Termeh (523129), страница 49
Текст из файла (страница 49)
3. Сила, с которой тело А действует на плоскость, равна по модулю реакции >У. Запишем выражение для теоремы об изменении количества движения в проекции на ось Оу: =л" ~>х н> 5!! л где в рассматриваемом случае Д =т>1фсозя>, х Е,' =->Ч+тйьт>й. ч~ ьо ы> Отсюда >У =(т+ т>)й- — = (т+ т>)п - т>!(фсоз>р-ф 5)п>р)= 363т>й . с>! Замечание Уравнение (15.123) можно получить, используя теорему об изменении главного момента количеств движения системы относительно подвиж- 420 ной оси Аг, проходящей через подвижную точку А перпендикулярно плоскости рис.
15.40: (15.124) Запишем (» х д), = [» х [т» + т (ф! + О)]), = ж (» х ф ) = ш (хф соя й (векторное произведение коллинеарных векторов равно нулю), Кю = М„лш»л) = Мю(т1»л' )+Мю(и»1= т1! ф-т х!жив. ! -п)1 Сумма моментов внешних сил относительно оси Аг ~Мю(6О) = Мю(У)+ М„,(тУ)+ М„,(ж1д) = м й!созй. гм Подставим зги выражения в (15.124): Ы вЂ” (ш,!(!ф — хз1лф))+ шУхфсозгр = ш,я!созф.
После несложных преобразований можно легко получить уравнение (15. 123). Пример )5.П. На плите массой т, установленной на гладкой плоскости, находится лебедка, с помощью которой цо плите катится ступенчатый каток (рис. 15.41, и). Массы блока лебедки и катка и их моменты инерции относительно осей О,г и Сг, перпендикулярных плоскости рис. 15.41, а, равны соответственно ш,. юг и.1, .I< . Каток по плите катится без скольжения. Вращение блока лебедки подчиняется закону <р = а!~/2, где е = сопз1 > О .
Определить: 1) движение плиты, если в начальный момент она покоилась; 2) мощность двигателя, сообщающего блоку лебедки вращение; 3) силу натяження каната. Решение. 1. Применим для решения задачи теорему об изменении количества движения системы и введем обобщенные координаты х и и для рассматриваемой системы. Закон у=у(!) задан, поэтому движение определяем по координате х. Внешние силы системы — силы тяжести Р, Р,, Рг и реакция !»' гладкой плоскости — перпендикулярны оси Ох, поэтому н ~Р;~„'1 =О, — "=О, откуда Д„=С,. Количество движения системы 0 = впт+ ш1»В + шг "г гле», »о,, », — абсолютные скорости соответственно плиты и центров масс О, лебедки и с катка.
В данном случае»В = », »г = »гп! +» 151 . 421 Рис. 15.41 Переносная скорость центра масс катка Р~,"> = г, относительная ф>. Проекции на ось Ох этих скоростей рдвны Е > гфй2 гй2 . НЦ 2 и; г,-, =х- — и.
"2+ Я2 '2+ о2 '2+ 52 Закон сохранения проекции количества движения системы на ось Ох имеет вид Г%2 '+щ х+ х- — ьт =С . >7+ Я2 Из начальных условий для плиты: при 2=0 х=О, х=О, определяем С> = О. Тогда Г О2 Я>2 ЕГ г +Я х= Щ+Щ>+Щ2 гй2 Щ7 где А= — 2 — 2— г +>г Щ+Щ,+Щ, Интегрируя это уравнение, находим 422 Аг' х= — +С>. 2 Из начальных условий определяем Г = 0 . Таким образом, уравнение движения плиты имеет вил азгйгег г х= 2(гг+Яг)(т' т>+аг) 2. Определим мощность двигателя лебедки, обеспечивающего заданный закон ф(г).
Применим теорему об изменении кинетической энергии системы в форме и и — =~И'„и>+~ И о>. ыг Р," Для данной задачи правая часть уравнения равна мощности двигателя лебедки И'. Кинетическая энергия системы тх иг,х ""оч тгт, 'ге>и Т= ь +" + '+"' г 2 2 2 2 2 где ыч, шо — проекции угловых скоростей блока лебедки и катка соотвстстгег венно, шч =ф яг, а„= —, причем угловые ускорения блока лебедки > г + Иг >'я е, =е и катка е =й = —,аускорениеплиты аьа =х=А. ч +Я г г АТ Мощность двигателя найдем нз уравнения И' = —, т.
