)! и =,~'„('с + Рь )" рг я 1 сУ; Но — хД=Р хЛзт =0 как векторное произведение коллине!й арных векторов.
Используя теорему об изменении количества движения механической системы — = з Г„", получаем ~д л !й бК!.") й ',," й Окончательно имеем с(К!,") ч-р хрн) (15.63) бг,,Р'" ' где ~ р„х Р," = 1~" — главный момент внешних сил относин) н) тельно центра масс С. Сформулируем теорему: первая производная по времени от главного момента количеств движения системы, вычисленного 368 относительно центра масс для относительного движения механической системы по отношению к центру масс (по отношению к системе координат, двиэсу(цейся поступательно вместе с центром масс), равна главному моменту внешних сил, действующих на точки системы, относительно центра масс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
