Termeh (523129), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Теорема об изменении кинетической энергии дли механической системы. Для механической системы, на которую действуют как внешние, так и внутренние силы, уравнение (15.93) можно представить в виде 2 <( ' ' =<(А(Р<"')+ <(А(Р <о), А = 1,2,..., <У. (1595) Суммируя левые и правые части этих уравнений по всем точкам системы и вынося знак дифференциала за знак суммы, получаем и тэз и и Ы ~ '" =~ИА(Р<о)+~ И(Р<о), 2 нли 396 и и г7Т=,) а]А(Г~'])+~а]А(г»»]]). (15.96) » ! »=! Формула (15.96) выражает теорему об изменении кинетической энергии системы в дифференциальной форме: дифференциал кинепгической энергии системы равен сумме элементарных рабан! всех внешних и внутренних сил, действующих на систему.
Разделим обе части уравнения (15.96) на»й'. Тогда и и — =',) и'(г„<'])+ ~в'(р!']). а]г Таким образом, первая производная по времени от кинетической энергии сис»лемы равна сумме мощностей всех внешних и внутренних сил, действующих на точки системы. Проинтегрируем каждое уравнение (15.95) по соответствующей ему криволинейной траектории от положения М до положения М». Просуммировав полученные выражения по всем точкам системы, имеем и и Т вЂ” Т =ХА(Р]("])+ХА(Р»о]), »=! » ! (15.97) где Т, Т вЂ” кинетическая энергия системы в начальном и текущем м~ положениях соответственно; А(Г!"') = ) г»!" аг», А(г»!']) = и~ю 397 л], = ~Р»!'] .
Ю» — соответственно работа внешней и внутренней и~р силы, действующей на и-ю точку системы при ее перемещении по соответствующей криволинейной траектории из начального положения Мы в положение М„. Формула (15.97) выражает теорему об изменении кинетической энергии системы в интегральной форме: изменение кинетической энергии системы при ее перемещении из одного положения в другое равно сумме работ всех внешних и внутренних сил, действующих на систему, на соответствующих перемещениях точек причожения этих сил.
Пример 15.7. К кривошипу ОА эпипиклического механизма, расположенного в горизонтальной плоскости (рис. 15.34, а), приложен постоянный вращающий момент С Масса кривошипа т<, масса подвижной шестерни <вз . К подвижной шестерне приложен постоянный момент сопротивления М,. Считая кривошип тонким однородным стержнем, а подвижную шестерню однородным круглым писком с радиусом гз, определить угловую скорость кривошипа в зависимости от угла его поворота Радиус неподвижной шестерни г, . В начальный момент система находилась в покое. М, М, Рис. 15.34 Решение Запишем теорему об изменении кинетической энергии в интегральной форме (15.97) для рассматриваемого механизма: и и Т То =,~(~ А~< 1+Ч~' А~11 (15.98) <-< <ы< ( Те = О, так как движение начинается из состояния покоя). Кинетические энергии кривошипа и подвижной шестерни соответственно равны 3 1 2 1 2 Т<м — уо ИОА Тз — Изтл + /Язшз 2 2 2 где э'<в =(1/3)т<(»<+«з)'; .Ум =(1/2)тзгз .
При обкатьшвнии подвижной шестерни по неподвижной точка их контакта яшшетса МЦС подвижной шестерни. Следовательно, тл = <вси(г< + гг) ч шагз (15.99) Таким образом, кинетическая энергиа механизма при вращении кривошипа 398 2 2 2 2 7=704+72= ™>(Г>+>2) е>си+ — В2(Г>+Гз) с>си+ 23 2 1 1 2(Г>+Гз) 2 1!Г 5 3 2 г + — т>Г2 с>оя = — + — Щз Г>+Г2) юогг 22 гг 2~ 3 2 Сумма работ внугренних сил каждого из твердых тел (крнвошипа и подвижной шестерни) равна нулю. Также равна нулю сумма работ сил взаимодействия между кривошипом и подвижной шестерней (точки приложения этих сил имеют одинаковые скорости, а по третьему закону Ньютона силы равны по модулю и противоположны по направлению).