е. г(г И'=(а+т>)тх+Лоча+аз х- агах- )+У;ш„ац . гЯг - гиге гг+%г гг+Иг После преобразований получим И'=к И г лгг(и>+а!) > )'г у > + +~~ +, +, (йг+гг)' (Вг+;)~ 3. Для определения силы натяжения каната воспользуемся теоремами о движении центра масс системы в проекции на ось Ох (рис. 15.41, б) и об изменении главного момента количеств движения относительно центра масс для катка (рис. 15,41, е) и запишем (а+а,)'=уьг"; усе*> ~гг ~~~г (~-~ ~-~ ) Отсюда (т+т>)тйг+ lга*г >а ( (а ьаДи я' 5— ~ус + г+Йг (гг+ г) т+т>+аг Глава !б ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА 16.1.
Поступательное движение твердого тела. Вращение твердого тела вокруг неподвнжнон оси. Плоское движение твердого тела Задачи динамики твердого тела могут быть решены на основе системы дифференциальных уравнений движения, выведенных, например, из общих теорем динамики для общего случая движения твердого тела: теоремы о движении центра масс (или теоремы об изменении количества движения) и теоремы об изменении главного момента количеств движения механической системы (в данном случае твердого тела) в относительном движении по отношению к центру масс.
Эта система должна быть дополнена геометрическими и кинематическими соотношениями для используемых координат в соответствии с видом наложенных связей и числом степеней свободы твердого тела, а также начальными условиями, которые определяют положение тела, его угловую скорость и скорость центра масс в момент времени 1„ (как правило ~я =О) в выбранной системе отсчета.
Однако для решения многих задач можно использовать не полную систему дифференциальных уравнений движения тела, полученную для общего случая его движения, а только дифференциальные уравнения, выведенные для описания конкретного вида движения, полагая при этом, что внд движения определяется связями, наложенными на тело, и системой приложенных к нему активных сил. Поступательное движение твердого тела При поступательном движении тела его угловая скорость, а следовательно, и главный момент количеств движения относи- тельно центра масс тождественно равны нулю. На основании теоремы о движении центра масс механической системы, уравнение (15.13) применительно к рассматриваемому случаю имеет вид н та = 1 Г„!"' (16.1) где т — масса тела; а — ускорение центра масс тела, равное ускорению любой его точки при поступательном движении.
Уравнение (16.1) можно также записать в виде векторного дифференциального уравнения поступательного движения твердого тела: тг = ~ Р'"! . (16.2) е=! В общем случае поступательного движения тело имеет три степени свободы и его движение можно задать, определив движение центра масс тела в декартовой системе координат. В проекциях на оси декартовой системы координат для (16.2) получаем и и и тх =Яр„,"~; ту= ) Г„~"!; тг'=~Г„~."!. ь=! ь=! !=! Начальные условия в данном случае имеют вид: при ! =1ь х=хо У=ув я=го я=хо У=Уо я=го. В проекциях на оси естественной системы координат (при естественном способе задания движения центра масс в данном случае тело имеет одну степень свободы) уравнения (16.2) записывают так: Ы = ~„Р„"!! т — ' = ). Р!"!; О =',).
Р!„"!, Р где в = л(!) — закон движения центра масс тела по траектории. Начальные условия в этом случае принимают следующий вид: при г =1ь я =ив,я =вв. Аналогичным образом можно записать дифференциальные уравнения движения твердого тела в проекциях на оси' любой другой инерциальной системы координат и сформулировать начальные условия. Видно, что эти уравнения подобны дифферен- 425 циальным уравнениям движения материальной точки в ссютвет- ствующей системе координат (см. гл. 13).
Врагг4ение твердого тели вокруг неподвижной оси В случае вращения вокруг неподвижной оси тело имеет одну степень свободы. Для получения дифференциального уравнения вращательного движения твердого тела воспользуемся теоремой об изменении главного момента количеств движения механической системы относительно оси вращения Ог, записав (15.60) в виде — *=',)".м,(6'), ггг где для твердого тела К, =.У,в, =,У,ф. Тогда У 1,1р =,), М,(7<'~) . (16.3) ьм Выразкение (16.3) называется дифференциальным уравнением вращения твердого тела вокруг неподвижной оси. Его можно также записать в виде и У .1, — "* =') М,(р,об) ~,~, =',)„М,(р,бб).
Ьм Е-1 Начальные условия для случая вращения твердого тела вокРУгнеполвнжной осислеДУюЩие: пРи 1=1с дэ=гРе,ф=а, =фа. 1Урилгер 16.1. Тело 1 с валом 2, вращающееся свободно с угловой скоростью вс вокруг вертюальной оси Оз (рис. 16.1, а), начинает тормозить под действием момента сил аэродинамического сопротивления относительно оси вращения, пропорционального угловой скорости тела: ~Ы ~ = ае .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