Следовательно, ~А>!'> =О. 2-! При движении механизма сила тяжести кривошюта и сила тяжести подвижной шестерни работы не совершают, так как метан>е>м расположен в горизонтальной плоскости и эти силы перпендикулярны перемеюению точек их приложения. Реакции У и Г от неподвижной шестерни (см. рис. 15.34, б) приложены к МПС, и работа их равна нулю. Работы реакций Хо, Уо равны нулю, так как они приложены к неподвюкной точке. Таким обркюм, нз внешних сил, приложенных к рассматриваемому механизму, работу совершают момент привода Ь и постоянный момент сопротивления М„т. е.
Ч.АО>-ЬР -М,е„ 2=1 ГДЕ 2>св — УГОЛ ПОВОРОта КРИВОШИПа ОА; >аз — УГОЛ ПОВОРОта ПОДВШКНОй ШЕС- терни. Из кинематического соотношения (15.99) находим >рсн(Г! + >2) т2Г2 . Тогда А,А>ц>= 2,-М,-' — 1- !м. 2=! > Г2 Подставив найденные соотношения в уравнение (15.98), получаем 1 2 2 — умшоя = (;р>рси» где Г' — приведенный момент инерции, у =~ — +-м з'Г +г ); 2, Зф (3 2 2~! приведенный момент внешних сил, Ь = Ь-М,— 2-. Г,+Г >2 Таким образом, >222е е>оя = ~ !роя ° 399 15.7.
Потенциальное силовое псле Силовое поле. Силовая функция Силовым нолем называется часть пространства, в котором на материальную точку действует сила, зависящая от координат точки и времени: Г = 7(х, у, х, с) . Если сила явно не зависит от времени, то силовое поле называется стационарным. Стационарное силовое поле называется потенциальным, если проекции силы Г на оси Ох, бу, Ог можно выразить через скалярную функцию У(х, у, г) по формулам Г = — Г = — 'Г =— дУ дУ дУ (15.100) дх У ду * дх т. е Г = ягас1У, — дУ. дУ-. дУ- где йпк1 У = — с + —,у + — Й . дх ду дл функция цх, у, г) называется силовой функциеи.
Из формул (15.100) следует, что силовая функция У определяется с точностью до аддитивной постоянной. Свойства стационарного потенциального поля 1. Элементарная работа силы стационарного потенциального поля равна полному дифференциалу силовой функции: йА = Р са' = Р,сЪ + Р фг+ Р,сй = дУ дУ дУ = — сй+ — ф+ — Ж =сШ. дх ду дх 2. Полная работа силы стационарного потенциального паля не зависит от траектории, по которой перемещается точка, и определяется лишь начальным и конечным положением точки: и м А= ) ЫА= ~сШ=У(х,у,х)-У(хо уо го) (15102) иа ио воо 3.
Работа силы Г стационарного потенциального поля по любому замкнутому перемещению равна нулю (см. (15.102)), так как значение силовой функции в начальной и конечной точках одинаковы (если внутри замкнутого контура нет особых точек силовой функции), т. е.
ф Гпр=О. 4. Для того чтобы стационарное силовое поле было потенциальным, необходимо и достаточно, чтобы поле было безвихревым, т. е. сила Г удовлетворяла условиям: — ' — — ' = 0; — ' — — ' = 0; — ' — — ' = 0. (15.103) дР', дР, д$; дР; дК дР, ду дг дг дх дх д0 Если использовать вектор вихря го17= — ' — — Г+ — ' — — ' 1+ — у — —" 1г, то условия (15.103) можно записать короче: го1Г =О. Необходимость условий (15 103) доказывается просто.
Действительно, пусть поле потенциально, тогда существует силовая функция У(х, у, г), и, согласно (15.100), имеем су ду дх с0 дх дх дх ду дхду Для дважды дифференцируемой функции Щх, у, г) порядок вычисления вторых смешанных производных не имеет значения, поэтому дг'„дг" Аналогично можно доказать, что дГ дГ дГ, дГ дг дх ду дг Достаточность условий (15.103) доказывается в курсе математического анализа. 401 Потенциальная энергия Для потенциального силового поля наряду с силовой функцией У используют другую функцию, характеризующую запас энергии в данной точке поля, — потенциальную энергию П в этой точке. Потенциальной энергией материальной точки в данной точке потенциального силового поля называют работу, производимую силой, действующей на точку в потенциальном силовом поле, при ее перемещении из рассматриваемой точки поля М в начальную Мо, условно принимаемую за нулевую: и» П=А = 1Л~=П(М,)-П(М).
м Поскольку У(М ) =С,то П=С вЂ” У, (15.104) т. е. потенциальная энергия в какой-либо точке поля с точностью до произвольной постоянной С равна силовой функции в той же точке, взятой со знаком минус. На основании формул (15.100), (15,101), (15.104) имеем дП дП дУ дП дУ дП Г= — = — — Р= — = — — Р= — = — — ' дх дх ' су ду ' дг дг ИА='Ш= йП А=У Уо =По П где Уо, По — произвольные постоянные, равные значениям силовой функции и потенциальной энергии в начальной точке. Поверхности уровня потенциального силового поля Поверхность П(х, у, г) = С» (15.105) на которой силовая функция У имеет постоянное значение, называется эквинотенциальной поверхностью, или поверхностью уровня.
Для конкретного поля зти поверхности образуют семейство поверхностей с параметром С; задавая С разные значения, можно получать разные поверхности уровня, которые в случае, когда функция У однозначна, не пересекаются и разделяют потенциальное поле на слои. 402 Свойства поверхностей уровня 1. Если начальная и конечная точки расположены на одной и той же поверхности уровня, то работа силы стационарного потенциального поля по перемещению материальной точки из начального положения в конечное равна нулю. Действительно, из формулы (15.102) и определения поверхности уровня (15.105) следует А=(У(х,у,г) — (У(хо уо,го)=0, так как (У(х, у, г) = (У(хв, ус, гр) Сс (начальная и конечная точки расположены на одной и той же поверхности уровня).
2. Сила Р потенциального поля направлена по нормали к поверхности уровня в сторону возрастания силовой функции (У. Этот результат вытекает из соотношения Р Ю=с((У (см. (15.101)). Рассмотрим элементарное перемещение ссг =Ж, направленное по касательной Т к поверхности уровня в некоторой ее точке М Так как на поверхности уровня (У(х, у, г) = С с((У = О, то Р аг =Р Н=с1(У=О. Таким образом, сила Р=кгад(У направлена перпендикулярно к касательной плоскости, проведенной в точке М к поверхности уровня, т. е. по нормали к.этой поверхности.
Если рассмотреть элементарное перемещение с(г =с(й, направленное в сторону действия силы, то на этом перемещении Р сУл>0. Следовательно, и ЖУ>0 (так как сг(У=Р с(г= =Р с(й), т. е. в направлении действия силы Р=ягас((У силовая функция (У возрастает. Если построить семейство поверхностей уровня (У„(х,у,г) =0 (где (У„(х,у,г) ьзсУ(х, у,г) — ХУ; Х=сопз1; У— натуральное число), то при переходе с любой из этих поверхностей на соседнюю поверхность уровня работа силы потенциального поля будет одна и та же и равна Х при переходе от поверхности (У„ к (У„„ или †при переходе от поверхности (Уь и к (Уц . Отсюда следует, что сила будет больше в тех областях поля, где расстояния между соседними поверхностями уровня меньше, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
